L'idée fondatrice de la MHD remonte aux travaux du physicien Hannes Alfvén dans les années 1940, qui montra qu'un fluide parfaitement conducteur plongé dans un champ magnétique pouvait soutenir des ondes transversales, aujourd'hui appelées ondes d'Alfvén, analogues aux vibrations d'une corde tendue mais portées par les lignes de champ magnétique elles-mêmes plutôt que par un support matériel rigide. Cette découverte, qui lui valut le prix Nobel de physique en 1970, ouvrit la voie à une discipline entière consacrée à la compréhension des plasmas astrophysiques, des intérieurs stellaires, des noyaux planétaires, et plus tard des plasmas de laboratoire utilisés dans la recherche sur la fusion nucléaire contrôlée. Depuis, la MHD s'est imposée comme un outil incontournable pour comprendre des phénomènes aussi variés que le vent solaire, les taches solaires, la dynamo terrestre qui engendre le champ magnétique de la Terre, la structure des disques d'accrétion autour des étoiles et des trous noirs, ou encore le comportement du métal liquide dans les cuves d'électrolyse de l'aluminium et dans le refroidissement de certains réacteurs.

Le point de départ physique de la MHD est simple à énoncer : lorsqu'un fluide conducteur se déplace dans un champ magnétique, les charges libres qu'il contient subissent une force de Lorentz qui tend à générer des courants électriques. Ces courants, en retour, créent leur propre champ magnétique qui se superpose au champ extérieur, et ils subissent eux-mêmes une force, dite force de Laplace ou force de Lorentz volumique, qui agit comme une force supplémentaire dans l'équation du mouvement du fluide. Le fluide n'est donc plus seulement gouverné par la pression, la force de gravitation et la viscosité comme en hydrodynamique classique, mais aussi par cette force électromagnétique qui peut freiner, accélérer, canaliser ou même structurer entièrement l'écoulement le long des lignes de champ.

Formellement, la MHD combine les équations de Navier-Stokes de la mécanique des fluides avec les équations de Maxwell de l'électromagnétisme, reliées entre elles par la loi d'Ohm généralisée. L'équation de continuité exprime la conservation de la masse : la variation locale de la densité du fluide est égale à l'opposé de la divergence du flux de masse. L'équation de quantité de mouvement, ou équation d'Euler-Navier-Stokes modifiée, s'écrit sous la forme où la dérivée particulaire de la vitesse est égale à la somme des forces de pression, de viscosité, de gravitation, et de la force de Laplace, cette dernière s'exprimant comme le produit vectoriel de la densité de courant et du champ magnétique. À cela s'ajoute une équation d'évolution pour le champ magnétique lui-même, appelée équation d'induction, qui découle directement de la loi de Faraday combinée à la loi d'Ohm généralisée pour un milieu en mouvement. Cette équation d'induction est sans doute la plus caractéristique de la MHD : elle stipule que la variation temporelle du champ magnétique résulte de deux effets concurrents, un terme d'advection qui traduit l'entraînement du champ magnétique par le mouvement du fluide, et un terme de diffusion qui traduit la dissipation du champ magnétique sous l'effet de la résistivité électrique finie du milieu.

Le rapport entre ces deux termes, advectif et diffusif, définit un nombre sans dimension fondamental appelé nombre de Reynolds magnétique, noté généralement Rm. Il se construit de manière analogue au nombre de Reynolds classique de l'hydrodynamique, en comparant une vitesse caractéristique et une longueur caractéristique de l'écoulement à la diffusivité magnétique du milieu, cette dernière étant inversement proportionnelle à la conductivité électrique. Lorsque le nombre de Reynolds magnétique est très grand devant l'unité, ce qui est le cas dans la plupart des plasmas astrophysiques à grande échelle, l'advection domine très largement la diffusion et l'on parle de MHD idéale. Lorsqu'il est petit ou modéré, comme c'est souvent le cas dans les métaux liquides de laboratoire ou dans certaines applications industrielles, la diffusion magnétique ne peut plus être négligée et l'on doit recourir à la MHD résistive.

L'approximation de la MHD idéale constitue le cadre le plus simple et le plus étudié de la discipline. Elle repose sur l'hypothèse d'une conductivité électrique infinie, ce qui a une conséquence remarquable et très intuitive connue sous le nom de théorème du gel du flux magnétique, ou frozen-in theorem. Ce théorème énonce que, dans un fluide parfaitement conducteur, les lignes de champ magnétique se comportent comme si elles étaient matériellement attachées aux particules du fluide : elles sont étirées, comprimées, déformées et transportées exactement comme le seraient des lignes de teinture colorée injectées dans l'écoulement. Deux éléments de fluide initialement reliés par une même ligne de champ magnétique le resteront indéfiniment, quelle que soit la complexité du mouvement qui les anime. Cette image du champ magnétique "gelé" dans la matière est extraordinairement féconde pour comprendre qualitativement le comportement des plasmas astrophysiques : elle explique par exemple comment la rotation différentielle d'une étoile peut enrouler et amplifier un champ magnétique initialement faible, ou comment la convection dans le noyau terrestre peut entretenir indéfiniment le champ géomagnétique par un mécanisme dit de dynamo.

La force de Laplace, qui couple le champ magnétique à la dynamique de l'écoulement, peut elle-même être décomposée en deux contributions physiquement distinctes. La première est une force de pression magnétique, qui agit comme une pression supplémentaire isotrope proportionnelle au carré de l'intensité du champ magnétique, et qui tend à repousser le fluide des régions de champ intense vers les régions de champ plus faible. La seconde est une force de tension magnétique, qui agit le long des lignes de champ et tend à les redresser lorsqu'elles sont courbées, exactement comme la tension d'un élastique tend à ramener une corde tendue vers une configuration rectiligne. Cette dualité entre pression et tension magnétiques permet de comprendre intuitivement de nombreux phénomènes, comme la formation de boucles coronales sur le Soleil, où la tension magnétique contraint le plasma chaud à suivre des trajectoires arquées bien visibles sur les images en ultraviolet de la couronne solaire.

Un autre nombre sans dimension essentiel en MHD est le nombre de Lundquist, qui mesure le rapport entre le temps caractéristique de diffusion résistive et le temps de traversée d'une onde d'Alfvén à travers le système considéré; il joue un rôle analogue au nombre de Reynolds magnétique mais dans un contexte où la vitesse caractéristique de référence est précisément la vitesse d'Alfvén plutôt que la vitesse du fluide. On introduit également le paramètre bêta plasma, qui compare la pression thermique du fluide à la pression magnétique : un bêta faible signifie que le champ magnétique domine largement la dynamique et impose sa structure à l'écoulement, tandis qu'un bêta élevé signifie au contraire que c'est la pression du gaz qui gouverne l'essentiel du comportement, le champ magnétique n'étant alors qu'une perturbation relativement mineure. Ces nombres sans dimension permettent de classer les régimes physiques rencontrés dans des contextes aussi différents que la couronne solaire, où le bêta est typiquement très faible, et l'intérieur des étoiles ou certains plasmas de fusion, où il peut être proche de l'unité voire supérieur.

La MHD idéale admet plusieurs types d'ondes qui n'ont pas d'équivalent en hydrodynamique pure. Les ondes d'Alfvén, déjà mentionnées, sont des ondes purement transversales qui se propagent le long des lignes de champ magnétique sans faire varier la pression ni la densité du fluide : elles sont l'analogue exact des ondes sur une corde vibrante, la tension magnétique jouant le rôle de la tension mécanique et la densité du fluide jouant le rôle de la masse linéique de la corde. À côté des ondes d'Alfvén existent les ondes magnétosoniques, qui résultent du couplage entre les ondes sonores ordinaires et la pression magnétique : on distingue les ondes magnétosoniques rapides, qui se propagent plus vite que le son et l'onde d'Alfvén dans presque toutes les directions, et les ondes magnétosoniques lentes, dont la propagation est plus contrainte et dépend davantage de l'angle entre la direction de propagation et le champ magnétique ambiant. Ces trois familles d'ondes, alfvénique, magnétosonique rapide et magnétosonique lente, forment la base de toute l'analyse linéaire des perturbations en MHD, de la même manière que l'onde sonore est la brique de base de l'acoustique.

Au-delà de la propagation d'ondes, la MHD s'intéresse également à des phénomènes intrinsèquement non linéaires et souvent dissipatifs, dont le plus emblématique est sans doute la reconnexion magnétique. Lorsque deux régions de plasma portant des champs magnétiques de direction opposée sont amenées en contact, une fine couche de courant électrique intense se forme à leur interface. Bien que la MHD idéale interdise en principe toute diffusion du champ magnétique, la géométrie extrêmement resserrée de cette couche de courant permet à la résistivité, même très faible, de devenir localement dominante : les lignes de champ se rompent et se reconnectent selon une topologie différente, libérant brutalement une grande quantité d'énergie magnétique sous forme d'énergie cinétique et thermique. Ce mécanisme est considéré comme le moteur principal des éruptions solaires et des sous-orages magnétosphériques terrestres, et il reste à ce jour l'un des problèmes les plus actifs de la recherche en physique des plasmas, notamment parce que les taux de reconnexion observés sont souvent bien supérieurs à ceux que prédit la théorie résistive classique, ce qui a motivé le développement de modèles faisant intervenir la turbulence ou des effets cinétiques non capturés par le cadre fluide de la MHD.

La MHD trouve des applications dans un spectre remarquablement large de domaines. En astrophysique, elle est indispensable pour modéliser la structure et la dynamique des étoiles, la formation des jets relativistes émis par les noyaux actifs de galaxies, l'accrétion de matière autour des objets compacts, ou encore la propagation du vent solaire et son interaction avec la magnétosphère terrestre, phénomène à l'origine des aurores polaires et des tempêtes géomagnétiques susceptibles de perturber les réseaux électriques et les satellites. En géophysique, la théorie de la dynamo, qui repose entièrement sur les équations de la MHD, est le cadre explicatif standard pour comprendre comment les mouvements de convection dans le noyau externe liquide de la Terre entretiennent le champ géomagnétique contre sa dissipation ohmique naturelle. Dans le domaine de l'énergie, la recherche sur la fusion nucléaire par confinement magnétique, notamment dans les dispositifs de type tokamak comme ITER, repose de manière essentielle sur la MHD pour comprendre et contrôler les instabilités qui peuvent dégrader ou détruire le confinement du plasma chaud. Enfin, dans l'industrie, la MHD s'applique à la métallurgie du liquide, en particulier au brassage électromagnétique des métaux en fusion dans les procédés de coulée continue, au pompage électromagnétique de métaux liquides sans pièces mobiles, et à la conception de générateurs magnétohydrodynamiques destinés à convertir directement l'énergie cinétique d'un plasma en énergie électrique.

Malgré la puissance descriptive du cadre MHD, il convient de garder à l'esprit qu'il repose sur des approximations qui ne sont pas toujours valides. La MHD traite le plasma comme un fluide unique, caractérisé par une seule vitesse, une seule pression et une seule densité, alors qu'un plasma réel est composé d'ions et d'électrons dont les comportements peuvent diverger significativement, en particulier à des échelles spatiales ou temporelles courtes, proches du rayon de Larmor ou de la fréquence cyclotronique des particules. Lorsque ces effets cinétiques deviennent importants, on doit recourir à des descriptions plus fines, comme la MHD à deux fluides, la MHD de Hall qui prend en compte le découplage entre le mouvement des électrons et celui des ions, ou finalement la théorie cinétique complète des plasmas, beaucoup plus coûteuse à résoudre numériquement mais indispensable pour étudier certains phénomènes fins comme la reconnexion rapide ou la formation de chocs sans collision. La MHD classique demeure néanmoins, à grande échelle et pour un grand nombre de collisions entre particules, une approximation remarquablement robuste et féconde, qui continue d'irriguer aussi bien la recherche fondamentale en astrophysique que des applications technologiques très concrètes.