La loi de Lorentz stipule que pour un charge q (positive ou négative) en mouvement et de vitesse v dans un champ électrique E et un champ magnétique B, la force F exercée sur ce charge est donnée par : 

où Λ représente le produit vectoriel. Les lettres en gras identifient des vecteurs.

Explications.
La formule peut être décomposée en deux parties principales : qE est la force due au champ électrique, et q(vΛB) est la force due au champ magnétique. Chacune de ces forces agit de manière différente sur le particule.

Lorsque seule une force électrique est présente, la force exercée sur le particule est simplement proportionnelle à la charge électrique de la particule et au champ électrique. Si la particule est porteuse d'une charge électrique positive, elle sera poussée dans la direction du champ électrique. Si le signe de la charge est négatif, la particule sera attirée dans la direction opposée.

La force due au champ magnétique est plus complexe. Elle dépend de la vitesse de la particule chargée et de la direction du champ magnétique. La force magnétique est toujours perpendiculaire à la fois à la vitesse du particule et au champ magnétique (c'est ce qu'exprime le produit vectoriel). Cela signifie que la force magnétique ne fait pas de travail (elle ne modifie pas l'énergie cinétique du particule) mais elle peut modifier sa trajectoire.

Le produit vectoriel vΛB est donné par : |v||B|sin(θ)u, où θ est l'angle entre v et B, et u est un vecteur unitaire perpendiculaire à la fois à v et à B. Si v est parallèle ou anti-parallèle à B (θ = 0 rad ou θ =  π rad0), alors sin⁡(θ) = 0 et la force magnétique est nulle. Si v est perpendiculaire à B (θ = π), alors sin⁡(θ) = 1 et la force magnétique est maximale.

Dans un champ magnétique uniforme, la force magnétique  q(vΛB) pousse les particules chargées dans des directions perpendiculaires à leur vitesse et au champ magnétique. Cela entraîne des trajectoires circulaires ou hélicoïdales pour les particules.

• Trajectoires circulaires. - Dans un champ magnétique uniforme, une particule chargée se déplace en trajectoire circulaire si sa vitesse est perpendiculaire au champ magnétique. La force magnétique fournit l'accélération centripète nécessaire pour maintenir cette trajectoire.

• Trajectoires hélicoïdales. - Si la vitesse de la particule a une composante parallèle au champ magnétique, elle se déplace en spirale autour des lignes de champ magnétique.

Applications.
Les déflecteurs de particules utilisent la force de Lorentz pour diriger les particules chargées. Par exemple, dans un tube à vide, un champ magnétique peut être utilisé pour courber la trajectoire d'une particule chargée et la diriger vers une cible spécifique.

La force de Lorentz est également à l'origine du fonctionnement des moteurs électriques et des générateurs. Dans un moteur électrique, une force magnétique est appliquée sur un conducteur porteur de courant, provoquant un mouvement rotatif. Dans un générateur, un mouvement mécanique induit un courant électrique en exploitant la force de Lorentz.

Les particules cosmiques, comme les protons et les électrons, sont soumises à la force de Lorentz lorsqu'elles interagissent avec les champs magnétiques des planètes ou des étoiles. Cela explique pourquoi certaines particules suivent des trajectoires circulaires ou hélicoïdales dans les champs magnétiques des planètes.

Histoire de l'établissement de la formule de Lorentz.
L'équation qui décrit la force de Lorentz n'est pas le fruit d'une simple observation mais d'une synthèse théorique reliant les expériences sur les courants et les rayonnements, les équations de Maxwell et une hypothèse nouvelle sur la structure microscopique de la matière. 

À la fin du XIX^e siècle, la physique connaissait une transformation profonde. Les théories électromagnétiques de James Clerk Maxwell avaient unifié l'électricité, le magnétisme et la lumière dans un cadre mathématique cohérent. Cependant, l'interaction entre des particules chargées en mouvement et les champs électromagnétiques restait à préciser. C'est dans ce contexte qu'Hendrik Antoon Lorentz entreprit de développer une théorie qui expliquerait les phénomènes électromagnétiques dans la matière.

Lorentz s'appuya sur les équations de Maxwell, qui décrivaient comment les champs électrique et magnétique se propagent et interagissent. Cependant, ces équations ne disaient pas directement quelle force un champ exerce sur une charge individuelle en mouvement. En parallèle, des expériences menées par des physiciens comme Heinrich Hertz et Pieter Zeeman montraient que les champs magnétiques affectent la lumière et les électrons dans les matériaux. En 1895, Zeeman découvrit que les raies spectrales d'un matériau étaient modifiées lorsqu'il était placé dans un champ magnétique, phénomène qui allait devenir le fameux effet Zeeman. Lorentz interpréta ces résultats en supposant que les électrons dans les atomes étaient responsables de l'émission lumineuse et qu'ils étaient soumis à des forces électromagnétiques.

Pour construire sa théorie, Lorentz fit l'hypothèse que la matière contenait des charges ponctuelles, les électrons, qui obéissaient à des lois classiques de mouvement. Il combina alors les résultats empiriques connus avec la structure des équations de Maxwell. Il raisonna que dans un champ électrique E, une charge q subit naturellement une force qE. En étudiant également les effets d'un champ magnétique B sur des charges en mouvement, notamment à travers les expériences sur les courants et les forces magnétiques connues depuis Ampère et Laplace, il proposa que le champ magnétique ne fait pas de travail mais modifie la direction du mouvement de la charge en exerçant une force perpendiculaire à sa vitesse v et au champ B.

De ces considérations, Lorentz formula une expression qui rassemblait les contributions électrique et magnétique dans une seule loi. Celle qui apparaît au début de cette page. Cette équation exprime que le champ électrique accélère directement la particule dans sa direction, tandis que le champ magnétique induit une force perpendiculaire à la trajectoire, déviant le mouvement sans en changer l'énergie.

En 1895, Lorentz publia une théorie électronique de la matière qui intégrait cette force fondamentale. Il démontra que cette force expliquait non seulement l'effet Zeeman mais également de nombreux autres phénomènes électromagnétiques dans les matériaux. Son approche ouvrit la voie notamment à l'électrodynamique des électrons.