On définit communément les mathématiques comme la science des rapports des quantités; mais, bien que cette définition, quand on recherche exactement tout son contenu, soit exacte et suffisante, les philosophes classiques y ont vu depuis  Leibniz la science des quantités, soit dans le temps, soit dans l'espace, en considérant avec ce philosophe, l'espace comme l'ordre des phénomènes simultanés, et le temps comme l'ordre des phénomènes successifs. En effet, la science mathématique n'aborde que des questions d'ordre et de grandeur. Les mathématiques, considérées abstractivement, comprennent, dit Cournot, un système de connaissances scientifiques étroitement liées les unes aux autres, et fondées sur des notions idéales qui se trouvent dans tous les esprits. Elles portent sur des vérités rigoureuses que la raison est capable de découvrir sans le secours de l'expérience, et qui , néanmoins peuvent toujours se confirmer par l'expérience dans les limites d'approximation que comporte celle-ci.

Grâce à ce double caractère, que nulle autre science ne présente, les mathématiques, ainsi appuyées sur l'une et l'autre base de la connaissance humaine, s'imposent irrésistiblement aux esprits les plus pratiques comme aux plus spéculatifs. Elles justifient le nom qu'elles portent, et qui indique les sciences par excellence, les sciences éminentes entre toutes les autres, par la rigueur des théories, l'importance et la sûreté des applications. Les quantités dans le temps et l'espace peuvent être considérées en elles-mêmes et dans les phénomènes physiques auxquels elles s'appliquent. De là naît une première division des mathématiques qui, dans le premier cas, prennent Ie nom de mathématiques pures, et, dans le second, celui de mathématiques appliquées.

Toujours selon cette approche, la loi formelle de quantité appliquée au temps donne la succession des instants, ou le nombre; appliquée à l'espace, elle donne la conception de la conjonction des points, ou de l'étendue. La nombre et l'étendue donnent donc naissance à deux branches distinctes des mathématiques pures : la première est l'algorithmie ou la science des nombres, laquelle se subdivise en arithmétique, qui a pour objet les nombres considérés en particulier, et en algèbre, qui a pour objet les nombres considérés en général. La seconde est la géométrie ou la science de l'étendue. A ces deux branches se rattachent de nombreux rameaux qui sont autant parties détachées et spécialisées des mathématiques pures. Tels sont, pour l'algorithmie, le calcul différentiel, le calcul intégral, le calcul des probabilités; et pour la géométrie, la géométrie élémentaire, la géométrie descriptive, et la géométrie analytique qui unit les deux branches.

Les mathématiques appliquées peuvent constituer autant de branches différentes qu'il peut exister de sciences différentes pour le savoir humain. En conséquence, c'est d'après la considération des objets auxquels s'appliquent les mathématiques qu'il faut chercher la base d'une classification pour cette catégorie. 

" Parmi ses objets, dit Montferrier, on peut distinguer ceux qui sont donnés par la nature ou par l'ensemble des phénomènes physiques, de ceux qui sont donnés par l'art ou sont les produits de l'action de l'homme."

Les mathématiques appliquées formeront donc deux catégories distinctes : l'une est désignée depuis longtemps sous le nom de sciences physico-mathématiques, et Montferrier propose pour l'autre le terme de sciences pragmatico-mathématiques. La mécanique, avec toutes ses divisions, appartient à la première, tandis que l'arpentage, la géodésie, la balistique, la navigation, la gnomonique, etc., appartiennent è la seconde.

Enfin, il un point da vue qui n'a d'autre raison d'être que les besoins de l'enseignement, on divise les mathématiques en mathématiques élémentaires, qui se composent de l'arithmétique, de l'algèbre et de la géométrie élémentaires, ainsi que de la trigonométrie; en mathématiques spéciales, qui comprennent l'algèbre supérieure, la géométrie descriptive, la géométrie analytique ; et en mathématiques transcendantes, qui renferment le calcul intégral, le calcul différentiel, etc.

Les méthodes générales employées dans les sciences mathématiques sont l'analyse et la synthèse. Mais, en outre, les mathématiciens désignent encore sous le nom de méthode, certains procédés particuliers, certains artifices spéciaux, usités pour arriver à la solution de divers problèmes, ou pour établir certaines vérités mathématiques : c'est ainsi que l'on dit, méthode des infiniment petits, méthode des limites, etc.

" Le goût de l'exactitude, l'impossibilité de se contenter de notions vagues, de s'attacher à des hypothèses, quelque séduisantes qu'elles soient, le besoin d'apercevoir clairement la liaison des propositions et la but où elles tendent sont, a très bien dit un illustre géomètre, Lacroix, les fruits les plus précieux de l'étude des mathématiques. Elle ne sert pas seulement à rectifier l'esprit, elle l'étend encore, en multiple les faces ; elle forme une logique plus exacte, plus rigoureuse, en habituant pour tout à la précision du calcul." 

On a remarqué que, parmi les grands noms auxquels les sciences mathématiques doivent leurs progrès les plus considérables, plusieurs se sont également placés au rang des plus grands métaphysiciens : il nous suffira de citer Pythagore, Platon, Descartes, Pascal et Leibniz. Celte observation montre, comme le dit très bien Cournot, 

" que les spéculations du géomètre et celles du philosophe sont seules comparables pour la généralité, car seules elles relèvent au même degré de la faculté dominante et régulatrice de l'esprit humain, c.-à-d. de la raison. "