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Les mathémathiques

On définit communément les mathématiques comme la science des rapports des quantités; mais, bien que cette définition, quand on recherche exactement tout son contenu, soit exacte et suffisante, les philosophes classiques y ont vu depuis  Leibniz la science des quantités, soit dans le temps, soit dans l'espace, en considérant avec ce philosophe, l'espace comme l'ordre des phénomènes simultanés, et le temps comme l'ordre des phénomènes successifs. En effet, la science mathématique n'aborde que des questions d'ordre et de grandeur. Les mathématiques, considérées abstractivement, comprennent, dit Cournot, un système de connaissances scientifiques étroitement liées les unes aux autres, et fondées sur des notions idéales qui se trouvent dans tous les esprits. Elles portent sur des vérités rigoureuses que la raison est capable de découvrir sans le secours de l'expérience, et qui , néanmoins peuvent toujours se confirmer par l'expérience dans les limites d'approximation que comporte celle-ci.

Grâce à ce double caractère, que nulle autre science ne présente, les mathématiques, ainsi appuyées sur l'une et l'autre base de la connaissance humaine, s'imposent irrésistiblement aux esprits les plus pratiques comme aux plus spéculatifs. Elles justifient le nom qu'elles portent, et qui indique les sciences par excellence, les sciences éminentes entre toutes les autres, par la rigueur des théories, l'importance et la sûreté des applications. Les quantités dans le temps et l'espace peuvent être considérées en elles-mêmes et dans les phénomènes physiques auxquels elles s'appliquent. De là naît une première division des mathématiques qui, dans le premier cas, prennent Ie nom de mathématiques pures, et, dans le second, celui de mathématiques appliquées.

Toujours selon cette approche, la loi formelle de quantité appliquée au temps donne la succession des instants, ou le nombre; appliquée à l'espace, elle donne la conception de la conjonction des points, ou de l'étendue. La nombre et l'étendue donnent donc naissance à deux branches distinctes des mathématiques pures : la première est l'algorithmie ou la science des nombres, laquelle se subdivise en arithmétique, qui a pour objet les nombres considérés en particulier, et en algèbre, qui a pour objet les nombres considérés en général. La seconde est la géométrie ou la science de l'étendue. A ces deux branches se rattachent de nombreux rameaux qui sont autant parties détachées et spécialisées des mathématiques pures. Tels sont, pour l'algorithmie, le calcul différentiel, le calcul intégral, le calcul des probabilités; et pour la géométrie, la géométrie élémentaire, la géométrie descriptive, et la géométrie analytique qui unit les deux branches.

Les mathématiques appliquées peuvent constituer autant de branches différentes qu'il peut exister de sciences différentes pour le savoir humain. En conséquence, c'est d'après la considération des objets auxquels s'appliquent les mathématiques qu'il faut chercher la base d'une classification pour cette catégorie. 

" Parmi ses objets, dit Montferrier, on peut distinguer ceux qui sont donnés par la nature ou par l'ensemble des phénomènes physiques, de ceux qui sont donnés par l'art ou sont les produits de l'action de l'homme."
Les mathématiques appliquées formeront donc deux catégories distinctes : l'une est désignée depuis longtemps sous le nom de sciences physico-mathématiques, et Montferrier propose pour l'autre le terme de sciences pragmatico-mathématiques. La mécanique, avec toutes ses divisions, appartient à la première, tandis que l'arpentage, la géodésie, la balistique, la navigation, la gnomonique, etc., appartiennent è la seconde.

Enfin, il un point da vue qui n'a d'autre raison d'être que les besoins de l'enseignement, on divise les mathématiques en mathématiques élémentaires, qui se composent de l'arithmétique, de l'algèbre et de la géométrie élémentaires, ainsi que de la trigonométrie; en mathématiques spéciales, qui comprennent l'algèbre supérieure, la géométrie descriptive, la géométrie analytique ; et en mathématiques transcendantes, qui renferment le calcul intégral, le calcul différentiel, etc.

Les méthodes générales employées dans les sciences mathématiques sont l'analyse et la synthèse. Mais, en outre, les mathématiciens désignent encore sous le nom de méthode, certains procédés particuliers, certains artifices spéciaux, usités pour arriver à la solution de divers problèmes, ou pour établir certaines vérités mathématiques : c'est ainsi que l'on dit, méthode des infiniment petits, méthode des limites, etc.

" Le goût de l'exactitude, l'impossibilité de se contenter de notions vagues, de s'attacher à des hypothèses, quelque séduisantes qu'elles soient, le besoin d'apercevoir clairement la liaison des propositions et la but où elles tendent sont, a très bien dit un illustre géomètre, Lacroix, les fruits les plus précieux de l'étude des mathématiques. Elle ne sert pas seulement à rectifier l'esprit, elle l'étend encore, en multiple les faces ; elle forme une logique plus exacte, plus rigoureuse, en habituant pour tout à la précision du calcul." 
On a remarqué que, parmi les grands noms auxquels les sciences mathématiques doivent leurs progrès les plus considérables, plusieurs se sont également placés au rang des plus grands métaphysiciens : il nous suffira de citer Pythagore, Platon, Descartes, Pascal et Leibniz. Celte observation montre, comme le dit très bien Cournot
" que les spéculations du géomètre et celles du philosophe sont seules comparables pour la généralité, car seules elles relèvent au même degré de la faculté dominante et régulatrice de l'esprit humain, c.-à-d. de la raison. " 
Toutefois il est une erreur capitale. Nous voulons parler de la prétention d'appliquer aux sciences d'observation, sciences éminemment complexes et concrètes, les méthodes propres aux mathématiques, sciences dont le caractère essentiel est la simplicité et l'abstraction. Les données des premières sont toujours des notions a priori, des conceptions pures de l'intelligence, qui existent indépendamment de tout objet; celles des secondes sont des notions a posteriori qui nous sont fournies par l'étude des phénomènes, qui ont besoin d'être interprétées, et qui ne peuvent être étendues au delà de la sphère des phénomènes dont elles dérivent. C'est l'oubli ou l'ignorance de ces différences essentielles qui a valu aux utopies morales et politiques de notre époque tant de partisans parmi les humains dont l'éducation professionnelle repose principalement sur l'étude des sciences mathématiques. (B.).


David Ruelle, L'Étrange Beauté des mathématiques, Odile Jacob, 2011.
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Depuis l'Antiquité et aujourd'hui encore, les mathématiques sont, à bien des égards, essentielles pour qui veut comprendre la nature des choses. Est-il possible de pénétrer le monde mathématique sans études longues et arides? Oui. Car ce qui importe, ce n'est pas de maîtriser cette science en profondeur, mais de comprendre comment l'esprit humain, et plus particulièrement le cerveau du mathématicien, se mesure à la réalité mathématique. Un livre à la fois impertinent et distrayant, qui offre un voyage au coeur du monde des mathématiques et donne des aperçus très personnels sur quelques-uns des penseurs qui l'ont exploré. 

Gilles Godefroy, Mathématiques mode emploi, Odile Jacob, 2011.
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"Toutes et tous, nous avons découvert les mathématiques à l'école primaire. Mais notre enfance préférait à l'emploi de ces syllabes intimidantes l'usage de mots plus proches du quotidien : le calcul, la géométrie. 

Saissons-nous le lien profond qui unit ces deux activités d'allures si différentes : calculer une surface ou un volume et effectuer des multiplications? Un peu sans doute. Pourtant, une vie de réflexion ne suffirait pas à épuiser la richesse des liens qui unissent nombres et grandeurs."

C'est pourtant ce que se propose de révéler ici Gilles Godefroy dans un ouvrage qui, tout en retraçant l'histoire de la découverte des propriétés et des concepts mathématiques des origines aux questions les plus actuelles, s'efforce de faire mieux comprendre ce qu'elles nous révèlent de la réalité et comment les hommes ont véritablement appris à penser et à manier le réel en inventant des outils mathématiques.

Un regard "différent" sur les mathématiques, où chaque grande avancée est expliquée à l'aune de ce qu'elle permet de faire et de penser dans la réalité concrète. (couv.).

Denis Guedj, Les mathématiques expliquées à mes filles, Le Seuil, 2008.
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Pour tous les nuls en maths, fraction non négligeable de la population, une introduction décomplexante à cet univers mystérieux.

De quoi parlent les mathématiques? Pourquoi semblent-elles faire violence à la réalité? Pourquoi recourent-elles à tous ces signes? À quoi servent les nombres? Pourquoi la multiplication est-elle plus facile que la division? Pourquoi X est-elle une inconnue? Quelle est la différence entre une égalité et une équation? Entre l'algèbre et l'arithmétique? Toutes les questions qui font ou ont fait trembler les nuls en maths, revisitées par l'un des meilleurs vulgarisateurs sur ce sujet. Les mathématiques vraiment expliquées à tout le monde. 

Jacques Bouveresse, Pierre Wagner, Mathématiques et expérience : L'empirisme logique à l'épreuve (1918-1940), Odile Jacob, 2008. - Comment les mathématiques, pure création de l'esprit humain, peuvent-elles s'appliquer au monde réel qui nous entoure? Comment les géométries non euclidiennes, nées de spéculations abstraites, peuvent-elles décrire l'atome ou l'Univers? Comment la pure logique du calcul des probabilités peut-elle servir à établir les lois de la physique ou les statistiques des assurances? 

Ce sont ces questions qu'affronte dans l'entre-deux guerres l'empirisme logique, ce grand courant du rationalisme européen qui suscite aujourd'hui un intérêt nouveau. Ses grandes figures, Carnap, Schlick. Reichenbach et quelques autres, ont été des penseurs très différents et profondément originaux. La philosophie des sciences contemporaine a encore de nombreuses leçons à tirer de leurs innovations conceptuelles et de leurs débats internes, mais aussi de la réflexion sur les limites de leur démarche et sur les obstacles qu'ils ont rencontrés. (couv.).

Amir D. Aczel, Nicolas Bourbaki, histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existé, Lattès, 2009. - Le 10 décembre 1934 à midi, dans un café situé au 63 boulevard Saint-Germain à Paris, là où aujourd'hui est installé un fast-food, André Weil, l'un des plus talentueux mathématiciens de cette époque a rassemblé cinq collègues aussi passionnés que lui. A eux six, ils représentent les universités de Strasbourg, Nancy, Rennes et Clermont- Ferrand, à eux six, ils viennent de créer le groupe Nicolas Bourbaki dont les publications vont donner un formidable coup de modernité aux mathématiques et un immense élan à l'école française.

C'est à peu près dix ans auparavant que Raoul Husson, élève à l'Ecole Normale Supérieure, invente le personnage de Nicolas Bourbaki en s'inspirant du grand Charles Bourbaki qui servit en Crimée, en Algérie, en Italie avant de devenir gouverneur militaire de Lyon. Le premier groupe de cette société secrète est composé outre d'André Weil, d'Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, René de Possel. La guerre les séparera. Dans les années quarante le groupe s'enrichira de l'arrivée de la future médaille Field, Laurent Schwartz et du génie Alexandre Grothendieck qui dans les années 1990 partit vivre en ermite dans les forêts pyrénéennes. 

Et aujourd'hui encore, bien que moins rayonnant, le groupe continue à se réunir avec de nouveaux membres. Bourbaki n'a pas seulement fait progresser les mathématiques mais a aidé Lévi-Strauss à formaliser le structuralisme et a même inspiré les membres de l'Oulipo dans leur recherche. Voici son étonnante et passionnante histoire. (couv.).

Jean-Claude Beaune, Gérard Chazal, Mathématisation du sensible (sur l'oeuvre de Daniel Parrochia), Presses universitaires de Lyon, 2009.

J.-P. Cléro, Raisons de la fiction - Les philosophes et les mathématiques, Armand Colin, 2004.

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