On définit communément les mathématiques comme la science des rapports des quantités; mais, bien que cette définition, quand on recherche exactement tout son contenu, soit exacte et suffisante, les philosophes classiques y ont vu depuis  Leibniz la science des quantités, soit dans le temps, soit dans l'espace, en considérant avec ce philosophe, l'espace comme l'ordre des phénomènes simultanés, et le temps comme l'ordre des phénomènes successifs. En effet, la science mathématique n'aborde que des questions d'ordre et de grandeur. Les mathématiques, considérées abstractivement, comprennent, dit Cournot, un système de connaissances scientifiques étroitement liées les unes aux autres, et fondées sur des notions idéales qui se trouvent dans tous les esprits. Elles portent sur des vérités rigoureuses que la raison est capable de découvrir sans le secours de l'expérience, et qui , néanmoins peuvent toujours se confirmer par l'expérience dans les limites d'approximation que comporte celle-ci.

Grâce à ce double caractère, que nulle autre science ne présente, les mathématiques, ainsi appuyées sur l'une et l'autre base de la connaissance humaine, s'imposent irrésistiblement aux esprits les plus pratiques comme aux plus spéculatifs. Elles justifient le nom qu'elles portent, et qui indique les sciences par excellence, les sciences éminentes entre toutes les autres, par la rigueur des théories, l'importance et la sûreté des applications. Les quantités dans le temps et l'espace peuvent être considérées en elles-mêmes et dans les phénomènes physiques auxquels elles s'appliquent. De là naît une première division des mathématiques qui, dans le premier cas, prennent Ie nom de mathématiques pures, et, dans le second, celui de mathématiques appliquées.

Toujours selon cette approche, la loi formelle de quantité appliquée au temps donne la succession des instants, ou le nombre; appliquée à l'espace, elle donne la conception de la conjonction des points, ou de l'étendue. La nombre et l'étendue donnent donc naissance à deux branches distinctes des mathématiques pures : la première est l'algorithmie ou la science des nombres, laquelle se subdivise en arithmétique, qui a pour objet les nombres considérés en particulier, et en algèbre, qui a pour objet les nombres considérés en général. La seconde est la géométrie ou la science de l'étendue. A ces deux branches se rattachent de nombreux rameaux qui sont autant parties détachées et spécialisées des mathématiques pures. Tels sont, pour l'algorithmie, le calcul différentiel, le calcul intégral, le calcul des probabilités; et pour la géométrie, la géométrie élémentaire, la géométrie descriptive, et la géométrie analytique qui unit les deux branches.

Les mathématiques appliquées peuvent constituer autant de branches différentes qu'il peut exister de sciences différentes pour le savoir humain. En conséquence, c'est d'après la considération des objets auxquels s'appliquent les mathématiques qu'il faut chercher la base d'une classification pour cette catégorie. 

" Parmi ses objets, dit Montferrier, on peut distinguer ceux qui sont donnés par la nature ou par l'ensemble des phénomènes physiques, de ceux qui sont donnés par l'art ou sont les produits de l'action de l'homme."

Enfin, il un point da vue qui n'a d'autre raison d'être que les besoins de l'enseignement, on divise les mathématiques en mathématiques élémentaires, qui se composent de l'arithmétique, de l'algèbre et de la géométrie élémentaires, ainsi que de la trigonométrie; en mathématiques spéciales, qui comprennent l'algèbre supérieure, la géométrie descriptive, la géométrie analytique ; et en mathématiques transcendantes, qui renferment le calcul intégral, le calcul différentiel, etc.

Les méthodes générales employées dans les sciences mathématiques sont l'analyse et la synthèse. Mais, en outre, les mathématiciens désignent encore sous le nom de méthode, certains procédés particuliers, certains artifices spéciaux, usités pour arriver à la solution de divers problèmes, ou pour établir certaines vérités mathématiques : c'est ainsi que l'on dit, méthode des infiniment petits, méthode des limites, etc.

" Le goût de l'exactitude, l'impossibilité de se contenter de notions vagues, de s'attacher à des hypothèses, quelque séduisantes qu'elles soient, le besoin d'apercevoir clairement la liaison des propositions et la but où elles tendent sont, a très bien dit un illustre géomètre, Lacroix, les fruits les plus précieux de l'étude des mathématiques. Elle ne sert pas seulement à rectifier l'esprit, elle l'étend encore, en multiple les faces ; elle forme une logique plus exacte, plus rigoureuse, en habituant pour tout à la précision du calcul." 

On a remarqué que, parmi les grands noms auxquels les sciences mathématiques doivent leurs progrès les plus considérables, plusieurs se sont également placés au rang des plus grands métaphysiciens : il nous suffira de citer Pythagore, Platon, Descartes, Pascal et Leibniz. Celte observation montre, comme le dit très bien Cournot, 

" que les spéculations du géomètre et celles du philosophe sont seules comparables pour la généralité, car seules elles relèvent au même degré de la faculté dominante et régulatrice de l'esprit humain, c.-à-d. de la raison. " 

Les branches des mathématiques

L'algèbre.
L'algèbre étudie les structures, les relations et les opérations mathématiques. Elle se concentre sur la manipulation de symboles et de variables pour résoudre des équations. Voici quelques sous-branches de l'algèbre :

L'algèbre élémentaire.
L'algèbre élémentaire est la base de l'algèbre enseignée au niveau scolaire. Elle traite des opérations sur les nombres et les expressions symboliques, des équations linéaires et quadratiques, des polynômes et des fonctions de base. Elle inclut les concepts de variables, de résolutions d'équations, de simplification d'expressions et d'opérations de base sur les nombres et les symboles.

L'algèbre linéaire.
L'algèbre linéaire est la branche qui étudie les espaces vectoriels et les transformations linéaires, ainsi que les matrices, les déterminants et les systèmes d'équations linéaires. Elle est largement appliquée en physique, en informatique, en économie et en ingénierie. Les concepts d'algèbre linéaire sont utilisés pour modéliser et résoudre des problèmes dans lesquels la linéarité est une propriété clé.

L'algèbre abstraite  (ou algèbre moderne).
L'algèbre abstraite s'intéresse aux structures les plus générales comme les groupes, les anneaux, les corps et les modules, qui sont des systèmes algébriques définis par des axiomes. Elle cherche à comprendre les propriétés et les comportements de ces structures indépendamment de leur contenu concret, en se concentrant sur les relations internes. Les concepts d'algèbre abstraite sont essentiels pour les avancées en mathématiques pures et pour diverses applications en sciences et en cryptographie.

• La théorie des groupes étudie les groupes, qui sont des ensembles avec une opération binaire satisfaisant certains axiomes, tels que la fermeture, l'inversibilité et l'associativité. Les groupes sont omniprésents dans l'étude des symétries et des transformations.

• La théorie des anneaux examine les anneaux, qui sont des ensembles dotés de deux opérations, l'addition et la multiplication, ayant certaines propriétés. Les anneaux généralisent des objets comme les entiers et les polynômes.

+ L'algèbre commutative étudie les anneaux commutatifs, c'est-à-dire les anneaux dans lesquels la multiplication est commutative. Cette branche est fondamentale pour l'algèbre géométrique, car elle fournit les outils pour comprendre les structures algébriques qui la sous-tendent. Elle est utilisée pour étudier les solutions d'équations polynomiales et a des applications en théorie des nombres. 

• La théorie des corps se concentre sur les corps, qui sont des anneaux dans lesquels tout élément non nul possède un inverse multiplicatif. Les corps jouent un rôle crucial en algèbre linéaire et en théorie des nombres.

L'algèbre universelle.
L'algèbre universelle est l'étude des structures algébriques générales de manière abstraite. Plutôt que de se concentrer sur une seule structure, comme un groupe ou un anneau, l'algèbre universelle examine les propriétés communes à toutes les structures algébriques définies par des opérations et des axiomes spécifiques. Cela inclut des notions comme les homomorphismes, les sous-structures et les produits directs.

Théorie des catégories.
La théorie des catégories étudie les relations et les structures algébriques dans un cadre unifié. Elle traite des objets et des morphismes entre eux, en les organisant dans des "catégories" où les structures et les relations internes peuvent être étudiées. La théorie des catégories est souvent qualifiée de "langage de la mathématique moderne" et est utilisée pour formaliser des concepts dans diverses branches, y compris l'algèbre, la topologie et l'analyse.

La théorie des représentations.
La théorie des représentations étudie comment les objets algébriques, comme les groupes ou les anneaux, peuvent être "représentés" par des matrices et agir sur des espaces vectoriels. Elle vise à simplifier l'étude des objets algébriques en les interprétant comme des transformations d'espaces vectoriels, ce qui est plus accessible et souvent plus visuel. Cette branche est largement appliquée en physique et en chimie, notamment dans l'étude des symétries moléculaires.

L'algèbre homologique.
L'algèbre homologique utilise des méthodes algébriques pour étudier les propriétés des espaces topologiques et des structures algébriques complexes. Elle se concentre sur la notion de "complexes" et de "cohomologie", qui sont des structures permettant de comprendre les relations entre des objets algébriques et leurs sous-structures. L'algèbre homologique est fondamentale en géométrie algébrique, en topologie algébrique et en théorie des catégories.

L'analyse.
L'analyse explore les concepts de limite, de continuité, de dérivation et d'intégration, principalement appliqués aux fonctions. 

L'analyse réelle.
L'analyse réelle étudie les propriétés des fonctions définies sur les nombres réels. Elle se concentre sur les notions de limite, de continuité, de dérivabilité et d'intégrabilité pour les fonctions réelles d'une ou plusieurs variables. Les sous-thèmes de cette branche incluent :

• La théorie des suites et séries est l'étude de la convergence des suites et des séries de nombres réels.

• Le calcul différentiel est l'analyse des variations d'une fonction, en étudiant les dérivées et leurs applications.

• Le calcul intégral est l'étude de l'intégration des fonctions et des applications des intégrales dans le calcul des aires, des volumes, et dans les sciences physiques.

L'analyse complexe.
L'analyse complexe se consacre aux fonctions de variables complexes. Elle étudie des concepts similaires à ceux de l'analyse réelle, mais dans le contexte des nombres complexes, ce qui entraîne des résultats différents et souvent plus riches. Cette branche est importante en physique et en ingénierie pour résoudre des équations différentielles et modéliser des phénomènes ondulatoires. Elle inclut les notions suivantes :

• Les fonctions analytiques sont des fonctions complexes qui sont dérivables (ou holomorphes) dans une région du plan complexe.

• L'intégration complexe est l'étude des intégrales dans le plan complexe, y compris le théorème de Cauchy et les séries de Laurent.

• Les résidus et applications sont des techniques de calcul de résidus pour évaluer certaines intégrales réelles et résoudre des équations différentielles.

• Les espaces de Banach et de Hilbert sont des espaces vectoriels avec une norme (Banach) ou un produit scalaire (Hilbert) qui sont complets et permettent l'analyse de séries infinies de fonctions.
 
• Les opérateurs linéaires relèvent de l'étude des applications linéaires entre espaces de fonctions, particulièrement les opérateurs continus et compacts.

• La théorie spectrale est une analyse des valeurs propres et vecteurs propres des opérateurs, utilisée en physique quantique.

• La mesure de Lebesgue est une théorie de la mesure qui permet de définir l'intégrale de Lebesgue, utilisée pour étudier les fonctions plus complexes que celles intégrables au sens de Riemann.

• Les intégrales de Lebesgue sont généralisation de l'intégrale de Riemann, permettant d'intégrer des fonctions plus largement définies.

• La théorie ergodique est l'étude des systèmes dynamiques avec mesure, utilisée en probabilités et en physique statistique.

+ La théorie du chaos étudie le comportement de systèmes dynamiques qui, bien que gouvernés par des lois déterministes (comme des équations différentielles), montrent une grande sensibilité aux conditions initiales. Ce phénomène de sensibilité aux conditions initiales est ce qui rend les systèmes chaotiques imprévisibles sur le long terme, bien qu'ils soient régis par des règles précises. Elle trouve des applications en physique, météorologie, biologie, économie et bien d'autres domaines où des systèmes évoluent de manière complexe et imprévisible.

• Les équations différentielles ordinaires (EDO), étudiées pour les fonctions d'une seule variable indépendante, comme les équations du mouvement en physique.

•  Les équations aux dérivées partielles (EDP), qui impliquent des dérivées partielles de fonctions de plusieurs variables et sont essentielles en physique, notamment en mécanique des fluides, en thermodynamique et en électromagnétisme.

• Les séries de Fourier correspond  à la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques.

• La transformée de Fourier est une extension de la série de Fourier pour les fonctions non périodiques; elle est utile en traitement de signal et en analyse d'image.

• L'analyse de Fourier abstraite est une généralisation de l'analyse de Fourier pour les groupes topologiques.

Calcul des variations.
Le calcul des variations étudie les méthodes pour optimiser des fonctionnelles, qui sont des fonctions définies sur un ensemble de fonctions. Cette branche est utilisée pour résoudre des problèmes où l'on cherche la forme optimale d'une courbe ou d'une surface. Elle a des applications en physique (notamment en mécanique et en relativité) et en ingénierie. Des concepts importants sont ici :

• Le principe de moindre action, qui est utilisé en physique pour déterminer les trajectoires de particules.

• Les équations d'Euler-Lagrange, qui sont deséquations fondamentales pour trouver les fonctions qui minimisent ou maximisent une fonctionnelle.

• L'optimisation et le contrôle optimal, qui sont l'application des variations pour résoudre des problèmes d'optimisation et de contrôle.

Analyse numérique.
L'analyse numérique se concentre sur la résolution approchée de problèmes mathématiques par des méthodes algorithmiques. Elle est essentielle en informatique, physique, ingénierie et pour toute application nécessitant des calculs numériques.

• Les méthodes de résolution d'équations non linéaires permettent la reherche de solutions approchées pour les équations difficiles à résoudre analytiquement.

• L'approximation et l'interpolation sont méthodes pour approcher des fonctions complexes par des fonctions plus simples, telles que les polynômes.

• Les méthodes pour EDO et EDP permettent la résolution numérique d'équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles.

La géométrie euclidienne.
La géométrie euclidienne est la géométrie classique, fondée sur les axiomes d'Euclide, et elle est enseignée à l'école. Elle étudie les propriétés des figures dans un espace plat (en deux dimensions) ou tridimensionnel. Elle traite de concepts comme les lignes, les angles, les triangles, les cercles et les autres figures géométriques.

• La géométrie plane s'intéresse aux figures en deux dimensions (2D), comme les triangles, les quadrilatères et les cercles.

• La géométrie dans l'espace : étude des figures en trois dimensions (3D), comme les cubes, les sphères, les cônes et les cylindres.

• La trigonométrie est, à l'origine, la branche de la géométrie qui étudie les propriétés des triangles, mais concerne aussi les les propriétés des angles rapportés à un cercle (le cercle trigonométrique). Elle a des extensions en algèbre linéaire (matrices de rotation) et en analyse (fonctions circulaires).

• La géométrie des coniques est l'étude des sections coniques (cercles, ellipses, paraboles et hyperboles) à l'aide de leurs équations.

Géométrie algébrique.
La géométrie algébrique combine l'algèbre et la géométrie pour analyser les variétés algébriques, qui sont des ensembles de solutions d'équations polynomiales (V. plus haut). 

Géométrie projective.
La géométrie projective étudie les propriétés des figures qui restent invariantes sous les transformations projectives (transformations qui conservent l'alignement des points et l'incidence des lignes, mais pas les distances), telles que la perspective. Elle peut être utilisée en art, en architecture et en vision par ordinateur. Dans la géométrie projective, les concepts de points à l'infini sont introduits pour simplifier les propriétés des figures et des transformations. Les points de fuite, par exemple, sont des points où les droites parallèles semblent converger, important en perspective.

Géométrie affine.
La géométrie affine est une version de la géométrie projective dans laquelle le parallélisme est conservé, mais pas nécessairement les distances ou les angles. Elle est étudiée dans un contexte où les transformations affines (comme les translations, les rotations et les homothéties) sont centrales. Un espace affine est un type d'espace géométrique sans point d'origine fixe, étudié principalement en géométrie et en algèbre linéaire.

La topologie  (ou géométrie des transformations).
La topologie étudie les propriétés des objets qui sont invariantes par des transformations continues (étirement, pliage, mais sans déchirure ni collage). 

• La topologie générale est l'étude des concepts de continuité, de compacité et de connexité dans des espaces abstraits.

• La topologie algébrique utilise des outils algébriques pour étudier les propriétés topologiques, notamment les groupes de trous et de boucles dans les surfaces.

• La théorie des catastrophes, développée principalement par René Thom, peut être rattachée à la topologie. Elle étudie les phénomènes de discontinuité dans les systèmes dynamiques et tente de comprendre comment des changements soudains (ou « catastrophes ») se produisent dans un système en réponse à de petites variations de paramètres continus. Cela inclut les bifurcations, où une petite modification d'un paramètre peut provoquer un changement radical dans le comportement d'un système. Elle peut être utilisée pour modéliser des situations dans les sciences sociales, la biologie (par exemple, les transitions d'état dans des populations), et même en économie (changement soudain dans les marchés).

• La géométrie hyperbolique, qui est une géométrie dans laquelle, pour un point donné, il existe une infinité de droites parallèles passant par ce point, menant à des propriétés très différentes de celles de la géométrie euclidienne.

• La géométrie elliptique, qui est une géométrie où il n'existe aucune droite parallèle à une droite donnée passant par un point extérieur.

Géométrie computationnelle.
La géométrie computationnelle recourt à des méthodes géométriques et algorithmiques pour résoudre des problèmes en informatique. Elle est utilisée dans le traitement d'images, la visualisation, la robotique et la simulation.

Géométrie fractale.
La géométrie fractale étudie les figures fractales, qui sont des formes auto-similaires, c'est-à-dire des structures complexes qui se répètent à toutes les échelles. Cette branche trouve des applications notamment dans les sciences naturelles pour modéliser des formes irrégulières dans la nature, comme les montagnes, les côtes et les nuages.

La théorie des nombres.
La théorie des nombres, présentée ici comme une branche distincte des mathématiques, peut aussi être vue comme une sous-branche de l'algèbre lorsqu'elle est abordée sous l'angle des structures algébriques. Elle s'intéresse aux propriétés des entiers et des nombres premiers, et inclut des domaines tels que la théorie des nombres algébriques, qui utilise les concepts de corps et de polynômes pour étudier des extensions des nombres rationnels. 

Arithmétique et théorie élémentaire des nombres.
L'arithmétique concerne les opérations de base (addition, soustraction, musltiplication et division) effectuées sur les nombres entiers et implique aussi celles incluant des nombres rationnels. La théorie élémentaires des nombres étudie plus spécifiquement les propriétés de base des entiers, comme la divisibilité, les propriétés des nombres premiers, les résidus, et les fonctions arithmétiques comme la fonction de Möbius et la fonction d'Euler. Le théorème fondamental de l'arithmétique, la recherche de nombres premiers, de congruences et de résidus quadratiques font parties des thèmes qui relèvent de la théorie élémentaire des nombres.

La théorie analytique des nombres.
La théorie analytique des nombres utilise des concepts et des méthodes de l'analyse mathématique, comme les séries et les intégrales, pour étudier les propriétés des nombres. Cette branche permet de prouver des résultats sur la répartition des nombres premiers et d'autres structures arithmétiques.Parmi les sujets qui la concernent :  le théorème des nombres premiers (qui décrit l'asymptotique des nombres premiers), la fonction zêta de Riemann et ses zéros (reliée à l'hypothèse de Riemann), es fonctions L et leur rôle dans l'arithmétique.

La théorie algébrique des nombres.
La théorie algébrique des nombres utilise des outils de l'algèbre, notamment la théorie des corps et des anneaux, pour étudier les propriétés des nombres dans des extensions de corps, comme les entiers algébriques (solutions d'équations polynomiales). Elle se concentre sur les structures algébriques et les objets comme les anneaux de nombres.

La théorie géométrique des nombres.
La théorie géométrique des nombres examine la relation entre les nombres et la géométrie. Elle traite les problèmes arithmétiques en utilisant des concepts géométriques et topologiques. C'est également ici que se situe la géométrie arithmétique. Parmi les concepts qui s'y rattachent, nommons les points rationnels sur les courbes (ex. conjecture de Mordell), les courbes elliptiques et leurs applications en cryptographie, les variétés abéliennes et l'étude des solutions d'équations diophantiennes.

La théorie des nombres transcendants.
La théorie des nombres transcendants étudie les nombres qui ne sont pas algébriques, c'est-à-dire qui ne peuvent pas être les racines de polynômes à coefficients entiers, comme π et e. Elle traite nortamment des critères de transcendance (Lindemann-Weierstrass) et de l'indépendance algébrique des nombres transcendants.

La théorie des nombres p-adiques.
La théorie des nombres p-adiques utilise les nombres p-adiques, un type de nombres différent des nombres réels, pour étudier les propriétés arithmétiques. Les nombres p-adiques sont utiles pour les questions de convergence et de complétion dans un sens différent de celui des nombres réels.

La théorie probabiliste des nombres.
La théorie probabiliste des nombres recourt à des méthodes probabilistes pour étudier les nombres et leurs propriétés. Elle cherche notamment à comprendre des structures arithmétiques en termes de probabilité. Elle s'occupe par exemple de d'établir des  probabilités dans la répartition des nombres premiers, des heuristiques pour les propriétés des entiers, des conjectures probabilistes sur les propriétés arithmétiques.

La théorie des formes modulaires et automorphes.
La théorue des formes modulaires et automorphes étudie les formes modulaires, qui sont des fonctions complexes avec des propriétés de symétrie et des relations profondes avec les nombres entiers. Les formes automorphes généralisent les formes modulaires et ont des applications en théorie des représentations. La conjecture de Taniyama-Shimura (en lien avec le dernier théorème de Fermat) relève de ce domaine.

Les probabilités et statistiques.
Les probabilités et les statistiques, avec leurs diverses branches, permettent de traiter de manière rigoureuse les phénomènes aléatoires et de tirer des conclusions utiles et fiables à partir des données. Ensemble, elles forment la base de l'analyse de l'incertitude et des processus décisionnels dans de nombreux domaines scientifiques, sociaux et économiques.

Les probabilités.
Le calcul des probabilités étudie les phénomènes aléatoires, la notion de probabilité, les variables aléatoireset les lois de probabilité. Parmi les nombreuses sous-branches, on peut mentionner :

• Les probabilités classiques abordent les concepts fondamentaux de la probabilité dans des situations où les résultats sont équiprobables. Ce cadre se concentre sur des expériences simples comme le lancer de dés ou le tirage de cartes. 

• Les probabilités conditionnelles et le théorème de Bayes se concentrent sur la probabilité qu'un événement se produise, sachant qu'un autre événement est déjà réalisé. Le théorème de Bayes permet de mettre à jour les probabilités en fonction de nouvelles informations. Elles trouvent des applications en médecine (tests de dépistage), en intelligence artificielle et dans les analyses de risques.

• Les probabilités discrètes étudient des expériences aléatoires ayant un nombre fini ou dénombrable d'issues. Les distributions discrètes comme la loi binomiale ou de Poisson y sont étudiées.

• Les probabilités continues concernent les probabilités associées aux variables aléatoires continues, qui prennent un nombre infini de valeurs. La loi normale et la loi exponentielle sont des exemples de distributions continues.

• L'étude des processus stochastiques concerne des phénomènes évoluant dans le temps de manière aléatoire. Cela permet de définir des processus qui sont utilisés pour modéliser des systèmes dynamiques où l'incertitude est présente, comme la bourse. Exemples : les chaînes de Markov sont des processus où la probabilité de chaque état futur dépend uniquement de l'état actuel; les processus de Poisson modélisent des événements rares survenant au cours du temps; le mouvement brownien est un type de processus utilisé en finance et physique pour modéliser des variations continues et aléatoires.

• Les statistiques descriptives se concentrent sur le résumé et la description des données collectées à l'aide de mesures comme la moyenne, la médiane, l'écart-type, ainsi que des graphiques comme les histogrammes. Elles servent par exemple pour résumer des données dans des domaines comme la démographie, l'économie et la gestion.

• Les statistiques inférentielles utilisent un échantillon pour tirer des conclusions ou inférences sur une population plus large, avec des méthodes comme les tests d'hypothèses (ex. le test t de Student ou le test du Khi-carré) et les intervalles de confiance.

• Les statistiques bayésiennes sont basées sur le théorème de Bayes, elles permettent de mettre à jour les connaissances sur un paramètre en fonction de nouvelles données, en introduisant des probabilités a priori qui sont révisées en a posteriori. Ces statistiques sont utilisées dans le machine learning, dans la la modélisation du risque et dans les analyses de données incertaines.

• Les statistiques non paramétriques sont utilisées lorsque les données ne respectent pas les hypothèses classiques de normalité ou de linéarité. Elle se base sur des rangs ou des médianes plutôt que sur des moyennes.   Exemples : le test de Mann-Whitney pour comparer deux groupes indépendants; le test de Wilcoxon pour des échantillons appariés.

• L'analyse de la régression étudie les relations entre variables, permettant de faire des prédictions et d'estimer l'effet de certaines variables sur d'autres. Les méthodes incluent la régression linéaire, logistique et non linéaire. Applicationsdans la modélisation économique, les études médicales et l'analyse de données marketing.

• L'analyse des séries chronologiques est l'étude des données collectées au fil du temps pour identifier des tendances, des cycles ou des modèles de saisonnalité, utilisée notamment en économétrie et en prévisions financières.

• L'analyse multivariée concerne l'analyse de plusieurs variables en même temps pour identifier des relations et des structures dans des ensembles de données complexes. Exemples de méthodes : l'nalyse en composantes principales (ACP),our réduire la dimensionnalité des données; l'analyse discriminante, pour classer des observations en groupes distincts; l'analyse de clusters, pour regrouper des observations similaires.

• La statistique appliquée et l'analyse des données concernent l'application des méthodes statistiques dans des domaines spécifiques comme la biostatistique, l'économétrie, la sociologie ou encore la psychologie.

La logique mathématique.
La logique mathématique est la discipline qui étudie les structures formelles, les principes de déduction, les systèmes de preuves, les axiomes et les théorèmes, et les fondements des mathématiques. 

• La logique des propositions étudie les propositions logiques (énoncés qui peuvent être vrais ou faux) et les connecteurs logiques (comme et, ou, non), et examine les règles de base de la logique, comme les tables de vérité et les lois de la logique. Elle peut être appliquée à la conception de circuits logiques, des systèmes de contrôle informatique, et à la programmation.

• La logique des prédicats (ou logique du premier ordre) étend la logique des propositions en introduisant des quantificateurs (pour tout, il existe) et des prédicats qui permettent de faire des affirmations sur des éléments particuliers d'un ensemble. Cette logique est fondamentale pour l'axiomatisation de la théorie des ensembles et des structures mathématiques. La logique des prédicats sert à la formalisation des mathématiques, aux bases de l'intelligence artificielle et au langage formel en informatique.

• La théorie de la démonstration étudie les preuves formelles et les systèmes formels. Elle vise à comprendre comment les théorèmes peuvent être déduits des axiomes en utilisant des règles logiques. Elle recourt à des concepts comme le calcul des séquents, l'arithmétique de Peano et  les théorèmes d'incomplétude de Gödel, et est utilisée dans la validation de la cohérence des systèmes mathématiques et l'automatisation des démonstrations.

• La théorie de la récursivité (ou de calculabilité) étudie les fonctions calculables et les limites de la calculabilité, en définissant quels problèmes peuvent ou non être résolus par des algorithmes. Ce domaine explore des concepts tels que les machines de Turing, les fonctions récursives et la notion de décidabilité. Elle trouve des applications dans l'établissment des fondements de l'informatique théorique, dans l'intelligence artificielle et dans la cryptographie.

• La théorie des modèles étudie les relations entre les structures mathématiques et les théories qui les décrivent. Elle examine comment une théorie donnée peut être interprétée ou réalisée dans différents modèles et étudie les propriétés de ces modèles. Ses applications se rencontrent notammentdans la recherche de modèles pour des théories spécifiques en mathématiques.

• La théorie des ensembles axiomatique, bien qu'elle soit souvent considérée comme faisant partie de la théorie des ensembles (V. ci-dessous), est aussi fondamentale pour la logique mathématique. Elle utilise des systèmes d'axiomes pour définir rigoureusement la notion d'ensemble et les bases des mathématiques.

• La logique intuitionniste et les logiques non classiques. -  La logique intuitionniste, qui refuse le principe du tiers exclu, considère qu'une affirmation est vraie seulement si l'on peut prouver qu'elle l'est. Les logiques non classiques, quant à elles, remettent en question certaines règles traditionnelles de la logique classique pour s'adapter à des contextes particuliers. Ces branches de la logique ont leur utilité en programmation, en théorie de l'information, en linguistique formelle et en intelligence artificielle.

La théorie des ensembles (Ensembles et relations) est la branche des mathématiques qui étudie les ensembles, c'est-à-dire les collections d'objets mathématiques,  leur structure et leurs propriétés. Elle constitue le fondement de presque tous les domaines mathématiques modernes.

• La théorie des ensembles naïve est l'approche initiale de la théorie des ensembles. Développée sans formalisation rigoureuse, elle utilise des notions intuitives d'ensembles pour aborder les mathématiques de manière basique, mais elle est sujette aux paradoxes comme le paradoxe de Russell. Concepts clés : ensemble, élément, inclusion, union, intersection.

• La théorie des ensembles axiomatique (Zermelo-Fraenkel avec ou sans axiome du choix - ZFC), fondement de la majorité des théories mathématiques, est un système rigoureux d'axiomes permettant de formuler des ensembles et d'éviter les paradoxes de la théorie naïve. ZFC est le cadre le plus couramment utilisé pour formuler les mathématiques modernes. Concepts clés : axiome du choix, axiome de la puissance, axiome de l'infini, hiérarchie cumulative des ensembles, fondements des nombres.

• La théorie des grands cardinaux étudie les nombres cardinaux extrêmement grands et leurs propriétés. Les grands cardinaux dépassent les cardinaux infinis usuels (comme 0​, le cardinal des entiers) et ont des propriétés spécifiques. Concepts clés : cardinaux mesurables, cardinaux inaccessibles, cardinaux compacts, etc.

• La théorie descriptive des ensembles, utilisée en analyse réelle, en topologie, et en informatique théorique, étudie les ensembles dans le cadre des espaces topologiques, en particulier les espaces de nombres réels. Cette branche s'intéresse à la classification des sous-ensembles des espaces topologiques et leurs propriétés. Concepts clés : hiérarchie de Borel, ensembles analytiques, ensembles projectifs.

• La théorie des ensembles constructibles (ou de l'univers constructible L) étudie les ensembles constructibles, une hiérarchie particulière d'ensembles proposée par Kurt Gödel. Elle permet de définir un univers de modèles de la théorie des ensembles qui satisfait certains axiomes particuliers. Concepts clés : modèle constructible L, hypothèse du continu.

• La théorie des ensembles et la logique ordinale, utilisées en théorie des modèles et en logique, étudient les ordinaux et leur rôle dans la structure des ensembles. Les ordinaux permettent de définir des notions d'ordre bien fondé, importantes pour la récursion transfinie.Concepts clés : suites ordinales, ordres bien fondés, hiérarchies ordinales.

• La théorie des ensembles non standard exploite des modèles non standard de la théorie des ensembles pour étudier les nombres réels et autres structures mathématiques de manière alternative. Cela inclut l'analyse non standard développée par Abraham Robinson.

La théorie des graphes.
Les graphes sont des structures composées de noeuds (sommets) et d'arêtes (liens entre les sommets). La théorie des graphes est utilisée pour modéliser toutes sortes de réseaux, comme les réseaux informatiques, les réseaux sociaux et les circuits électroniques, ou encore pour la planification de parcours, etc.

La théorie des nombres discrets.
La théorie des nombres discrets est l'étude des propriétés des entiers et des relations entre eux, en particulier les questions de divisibilité, de congruence et de factorisation. La théorie des nombres discrèts s'applique aux cryptographies (RSA, cryptographie à courbes elliptiques) et aux algorithmes de sécurité.

Théorie des ensembles discrets.
La théorie des ensembles discrets étudie les propriétés des ensembles finis ou dénombrables, les opérations sur ces ensembles (union, intersection, différence, etc.),  relations entre les éléments (avec des propriétés comme la réflexivité, symétrie,transitivité, etc.) ou entre ensembles finis (fonctions injectives, surjectives et bijectives). En mathématiques discrètes, on s'intéresse aussi aux combinaisons et arrangements d'ensembles finis. Cela a des applications dans l'établissement des fondements des structures de données et des algorithmes, dans logique formelle et en informatique théorique.

La combinatoire.
La combinatoire est l'étude des arrangements, combinaisons et permutations d'éléments dans des ensembles finis. Elle comprend le dénombrement (comptage) et la recherche de structures spécifiques dans des ensembles. La combinatoire des mots étudie les séquences de symboles. La combinatoire extrémale étudie les limites des structures combinatoires. On utilise la combinatoire pour l'analyse de la complexité algorithmique, pour l'optimisation et le design d'expériences, et aussi en génétique.
 
La théorie des automates et langages formels.
L'étude des automates (modèles de machines à états, déterministes ou non déterministes) est importante pour le développement de compilateurs et la reconnaissance de motifs. Les langages formels (comme  les grammaires de Chomsky), quant à eux,, qui permettent de décrire et de manipuler des chaînes de symboles. Les applications de ces approches se rencontrent en intelligence artificielle, dans la conception de circuits logiques, en analyse syntaxique et dans le traitement automatique des langues.

Logique et calcul propositionnel.
Le calcul propositionnel est la branche des mathématiques discrètes qui étudie la logique formelle et les systèmes de calcul. Elle s'intéresse aux propositions, aux connecteurs logiques et aux méthodes de preuve. Applications dans la conception de circuits logiques, de systèmes de vérification formelle et dans la programmation logique.

La théorie des codes et la cryptographie.
La théorie des codes étudie les codes pour transmettre des informations de manière sécurisée et fiable. La cryptographie utilise des méthodes mathématiques pour sécuriser l'information en présence de tiers. 

Algèbre booléenne et circuits logiques.
L'algèbre booléenne est la branche de l'algèbre qui étudie les variables binaires (0 et 1) et les opérations logiques (ET, OU, NON, NAND, NOR). Elle est la base de la conception des circuits électroniques et de l'informatique numérique.

Théorie des jeux combinatoires.
La théorie des jeux combinatoires est l'étude des jeux à deux joueurs avec une structure discrète où les joueurs jouent à tour de rôle et où chaque décision influence la suite du jeu. La théorie analyse des stratégies optimales pour des jeux sans hasard. Elle sert dans l'optimisation, l'économie, l'intelligence artificielle, le développement de stratégies dans des environnements compétitifs.

Algèbre discrète.
L'agèbre discrète est une branche de l'algèbre axée sur des structures finies et discrètes comme les groupes, les anneaux et les corps, utilisés dans le contexte des structures discrètes.  Applications en cryptographie, dans les codes correcteurs d'erreurs et l'élaboration d'algorithmes mathématiques.

Théorie des structures discrètes.
La théorie des structures discrètes étudie les réseaux et les ensembles ordonnés partiellement, qui modélisent les relations entre éléments en fonction de hiérarchies ou de relations d'ordre. Des applications existent dans la construction bases de données, en informatique théorique et dans l'optimisation combinatoire.

Les mathématiques appliquées.
Les mathématiques appliquées sont un domaine qui se concentre sur l'utilisation des concepts et des méthodes mathématiques pour résoudre des problèmes concrets issus des sciences naturelles, de l'ingénierie, de la finance, des sciences sociales, et d'autres domaines. 

Analyse numérique.
L'analyse numérique est l'étude des méthodes pour obtenir des solutions approximatives à des problèmes mathématiques, surtout quand des solutions exactes sont difficiles ou impossibles à obtenir. On en a l'usage dans la simulation numérique, la modélisation en ingénierie, le traitement de signal, ou encore dans l'optimisation des processus industriels.

Statistiques et probabilités appliquées.
Les statistiques et probabilités appliquées déploient des méthodes statistiques et probabilistes pour modéliser et analyser des données, en particulier celles qui contiennent de l'incertitude. Elles sont utilisées dans l'assurance, la finance, les sciences de la santé, l' ingénierie de la qualité et l' intelligence artificielle.

La physique mathématique.
La physique mathématique utilise des méthodes mathématiques pour résoudre des problèmes de la physique, en particulier en mécanique quantique, relativité générale et théorie des champs. Elle concerne notamment la théorie des groupes pour la symétrie en physique, l'analyse de Fourier pour l'étude des ondes, la topologie et géométrie en relativité et en cosmologie, la théories des champs en physique desdes particules.

La modélisation mathématique.
La modélisation mathématique. consiste en la création de modèles mathématiques pour représenter des systèmes complexes dans divers domaines (écologie, économie, épidémiologie, ingénierie environnementale). La modélisation permet de simplifier et de mieux comprendre les phénomènes.

Le calcul scientifique.
Le calcul scientifique utilise dese supercalculateurs (calcul parallèle et haute performance) et des méthodes numériques pour résoudre de grands problèmes en météorologie, en astrophysique, en modélisation moléculaire, en biologie computationnelle, etc.

Les mathématiques financières.
Les mathématiques  financières sont l'application des mathématiques à la finance, pour modéliser les marchés financiers, évaluer les options, gérer les risques et optimiser les portefeuilles.

Théorie de l'information.
La théorie de l'information et du codage étudie les méthodes pour coder, transmettre et décompresser l'information de manière efficace et sécurisée. Elle s'applique notamment aux télécommunications, à internet, à la cryptographie et à la compression de données.

Les mathématiques de l'ingénieur (ou mathématiques Industrielles).
Les mathématiques industrielles sont la branche des mathématiques utilisée pour résoudre des problèmes techniques en ingénierie, souvent en modélisant et en optimisant des systèmes physiques. Applications dans le génie civil, mécanique et électrique ou encore dans la chimie industrielle.

Théorie des jeux.
La théorie des jeux étudie les décisions dans des environnements où plusieurs acteurs interagissent, avec des intérêts potentiellement en conflit. Elle est utilisée en économie, en stratégie militaire, en théorie des réseaux, voire en politique.

Biomathématiques et mathématiques de la santé.
Les biomathématiques et les mathématiques de la santé sont utilisées pour modéliser et comprendre les systèmes biologiques et de santé. Cela inclue la propagation des maladies (épidémiologie), la dynamique des populations et la génétique.

Topologie et géométrie appliquées.
La topologie et la géométrie appliquées servent à étudier la forme, la structure, et les propriétés d'objets dans des contextes pratiques, comme les réseaux ou les formes biologiques. On en trouve des applications, par exemple, en imagerie médicale, dans la vision par ordinateur, dans le traitement de données et dans la sciences des matériaux.

La théorie du contrôle.
La théorie du contrôle et l'automatique sont l'étude des systèmes dynamiques dans lesquels on cherche à contrôler les variables d'état pour atteindre certains objectifs. Elles s'intéressent à la stabilité, la robustesse et l'efficacité des systèmes. Applications en aéronautique, en robotique, en automatisation industrielle et dans les systèmes de transport.

L'optimisation.
L'optimisation consiste à développer dess méthodes et des techniques pour maximiser ou minimiser des fonctions objectives, souvent sous des contraintes. Elle est utilisée engestion de la production, en logistique, dans la planification financière et l'apprentissage automatique.

David Ruelle, L'Étrange Beauté des mathématiques, Odile Jacob, 2011.-  Depuis l'Antiquité et aujourd'hui encore, les mathématiques sont, à bien des égards, essentielles pour qui veut comprendre la nature des choses. Est-il possible de pénétrer le monde mathématique sans études longues et arides? Oui. Car ce qui importe, ce n'est pas de maîtriser cette science en profondeur, mais de comprendre comment l'esprit humain, et plus particulièrement le cerveau du mathématicien, se mesure à la réalité mathématique. Un livre à la fois impertinent et distrayant, qui offre un voyage au coeur du monde des mathématiques et donne des aperçus très personnels sur quelques-uns des penseurs qui l'ont exploré.  Gilles Godefroy, Mathématiques mode emploi, Odile Jacob, 2011. - "Toutes et tous, nous avons découvert les mathématiques à l'école primaire. Mais notre enfance préférait à l'emploi de ces syllabes intimidantes l'usage de mots plus proches du quotidien : le calcul, la géométrie.  Saissons-nous le lien profond qui unit ces deux activités d'allures si différentes : calculer une surface ou un volume et effectuer des multiplications? Un peu sans doute. Pourtant, une vie de réflexion ne suffirait pas à épuiser la richesse des liens qui unissent nombres et grandeurs." C'est pourtant ce que se propose de révéler ici Gilles Godefroy dans un ouvrage qui, tout en retraçant l'histoire de la découverte des propriétés et des concepts mathématiques des origines aux questions les plus actuelles, s'efforce de faire mieux comprendre ce qu'elles nous révèlent de la réalité et comment les hommes ont véritablement appris à penser et à manier le réel en inventant des outils mathématiques. Un regard "différent" sur les mathématiques, où chaque grande avancée est expliquée à l'aune de ce qu'elle permet de faire et de penser dans la réalité concrète. (couv.). Denis Guedj, Les mathématiques expliquées à mes filles, Le Seuil, 2008. - Pour tous les nuls en maths, fraction non négligeable de la population, une introduction décomplexante à cet univers mystérieux. De quoi parlent les mathématiques? Pourquoi semblent-elles faire violence à la réalité? Pourquoi recourent-elles à tous ces signes? À quoi servent les nombres? Pourquoi la multiplication est-elle plus facile que la division? Pourquoi X est-elle une inconnue? Quelle est la différence entre une égalité et une équation? Entre l'algèbre et l'arithmétique? Toutes les questions qui font ou ont fait trembler les nuls en maths, revisitées par l'un des meilleurs vulgarisateurs sur ce sujet. Les mathématiques vraiment expliquées à tout le monde.  Jacques Bouveresse, Pierre Wagner, Mathématiques et expérience : L'empirisme logique à l'épreuve (1918-1940), Odile Jacob, 2008. - Comment les mathématiques, pure création de l'esprit humain, peuvent-elles s'appliquer au monde réel qui nous entoure? Comment les géométries non euclidiennes, nées de spéculations abstraites, peuvent-elles décrire l'atome ou l'Univers? Comment la pure logique du calcul des probabilités peut-elle servir à établir les lois de la physique ou les statistiques des assurances? Ce sont ces questions qu'affronte dans l'entre-deux guerres l'empirisme logique, ce grand courant du rationalisme européen qui suscite aujourd'hui un intérêt nouveau. Ses grandes figures, Carnap, Schlick. Reichenbach et quelques autres, ont été des penseurs très différents et profondément originaux. La philosophie des sciences contemporaine a encore de nombreuses leçons à tirer de leurs innovations conceptuelles et de leurs débats internes, mais aussi de la réflexion sur les limites de leur démarche et sur les obstacles qu'ils ont rencontrés. (couv.). Amir D. Aczel, Nicolas Bourbaki, histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existé, Lattès, 2009. - Le 10 décembre 1934 à midi, dans un café situé au 63 boulevard Saint-Germain à Paris, là où aujourd'hui est installé un fast-food, André Weil, l'un des plus talentueux mathématiciens de cette époque a rassemblé cinq collègues aussi passionnés que lui. A eux six, ils représentent les universités de Strasbourg, Nancy, Rennes et Clermont- Ferrand, à eux six, ils viennent de créer le groupe Nicolas Bourbaki dont les publications vont donner un formidable coup de modernité aux mathématiques et un immense élan à l'école française. C'est à peu près dix ans auparavant que Raoul Husson, élève à l'Ecole Normale Supérieure, invente le personnage de Nicolas Bourbaki en s'inspirant du grand Charles Bourbaki qui servit en Crimée, en Algérie, en Italie avant de devenir gouverneur militaire de Lyon. Le premier groupe de cette société secrète est composé outre d'André Weil, d'Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, René de Possel. La guerre les séparera. Dans les années quarante le groupe s'enrichira de l'arrivée de la future médaille Field, Laurent Schwartz et du génie Alexandre Grothendieck qui dans les années 1990 partit vivre en ermite dans les forêts pyrénéennes. Et aujourd'hui encore, bien que moins rayonnant, le groupe continue à se réunir avec de nouveaux membres. Bourbaki n'a pas seulement fait progresser les mathématiques mais a aidé Lévi-Strauss à formaliser le structuralisme et a même inspiré les membres de l'Oulipo dans leur recherche. Voici son étonnante et passionnante histoire. (couv.). Gilles Dowek, Les Métamorphoses du calcul. - Socle même de la méthode mathématique depuis l'Antiquité grecque, la notion de démonstration s'est profondément transformée depuis le début des années soixante-dix. Plusieurs avancées mathématiques importantes, non toujours connectées les unes aux autres, remettent ainsi progressivement en cause la prééminence du raisonnement sur le calcul, pour proposer une vision plus équilibrée, dans laquelle l'un et l'autre jouent des rôles complémentaires. Cette véritable révolution nous amène à repenser le dialogue des mathématiques avec les sciences de la nature. Elle éclaire d'une lumière nouvelle certains concepts philosophiques, comme ceux de jugement analytique et synthétique. Elle nous amène aussi à nous interroger sur les liens entre les mathématiques et l'informatique, et sur la singularité des mathématiques qui est longtemps restée l'unique science à ne pas utiliser d'instruments. Enfin, et c'est certainement le plus prometteur, elle nous laisse entrevoir de nouvelles manières de résoudre des problèmes mathématiques, qui s'affranchissent de certaines limites arbitraires que la technologie du passé a imposé à la taille des démonstrations : les mathématiques sont peut-être en train de partir à la conquête d'espaces jusqu'alors inaccessibles. (couv.). Jean-Claude Beaune, Gérard Chazal, Mathématisation du sensible (sur l'oeuvre de Daniel Parrochia), Presses universitaires de Lyon, 2009. J.-P. Cléro, Raisons de la fiction - Les philosophes et les mathématiques, Armand Colin, 2004.