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On pourrait définir
l'algèbre comme cette branche des mathématiques
par son objet qui est de résoudre d'une manière générale les questions
relatives aux structures ou simplement, pour s'en tenir à l'algèbre élémentaire,
aux nombres, au moyen des relations
que l'on peut établir entre les quantités
connues et les inconnues qui entrent dans la question.
Contrairement Ã
l'arithmétique,
qui se concentre principalement sur les nombres spécifiques, l'algèbre
introduit des variables (souvent représentées par des lettres comme x,
y, z) pour généraliser les concepts mathématiques et exprimer des relations.
On représente par des caractères particuliers, appelés signes algébriques,
les opérations à faire sur ces grandeurs. Cela facilite les raisonnements
et les abrège en même temps que cela en augmente la généralité.
Les premières lettres de l'alphabet sont réservées aux quantités connues,
les dernières lettres x, y, z, aux quantités inconnues. Le signe
+ indique l'addition de deux nombres et s'énonce
plus. Le signe - indique qu'un nombre doit être soustrait
d'un autre et s'énonce moins.
Quelques définitions :
• Les
variables représentent des valeurs inconnues ou changeantes, tandis
que les constantes sont des valeurs fixes.
• Une expression
algébrique combine des variables, des constantes et des opérations
(comme l'addition, la soustraction, la multiplication et la division).
Par exemple : 3x+5 est une expression algébrique.
• Une équation
est une égalité entre deux expressions algébriques. Par exemple : 2x+3=7.
Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de la variable qui
satisfait cette égalité.
• Une fonction
décrit la relation entre deux ensembles de valeurs, où chaque valeur
d'entrée (ou x) a une valeur de sortie correspondante (ou y).
Pour ce qui est, maintenant, de donner
une bonne définition de l'algèbre, c'est
plus difficile. Pour
Lagrange (Traité de
la résolution des équations numériques),
« son objet
n'est pas de trouver les valeurs mêmes des quantités que l'on cherche,
mais le système d'opérations à faire sur les quantités données pour
en déduire les valeurs que l'on cherche d'après les conditions du problème;
le tableau de ces opérations représentées par les caractères algébriques
est ce qu'on appelle une formule ».
Ces quelques lignes ne définissent pas bien
l'objet de l'algèbre, mais elles contiennent une bonne définition
du mot formule. On pourrait croire, en effet, que le seul but de l'algèbre
est la mise en équation des problèmes et la résolution des équations
au moyen de formules algébriques; J.- A. Serret
dit, dans son Traité d'algèbre supérieure, que
«
l'algèbre, à proprement parler, est l'analyse des équations ».
Le livre de Serret ne traite, en effet, que
de questions relatives, directement ou indirectement, à la théorie des
équations; cependant, d'après la définition de Lagrange, la résolution
numérique des équations serait plutôt du ressort de l'arithmétique.
Pour Euler,
« l'algèbre
on l'analyse consiste dans un traité complet de la science des nombres
et dans un examen soigneux des différentes manières de calculer qui peuvent
se présenter-».
Pour Euler et pour Lagrange, il est évident
que le mot algèbre n'a pas le même sens. Euler ne distingue pas l'algèbre
de l'arithmétique; les plus anciens livres d'algèbre, ceux de Diophante
et de Brahmegupta, sont bien plutôt des livres d'arithmologie.
« En algèbre,
dit Bertrand, on étudie les opérations, indépendamment
des nombres sur lesquels elles s'exécutent: c'est là le caractère distinctif
de cette science. La ligne de démarcation entre l'algèbre et l'arithmétique
est, du reste, en quelque sorte, insaisissable-»
Duhamel, dans sa
Méthode
sur les sciences du raisonnement, ne distingue pas l'algèbre de l'arithmétique,
il les confond sous le nom de science des nombres. En présence d'un désaccord
aussi sensible entre d'éminents géomètres, on comprendra que nous nous
abstenions de donner une définition qui se voudrait définitive de l'algèbre,
nous nous contenterons de dire quelles ont été les matières traitées
dans les ouvrages modernes qui portent en titre le mot algèbre
:
Les principaux thèmes
de l'algèbre
Ces matières étaient vers 1900 : le calcul
des quantités algébriques, l'analyse combinatoire ( Analyse
mathématique), les progressions et les logarithmes,
enfin la théorie des équations. Les manuels
parus au XXe siècle ont placé les logarithmes
dans l'analyse, mais ont rangé dans l'algèbre la théories des ensembles
et l'étude des structures, chapitres qui irriguent désormais de leurs
concepts la totalité des mathématiques.
On trouvera ainsi dans l'ouvrage d'Algèbre
de Michel Queysanne (1964), destiné aux étudiants de premier cycle, les
thèmes suivants :
Théorie des ensembles.
La théorie des
ensembles
est la base de nombreuses branches des mathématiques, y compris l'algèbre.
Elle étudie les collections d'éléments appelées ensembles. En algèbre,
elle est utilisée pour définir des concepts tels que les relations, les
fonctions, et les structures algébriques. Concepts clés : ensembles,
sous-ensembles, union, intersection, complément, relations, applications
(ou fonctions).
Entiers naturels
et analyse combinatoire
Les entiers naturels
( ) constituent
la base de la numérotation et des opérations algébriques élémentaires.
L'analyse combinatoire se concentre sur le dénombrement des éléments
et l'étude des arrangements, des permutations, des combinaisons, etc.
Ces concepts sont cruciaux pour comprendre la structure des ensembles et
les relations entre eux.
Structures algébriques.
Les structures
algébriques sont des ensembles équipés de lois de composition qui
respectent certaines propriétés.
Une
loi de composition est une opération qui associe deux éléments d'un
ensemble pour en produire un troisième. Par exemple, l'addition et la
multiplication sont des lois de composition sur les entiers.
Voici les principales
structures :
Groupes.
Un groupe
est un ensemble muni d'une loi de composition qui respecte quatre propriétés
: fermeture, associativité, élément neutre, et élément inverse. Par
exemple, l'ensemble des entiers relatifs avec l'addition forme un groupe.
Anneaux.
Un anneau est une
structure avec deux lois de composition (addition et multiplication) où
l'addition forme un groupe abélien (commutatif) et la multiplication est
associative.
Corps.
Un corps est un
anneau où chaque élément non nul a un inverse multiplicatif. Par exemple,
l'ensemble des nombres rationnels, réels ou complexes.
La
théorie des corps étudie les propriétés des corps, y compris les extensions
de corps et les solutions des équations polynomiales. C'est une base pour
la géométrie algébrique et la théorie
de Galois.
Espaces
vectoriels.
Un espace vectoriel
est un ensemble de vecteurs, avec des opérations d'addition de vecteurs
et de multiplication par des scalaires (éléments d'un corps), qui respecte
certaines propriétés. Ce concept est fondamental en algèbre linéaire.
Algèbre linéaire.
L'algèbre
linéaire étudie les espaces vectoriels et les transformations linéaires
entre eux. Elle inclut des concepts comme les matrices, les déterminants,
les vecteurs propres, et les valeurs propres. Concepts clés : systèmes
d'équations linéaires, matrices, espaces vectoriels, transformations
linéaires, diagonalisations.
Matrices.
Une matrice est
un tableau de nombres organisé en lignes et en colonnes. Les matrices
sont utilisées pour représenter des systèmes d'équations linéaires,
des transformations linéaires, et pour effectuer des calculs en algèbre
linéaire. Concepts clés : addition, multiplication de matrices, matrice
inverse, matrice transposée, trace d'une matrice.
Déterminants.
Le déterminant
est un nombre calculé à partir d'une matrice carrée qui donne des informations
sur ses propriétés. Par exemple, un déterminant non nul indique que
la matrice est inversible.
Equations
linéaires.
Une équation linéaire
est une équation de la forme ax+by+cz=d, où a, b, c, et d sont des constantes,
et x, y, z sont des variables. Ces équations sont résolues pour trouver
les valeurs des variables. Les systèmes d'équations linéaires consistent
en plusieurs équations linéaires simultanées et peuvent être résolus
par différentes méthodes comme l'élimination de Gauss, l'inversion de
matrices, ou la méthode de Cramer. Concepts clés
: résolution de systèmes linéaires, matrices augmentées, méthode du
pivot de Gauss, rang d'une matrice.
Polynômes.
Un polynôme
est une expression algébrique de la forme anxn
+
an−1xn−1 + ...
+ a1x + a0​,où an,
an−1,…,a0 sont des coefficients
et x est une variable. Les polynômes jouent un rôle central en algèbre
pour modéliser des relations mathématiques. Les opérations sur les polynômes
incluent l'addition, la multiplication, la division (avec reste), ainsi
que la factorisation. Concepts clés : racines d'un polynôme, théorème
fondamental de l'algèbre, factorisation, division euclidienne des polynômes,
polynômes irréductibles.
Fractions
rationnelles.
Une fraction rationnelle
est une expression du type P(x)/Q(x)​, où P(x) et Q(x) sont des polynômes.
Les fractions rationnelles généralisent les fractions arithmétiques
et sont utilisées dans la résolution d'équations rationnelles et l'analyse
des fonctions rationnelles. Les opérations sur les fractions rationnelles
incluent l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, et
la simplification. Concepts clés : simplification des fractions rationnelles,
décomposition en éléments simples, asymptotes verticales et horizontales.
Équations
algébriques.
Les équations algébriques
sont des équations impliquant des polynômes égaux à zéro, par exemple
P(x)=0. Leur résolution consiste à trouver les valeurs des variables
qui satisfont l'équation. La résolution des équations algébriques peut
inclure des méthodes comme la factorisation, la méthode des racines,
ou l'utilisation de formules (comme la formule quadratique pour les polynômes
de degré 2). Concepts clés : racines et solutions, multiplicité des
racines, théorème de Viète, équations polynomiales de degré 2, 3,
4, équations irrationnelles. |
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