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Le calcul différentiel
 En nous bornent à une vue très générale de cette matière, on peut dire que Ie calcul différentiel a pour objet de trouver les rapports des différences de grandeurs variables, d'après la supposition que ces différences deviennent infiniment petites, hypothèse qui donne lieu à des abréviations importantes dans leur calcul général. Mais ici il est nécessaire de faire attention à l'acception particulière dans laquelle sont pris les termes d'infini et d'infiniment petit.

Toute grandeur qui forme le sujet d'un raisonnement mathématique est toujours susceptible d'augmentation ou de diminution, et cela sans limite. On peut donc toujours concevoir qu'une quantité devienne assez grande pour dépasser toute quantité finie assignable, de même nature, ou assez petite pour être inférieure a toute quantité finie assitgnable, également de même nature. Dans le premier cas, on dit que la quantité est infinie, et dans le second, qu'elle est infiniment petite. Dans ce sens, évidemment, il n'est pas nécessaire d'attribuer une existence réelle ou matérielle à une quantité infiniment grande ou infiniment petite. Il suffit de concevoir que si nous attribuons à une quantité quelconque qui fait l'objet d'un problème une valeur aussi grande ou aussi petite qu'il nous plaira, il existe cependant toujours, au delà de cette limite, une quantité de même nature encore plus grande ou encore plus petite, et qui, dans ce sens, est infiniment grande ou infiniment petite, si on la compare à toute autre quantité finie de même nature. De cette façon une grandeur finie peut dire regardée comme nulle ou zéro, si on la compare à une grandeur infïninient grande; et une grandeur infiniment petite peut être regardée comme nulle ou comme zéro, si on la compare à une grandeur finie. On dira d'une manière rigoureuse qu'elle tend vers zéro ou qu'elle a pour limite zéro.

Les quantités infiniment petites que considère le calcul différenties, sont appelées différentielles. La différentielle d'une grandeur ou d'une fonction variable s'exprime, en suivant le mode de notation proposé par Leibniz, en écrivant la lettre d devant la grandeur ou la fonction. Ainsi dx signifie la différentielle de la grandeur variable x; et d(xy) est la différentielle du produit des deux variables x et y, et ainsi de suite. Au lieu d'employer la lettre d, les mathématiciens anglais, dans la ligne de Newton, indiquaient autrefois la fluxion d'une quantité (expression qui équivaut à celle de différentielle) en plaçant un point sur cette quantité; ainsi  représentait la fluxion de x, et  celle du produit xy; ce formalisme est utilisé encore parfois par les physiciens, mais il est aujourd'hui abandonné par les mathématiciens, et c'est celui de Leibniz qui est employé.

On peut définir la différentielle d'une quantité variable comme la différence infiniment petite entre deux états successifs de la même variable, et l'objet du calcul est de trouver cette différentielle pour tous les cas possibles, c.-à-d. pour toutes les fonctions possibles des variables proposées, telles que x, y, z, etc., dont les différentielles particulières sont exprimées par dx, dy, dz, etc. Avant d'expliquer comment on obtient ce résultat, il est nécessaire d'examiner la distinction que l'on doit établir entre l'opération au moyen de laquelle nous trouvons une différence ordinaire et finie, et celle à laquelle nous devons nous borner, lorsque la différence est infinirnent petite, c.-à-d. constitue une différentielle. Si nous considérons le système ou la fonction proposée dans deux états déterminés quelconques, qui diffèrent l'un de l'autre, la différence des deux valeurs de la même quantité prise dans les deux états sera déterminée, et par conséquent nous ne pourrons pas la supposer aussi petite qu'il nous plaira : ainsi donc, nous ne pourrons négliger aucune partie de son expression. Si, au contraire, les deux états de la fonction se rapprochent indéfiniment l'un de l'autre, la différence des deux valeurs de la même variable pourra être rendue aussi petite qu'on le voudra. Elle constituera alors une différentielle; et, en réalité, elle ne sera rien autre chose que la différence ordinaire simplifiée par la suppression des quantités, qui, dans son expression, peuvent être regardées comme infiniment petites, en comparaison des autres quantités dont elle se compose. Tel est le principe général de la différentiation., c.-à-d. de l'opération par laquelle on trouve la différentielle d'une quantité ou d'une fonction variable.

Il suit évidemment de ce principe que, pour différentier une quantité ou une fonction quelconque d'une quantité ou de plusieurs quantités combinées, fonction que nous représenterons par f(x, y, z, etc.), il suffit de la considérer dans son second
état, c.-à-d. lorsque x, y, z, etc., étant devenus successivement x + dx, y + dy, z + dz, etc., la fonction elle-même devient f (x + dx, y + dy, z + dz, etc.); de retrancher la valeur primitive de la fonction de sa valeur ainsi augmentée, ce qui donnera pour la différence finie de la fonction proposée f(x + dx, y + dy, z + dz, etc.) - f(x, y, z, etc.); et enfin, de passer de cette différence à la différentielle en négligeant ces quantités qui, dans le développement, sont infiniment petites en comparaison de celles auxquelles on doit les ajouter, ou dont on doit les retrancher. On comprendra mieux cette règle générale en l'appliquant à quelques exemples particuliers.

1° Soit proposé de différentier la somme a + b + x + y, composée de quantités constantes et de quantités variables. D'après la formule générale, les constantes a et n'ont pas de différentielle, et les différentielles de x et de y sont respectivement dx et dy. Par conséquent, la différentielle de la somme proposée, c.-à-d, d (a + b + x + y), est a + b + (x+dx) + (y + dy) - (a + b + x + y) qui, en réduisant, devient dx+dy. d'où il résulte que la différentielle d'une somme quelconque de constantes et de variables est égale à la somme des différentielles des variables seules.

2° On demande de différentier x + y. Ici nous avons d(x-y) = x+dx - (y+dy) - (x - y); ou, après réduction, d(x-y) = dx -dy ; d'où cette autre conséquence : la différentielle de la différence de deux variables quelconques est égal à la différence de leurs différentielles.

3° On se propose de différentier le produit xy. D'après la formule, nous avons d(xy) = (x + dx) (y + dy) - xy = xdy + ydx+ dxdy; mais il faut remarquer que le dernier terme dxdy est infiniment petit en comparaison de chacun des deux autres, ainsi qu'il deviendra évident en divisant ce dernier terme par l'un ou l'autre des premiers, car le quotient sera une quantité infiniment petite. Par conséquent, on négligera le traisième terme, et ainsi la formule deviendra d(xy) = xdy + ydz. Pareillement, d(zyx) = xydz + xzdy + yzdx, et ainsi de suite, pour la différentielle du produit d'un nombre quelcon que de quantités variables.

4° Soit proposé de différentier la fraction x/y. D'après la formule générale, la différence sera (x+dx)/(y+dy)=x/y; mais en la réduisant au même dénominateur, on aura (ydx-xdy)/(y²-ydy). Enfin, en éliminant la quantité ydy, qui est infiniment petite en comparaison de y² à laquelle elle est jointe, on a d(x/y)=(ydx-xdy)/y².

5° On propose de différentier la fonction xm. Pour ce cas, la formule générale donne (x + dx)m - xm. En développant (x +dx)m d'après le théorème du binôme, nous obtenons pour la différence (xm+mxm - 1dx + 1/2 (m-1)xm-2 dx²+ etc. - xm, ou mxm-1dx + 1/2 (m-1)xm-2 dx² + etc. Mais dx² étant ininfiniment petit comparativement à dx, le terme dans lequel il entre comme facteur (et tous les termes suivants qui sont multiplié par dx3; dx4, etc.) doivent être rejetés. Nous avons donc simplement pour la différentielle : dxm = mxm-1dx. Il est facile, de comprendre que m peut être une quantité quelconque, entière ou fractionnaire, positive ou négative.

Jusqu'à présent nous n'avons considéré le système des quantités variables que dans deux états successifs; mais on peut le considérer successivement dans deux, trois, quatre ou un nombre quelconque d'états consécutifs, tous différant infiniment peu l'un de l'autre. Cette considérationn donne naissance à des ordres successifs de différentielles, dérivées l'une de l'autre par la répétition continuelle de la même opération. En différentiant une fonction de quantités variables quelconques, nous obtenons une fonction dérivée, dans laquelle les quantités correspondantes diffèrent infiniment peu de leurs valeurs dans la fonction primitive. Une autre différentiation donne une seconde fonction dérivée, et ainsi de suite; de telle sorte que nous obtenons au tant d'ordres successifs de différentielles qu'il y a d'opérations accomplies. Mais il est à remarquer que les différences infiniment petites entre les quantités dans le premier système dérivé et les quantités correspondantes dans la fonction primitive, ne sont pas les mêmes que les différences infiniment petites entre les quantités dans le second système dérivé et les quantités correspondantes dans le premier; et celles qui existent entre le second et le troisième système diffèrent aussi de celles qui exis tent entre le premier et le second. Il résulte de là que ces différences sont elles-mêmes variables, et que, par conséquent, comme toutes les autres quantités variables, elles ont leurs différentielles. 

Si donc nous conservons le symbole d comme caractéristique de la différentielle d'une espèce quelconque de variables, l'expression ddx indiquera la quantité dont dx est augmentée, en passant du premier état dérivé au second, exactement de la même manière que dx représente l'augmentation de x en passant, de son état primitif, au premier état de dérivation. Pareillement, dddx exprimera l'augmentation que reçoit ddx en passant du second systèmee au troisième, et ainsi de suite. Les quantités dx, ddx, dddx, etc., sont appelées première, seconde. troisième, etc. différentielles de x. De même, dy, ddy, dddy, sont les première, seconde, troisième, etc., différentielles de y. Mais au lieu d'écrire ddx, dddx, etc., on écrit ordinairement d²x, d³x, etc., et ce mode de notation n'est pas seulement préféré parce qu'il est plus abrégé; il devient encore absolument indispensable quand il faut considérer plusieurs différentielles successives de la même variable. Toutefois, il importe de distinguer avec soin ces signes de dx², dx3, etc., qui sont également des abréviations, mais qui, en même temps, indiquent des puissances réelles de dx, et signifient respectivement dxdx, dxdxdx, etc. On doit également les distinguer des quantités d (x)², d (x)³, etc., qui sont les différentielles des puissances x², x³, etc., de x, tandis que dx², dx³ sont les puissances des différentielles.

Il résulte de ces considérations que les différentielles de tous les ordres se différentient de la même manière que toute autre quantité variable, et que, par conséquent, il n'est pas besoin de règles particulières à cet égard. Ainsi, par exemple, la différentielle de xy est xdy + ydx; et en différentiant cette différentielle, on trouve dxdy + xd²y + dydx +yd²x. En différentiant une troisième fois, on obtient, en ajoutant les termes semblables, 3dxd²y + 3dyd²x + xd²y + yd²x, et ainsi de suite.

Dans l'appIication du calcul, il est très important de remarquer que, dans le cas où différentes quantités variables sont réunies par des équations, nous sommes toujours libres de supposer que la diférentielle de l'une de ces quantités est constante. Cette différentielle constante devient alors un terme de comparaison, et sert à régler toutes les autres. Ainsi, par exemple, en considérant une ligne courbe, nous pouvons supposer que les accroissements infiniment petits de l'abscisse sont tous égaux; dans ce cas, dx est invariable, et conséquemment d²x=0. 

Mais les accroissements de l'ordonnée qui correspondent à ces accroissement égaux de l'abscisse, ne sont pas égaux, et, par conséquent, les différentielles de dy (ou d²y) ne sont pas zéro; et la loi suivant laquelle dy varie en passant d'un point à un autre, tandis que dx reste constant, est précisément ce qui nous fait connaître la nature de la courbe. En d'autres termes, la nature de la courbe est déterminée par les relations entre les diférentielles successives dy, d²y, d³y, etc., de la variable y. (DV).

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