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L'arithmétique

L'arithmétique est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres, et plus particulièrement des nombres entiers. On parle d'Arithmétique numérale, quand elle opère sur des nombres déterminés, et emploie des chiffres; et d'Arithmétique littérale ou spécieuse, quand, au lieu de chiffres, elle emploie les lettres de l'alphabet : elle reçoit alors le nom d'algèbre. Les nombres peuvent être considérés sous le rapport de leurs combinaisons et sous celui de leur comparaison. Le premier point de vue conduit aux différentes opérations d'arithmétique : addition, soustraction, multiplication, division, élévations aux puissances, extraction des racines. De la comparaison des nombres résultent les rapports, proportions, progressions, logarithmes.

Définition de l'arithmétique. méthode

« L'arithmétique est la science des nombres, et le nombre est une multitude d'unités mises ensemble ».  Tel est le préambule mis par Legendre à son excellent traité l'Arithmétique en sa perfection. On ne saurait concevoir de définition plus simple ni plus exacte; il nous suffira de la développer pour montrer que la notion de nombre est expérimentale, naît de la pluralité des objets simultanément considérés, ou de la répétition des phénomènes observés. Quelques propriétés s'en suivront immédiatement, et, si l'on veut se borner à déduire toutes les conséquences logiques des postulats, on aura constitué une science rigoureusement analytique, l'arithmétique au sens le plus large du mot.

Il semble, cependant, que la seule notion de nombre entier ne puisse fournir autre chose qu'une arithmétique, des nombres entiers, et que l'on soit obligé d'emprunter à l'expérience la notion de nombre fractionnaire et de nombre irrationnel pour construire des arithmétiques correspondantes; c'est ainsi, en réalité, que l'on a procédé. Il n'y avait aucun inconvénient à le faire, puisque la notion expérimentale du nombre irrationnel enveloppe, comme cas particulier, celle des nombres entiers ou fractionnaires, en sorte que l'ensemble se trouve cohérent et logique. Mais on peut aussi n'emprunter à l'expérience que la seule notion du nombre entier et construire une arithmétique totale où les nombres fractionnaires et irrationnels apparaîtront comme des extensions de la notion des nombres entiers. Telle est la méthode que nous suivrons en indiquant, néanmoins, à chaque nouvelle extension, de quelle façon elle peut être empruntée à l'expérience.

Notion de nombre entier. Egalité. Inégalité

Deux mots étant choisis, tels que Père et Fils, on peut biffer simultanément une lettre au hasard dans chacun d'eux, puis une autre encore... et, à un certain moment, il ne reste plus de lettre intacte dans aucun des deux : les mots sont tels qu'on peut faire correspondre à, chaque lettre de l'un une lettre distincte de l'autre. Si l'on essaye la même opération sur les mots Fils et Enfant, le résultat est tout autre; le mot Fils vient à être complètement épuisé alors qu'il demeure des lettres intactes dans le mot Enfant. Ainsi, en comparant deux collectivités prises au hasard, on peut les trouver correspondantes ou non correspondantes selon que l'opération indiquée est possible ou non. Le fait ou non de la correspondance est d'ailleurs indépendant de la position des objets.

Il y a donc, dans toute collectivité, une qualité indépendante de la nature des objets ou de leur position, mais qui peut se modifier cependant si l'on ajoute ou retire quelque objet. Si donc, par analogie, on veut concevoir une collectivité d'objets non dénommés, imprécis, dont on ne sait rien, sinon qu'ils forment une collectivité ayant les propriétés indiquées, on donnera à cet ensemble le nom de nombre entier. Le nombre est donc abstrait; on appelle, d'autre part, nombre concret, toute collectivité d'objets connus envisagée sous le rapport du nombre; ainsi un, et un et un forment un nombre abstrait que l'on appelle trois. Un euro et un euro et un euro forment une collectivité qu'on appellera trois euros; c'est un nombre concret.

Deux nombres qui se correspondent à la façon de tout à l'heure sont dits égaux; dans le cas contraire, ils sont dits inégaux et celui auquel il reste des unités intactes après la correspondance établie est, par définition, le plus grand : il se compose du plus petit augmenté de quelque chose.

Ce mode de correspondance montre encore que deux nombres égaux à un troisième sont égaux entre eux.

Formation des nombres entiers

L'unité étant l'objet de la collection, on peut former un nombre, comme toute collection, en prenant une unité, puis une autre, puis une autre... ce qui s'écrit en abrégé 1 +1+1... Il est alors manifeste que le nombre 1+1+1+1+1 peut être formé à partir d'un nombre plus petit. 1+1+1 par exemple, auquel nous ajouterions 1 et encore 1, ou mieux encore auquel on ajouterait immédiatement le nombre convenable 1+1. Au reste, ce procédé expérimental de formation des nombres en suggère un autre : on peut prendre un nombre plus grand 1+1+1+1+1+1+1 auquel on enlève le nombre 1+1 ou bien successivement 1 et encore 1. Ces deux modes constituent l'addition et la soustraction élémentaires.

Il résulte aussi du mode indiqué que la suite des nombres entiers est illimitée; car, un nombre quelconque étant donné, on peut en former un plus grand en lui ajoutant une unité.

Numération

La suite des nombres entiers étant formée, il restait à leur donner des noms et à trouver des symboles pratiques pour les figurer, en un mot à constituer une numération parlée et une numération écrite; les premiers nombres de la suite ont reçu des noms spéciaux un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix. Mais l'effort de mémoire serait considérable si l'on voulait persévérer quelque peu dans cette voie. Nous considérons alors les nombres suivants comme formés de dix et de quelque chose : ce seront dix-un, dix-deux, dix-trois... (I'usage a ailleurs prévalu de les nommer respectivement onze, douze... dix-sept, dix-huit, dix-neuf). Nous arrivons ainsi à dix-dix ou deux-dix que l'on appelle vingt, et l'on peut alors continuer de même en nommant vingt et un, vingt-deux... jusqu'à vingt-neuf; le nombre suivant est a vingt-dix » ou trois fois dix que l'on appelle trente, et l'on continue de la sorte en n'affectant de nouveaux noms qu'aux divers nombres de dizaines : quarante, cinquante, soixante, septante (soixante-dix), octante (quatre-vingts), nonante (quatre-vingt-dix).

On voit que le nombre dix, a joue un rôle important, puisque nous avons donné des noms distincts aux dix premiers nombres et considéré les suivants comme formés par des groupes de dix et un groupe inférieur à dix. Dix dizaines ou cent va jouer un rôle analogue, et les nombre suivants seront considérés comme formés par des groupes de cent, tels que un cent, deux cents... augmenté de quelque nombre inférieur que nous savons déjà nommer. Dix centaines recevront un nom nouveau, mille; tout nombre suivant sera constitué par un groupe de mille, tel que un mille, deux mille, vingt mille, quatre cent cinquante mille... augmenté de quelque nombre inférieur à mille que nous savons énoncer. Mille mille forment un million; mille millions constituent un milliard ou billion; mille milliards font un trillion... et ainsi de suite de mille en mille.

Pareil système, dit décimal, présente une base arbitraire, dix; on peut au reste concevoir une infinité de systèmes de numération, par exemple en choisissant une autre hase que dix. Néanmoins, cette énumération parlée présente deux imperfections principales : 

1° l'usage a fait augmenter le nombre des mots employés de quelques expressions inutiles, onze, douze... ainsi que vingt, trente... qui, nous l'avons vu, pouvaient s'énoncer autrement; 

2° chaque mot n'a pas toujours le même rôle dans l'énoncé d'un nombre : dans mille cent vingt-quatre, tout mot a une valeur propre, et la juxtaposition n'est que le symbole de l'addition mille + cent +vingt + quatre : au contraire, si un nombre en précède un plus grand que lui, ils sont de ce fait solidaires et inséparables : ainsi deux mille six cent trente exprime deux mille + six cents + trente.

La numération écrite n'a pas ces inconvénients : elle fait correspondre des symboles distincts, appelés chiffres, 1, 2, 3, 4, 4 6, 7, 8, 9, aux neuf premiers nombres; à droite du nombre écrit, se trouve le chiffre qui figure le nombre des unités et, en allant vers la gauche, les chiffres correspondent aux collectivités successives et de plus en plus grandes que nous avons énumérées. Au reste, un symbole spécial 0 (zéro) remplace les ordres de collections qui pourraient faire défaut : ainsi, le nombre cinq cent sept s'écrira 507 et non 57; car, dans ce dernier cas le 5 ne correspondrait pas à des centaines, mais bien à des dizaines qui, généralement, sont figurées à cette place.
 

Opérations fondamentales

L'addition.
Faire l'addition concrète de deux ou plusieurs collections, c'est les réunir pour en former une seule. De même, l'addition abstraite sera la réunion de plusieurs nombres en un seul que l'on appelle somme ou total; on peut faire l'addition on ajoutant successivement à l'un des nombres toutes les unités qui composent le second, puis toutes celles qui composent le troisième... On n'agit pas autrement pour les petits nombres; mais, pour ceux qui sont plus grands, on emploie certaines règles abréviatives. Dans ces conditions, l'addition est commutative et associative, c'est-à-dire que son résultat est indépendant de l'ordre dans lequel on prend les nombres à additionner, et que, de plus, on peut former, parmi ces nombres, des groupes qu'on additionne respectivement, en sorte que la somme de ces groupes soit toujours égale à la somme des nombres qu'il s'agit d'additionner.

La soustraction.
Etant données deux collections, dont l'une est plus grande que l'autre, on peut inversement enlever à la première autant d'objets qu'il y en a dans la seconde; la collection restante est dite alors reste, excès ou différence, et l'opération s'appelle une soustraction. On peut encore envisager autrement la soustraction et ajouter un à un à la plus petite collection autant d'objets qu'il en faut pour arriver à constituer une collection égale à la plus grande; le nombre des objets ainsi ajoutés sera encore la différence des nombres proposés.

La multiplication.
La multiplication n'est autre chose qu'une addition dans laquelle tous les nombres à ajouter sont égaux : l'un quelconque de ces nombres est appelé multiplicande et le nombre de ces nombres égaux prend le nom de multiplicateur; le résultat de l'opération s'appelle produit.

La division.
La division d'un nombre par un autre revient inversement à en trouver un troisième (quotient) dont le produit par le second (diviseur) soit égal au premier (dividende). 

Pour plus de détails, nous renverrons à tous ces mots, ainsi qu'à Puissance et Racine.

Fractions

Avec la seule notion de nombre entier on peut définir la fraction de la manière suivante on appelle fraction un ensemble de deux nombres entiers a et b écrits dans un certain ordre (l'un au-dessous de l'autre par exemple, ou encore côte à côte, séparés par le signe /) et dont le second n'est pas nul. Deux fractions a/b, c/d seront dites égales si les nombres a,b, c,d vérifient la relation a x d = b x c; cette convention est légitime, conforme aux conditions logiques de toute égalité et notamment à l'axiome : Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles. Cette définition donnée, on voit immédiatement que, si l'on multiplie ou si l'on divise les deux termes d'une fraction par un même nombre, on obtient une nouvelle fraction égale à la première. 

Cette propriété permet de simplifier une fraction, et de réduire plusieurs fractions au même dénominateur. L'opération fondamentale, l'addition, se définit alors de la manière suivante : on appelle somme des deux fractions une nouvelle fraction qui a même dénominateur que les proposées et dont le numérateur est la somme des deux numérateurs. Cette définition est encore conforme aux principes de l'addition, car la somme n'est pas changée quand on modifie l'ordre ou le groupement des quantités à additionner. 

L'addition étant définie, on peut aisément en déduire les définitions de la soustraction ou de la multiplication et de la division des fractions par un nombre entier. 

Et voici, logiquement édifiée, l'arithmétique des fractions sans faire appel à d'autre notion que celle des nombres entiers; il est ailleurs simple de relier cette arithmétique à celle des nombres entiers par la convention suivante toute fraction avant un pour dénominateur est considérée comme égale au nombre entier qui lui sert de numérateur. Ainsi, comme cas particulier, les nombres entiers apparaissent dans la suite des fractions, et il en résulte encore que toute fraction peut être considérée comme le quotient de son numérateur par son dénominateur, lorsque ce quotient existe.

Le fait que certaines fractions représentent ainsi le résultat d'une division nous ramène à la notion expérimentale des fractions, habituellement exposée : l'unité étant divisée en parties égales, on appelle fraction un certain nombre de ces parties. Cette définition implique l'idée de division pour tous les nombres entiers, en particulier pour l'unité, et c'est là encore une idée que nous n'avions pas eu encore à emprunter à l'expérience en évoquant la notion simple du nombre entier.

Histoire de l'arithmétique

Le système de la numération décimale semble bien venir uniquement de l'existence de dix doigts sur lesquels les hommes préhistoriques auraient pris l'habitude de nombrer les objets; cependant, les recherches faites par Alexandre de Humboldt, Pott, etc., prouvent aussi que les systèmes quinaire et vigésimal furent en honneur chez les primitifs.

Après avoir institué la numération parlée, on chercha longtemps l'expression écrite des nombres; le boulier analogue au tchotu (russe), au souwan pan (chinois), à l'abax ou abacus (étrusque), par ses boules diversement colorées, indiquait déjà à quelle classe de grandeurs on avait affaire, unités, dizaines. centaines... Enfin, de véritables signes numériques, derniers vestiges des anciennes écritures hiéroglyphiques, allaient être employés; peu nombreux chez les Egyptiens, ils commencent, avec les Romains, à former une numération écrite, bien imparfaite il est vrai, et cependant assez complète. La tradition a longtemps voulu que les Arabes nous aient donné nos chiffres actuels après les avoir empruntés aux Indiens; Vossius (XVIIe siècle), Vincent et Chasles en firent, au contraire, remonter l'origine à l'école pythagoricienne, mais les travaux ultérieurs de P. Tannery ont établi que, si les Grecs de l'école d'Alexandrie avaient une notation très systématique, la numération décimale et ses principales règles sont bien originaires de l'Inde et ont été introduites en Occident vers le XIe ou XIIe s. par les Arabes.

Si l'on en juge par quelques fragments d'Euclide, les anciens philosophes se sont fort attachés à la recherche des propriétés des nombres : déjà pour l'école de Pythagore (500 av. l'ère commune) l'existence des nombres incommensurables (celui qui mesure la diagonale d'un carré, par exemple; ne faisait plus de doute, et il fallut attendre, cependant, jusqu'au XIXe siècle pour éclairer complètement; le caractère des quantités irrationnelles. 

Cependant, il faut aller jusqu'à Diophante (325) pourvoir résoudre, avec une réelle élégance, des questions assez difficiles, puis attendre le XVIe siècle avec Viète et Bachet pour voir faire des progrès considérables à la science des nombres. Fermat (1601) est peut-être l'esprit le plus profond qui se soit porté vers la recherche des propriétés des nombres. Malgré tout, la théorie des nombres n'était encore qu'un recueil curieux, presque mystérieux, de propriétés isolées; les plus profonds géomètres, Euler, Lagrange, Legendre, Gauss, Lejeune-Dirichlet, Tchebychef, Hermite, etc., devaient enfin y appliquer les méthodes les plus élevées de l'analyse indéterminée et de l'analyse algébrique, pour en relier les propriétés et constituer définitivement une véritable science. (NLI).

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