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Algèbre

On pourrait définir l'algèbre  comme cette branche des mathématiques par son objet qui est de résoudre d'une manière générale les questions relatives aux structures ou simplement, pour s'en tenir à l'algèbre élémentaire, aux nombres, au moyen des relations que l'on peut établir entre les quantités connues et les inconnues qui entrent dans la question. On ajoutera qu'à cet effet, on emploie les lettres de l'alphabet pour désigner les grandeurs sur lesquelles on doit raisonner, et on représente par des caractères particuliers, appelés signes algébriques, les opérations à faire sur ces grandeurs. On facilite ainsi les raisonnements et on les abrège en même temps qu'on en augmente la généralité. Les premières lettres de l'alphabet sont réservées aux quantités connues, les dernières lettres x, y, z, aux quantités inconnues. Le signe + indique l'addition de deux nombres et s'énonce plus. Le signe - indique qu'un nombre doit être soustrait d'un autre et s'énonce moins.

En fait, il est assez difficile de donner une bonne définition de l'algèbre. Pour Lagrange (Traité de la résolution des équations numériques), 

« son objet n'est pas de trouver les valeurs mêmes des quantités que l'on cherche, mais le système d'opérations à faire sur les quantités données pour en déduire les valeurs que l'on cherche d'après les conditions du problème; le tableau de ces opérations représentées par les caractères algébriques est ce qu'on appelle une formule ». 
Ces quelques lignes ne définissent pas bien l'objet de l'algèbre, il me semble, mais elles contiennent une bonne définition du mot formule. On pourrait croire, en effet, que le seul but de l'algèbre est la mise en équation des problèmes et la résolution des équations au moyen de formules algébriques; J.- A. Serret dit, dans son Traité d'algèbre supérieure, que 
«  l'algèbre, à proprement parler, est l'analyse des équations ».
Le livre de Serret ne traite, en effet, que de questions relatives, directement ou indirectement, à la théorie des équations; cependant, d'après la définition de Lagrange, la résolution numérique des équations serait plutôt du ressort de l'arithmétique. Pour Euler
« l'algèbre on l'analyse consiste dans un traité complet de la science des nombres et dans un examen soigneux des différentes manières de calculer qui peuvent se présenter-». 

Pour Euler et pour Lagrange, il est évident que le mot algèbre n'a pas le même sens. Euler ne distingue pas l'algèbre de l'arithmétique; les plus anciens livres d'algèbre, ceux de Diophante et de Brahmegupta, sont bien plutôt des livres d'arithmologie. 
« En algèbre, dit Bertrand, on étudie les opérations, indépendamment des nombres sur lesquels elles s'exécutent: c'est là le caractère distinctif de cette science. La ligne de démarcation entre l'algèbre et l'arithmétique est, du reste, en quelque sorte, insaisissable-»
Duhamel, dans sa Méthode sur les sciences du raisonnement, ne distingue pas l'algèbre de l'arithmétique, il les confond sous le nom de science des nombres. En présence d'un désaccord aussi sensible entre d'éminents géomètres, on comprendra que nous nous abstenions de donner une définition qui se voudrait définitive de l'algèbre, nous dirons cependant quelles ont été les matières traitées dans les ouvrages modernes qui portent en titre le mot algèbre. Ces matières étaient vers 1900 : le calcul des quantités algébriques, l'analyse combinatoire (Analyse mathématique), les progressions et les logarithmes, enfin la théorie des équations. Les manuels parus au XXe siècle ont placé les logarithmes dans l'analyse, mais ont rangé dans l'algèbre la théories des ensembles et l'étude des structures, chapitres qui irriguent désormais de leurs concepts la totalité des mathématiques. On trouvera ainsi dans l'ouvrage d'Algèbre de Michel Queysanne (1964), destiné aux étudiants de premier cycle, les thèmes suivants : théorie des ensembles, entiers naturels (et analyse combinatoire), structures algébriques (lois de composition, groupes, corps, espace vectoriels, etc.), matrices et déterminants, équations linéaires, polynômes, fractions rationnelles, équations algébriques. 
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