• La première équation (loi de Gauss pour le champ électrique), exprime que le flux du champ électrique à travers une surface fermée est proportionnel au total des charges électriques confinées à l'intérieur de cette surface. Cette loi met en relation le champ électrique avec les charges qu'il engendre.

• La deuxième équation (loi de Gauss pour le champ magnétique), indique que le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est toujours nul. Cela signifie qu'il n'existe pas de sources ni de pôles magnétiques isolés, contrairement aux charges électriques positives et négatives.

• La troisième  équation (loi d'induction de Faraday), décrit le phénomène de l'induction électromagnétique : une variation du champ magnétique induit un champ électrique dans un conducteur. Cette loi met en évidence la manière dont les variations temporelles des champs magnétiques peuvent créer des forces électriques capables de provoquer des courants.

• La quatrième équation (loi d'Ampère-Maxwell ou loi d'Ampère généralisée), décrit comment le champ magnétique est généré par des courants électriques et par des variations du champ électrique dans le temps. Elle montre que le champ magnétique entourant un circuit fermé est proportionnel au courant circulant dans ce circuit, mais elle inclut également l'effet des variations du champ électrique sur le champ magnétique.

La formulation moderne et vectorielle des équations de Maxwell, telle qu'enseignée aujourd'hui, est principalement due à Oliver Heaviside et Josiah Willard Gibbs, qui, à la fin du XIX^e siècle, reformulèrent les équations originales de Maxwell — initialement au nombre de vingt  — sous leur forme vectorielle concise, en utilisant le langage du calcul différentiel vectoriel. Cette version épurée mit en lumière la puissance théorique et prédictive du formalisme de Maxwell, qui devint la base de l'électrodynamique classique.

Loi de Gauss pour l'électricité.
La loi de Gauss pour l'électricité relie le flux du champ électrique à la distribution de la charge électrique. Elle affirme que le flux électrique total à travers une surface fermée est proportionnel à la charge électrique totale enfermée à l'intérieur de cette surface. Cette loi découle directement de la loi de Coulomb, mais elle est formulée de manière plus générale et mathématiquement élégante grâce au concept de flux.

Le flux électrique est défini comme l'intégrale du produit scalaire du champ électrique et du vecteur surface sur toute la surface fermée considérée. En d'autres termes, on mesure combien de lignes de champ "sortent" ou "entrent" à travers la surface. Si beaucoup de lignes traversent la surface vers l'extérieur, cela indique une charge nette positive à l'intérieur; si elles convergent vers l'intérieur, cela indique une charge nette négative.

Mathématiquement, la loi de Gauss s'écrit sous la forme (première équation de Maxwell) :

où  est le champ électrique, d est un élément de surface orienté vers l'extérieur, Qint est la charge totale à l'intérieur de la surface fermée, et ε0​ est la permittivité du vide (constante électrique).

Cette loi est particulièrement puissante dans les situations où une symétrie existe : sphérique, cylindrique ou planaire. Dans ces cas, elle permet de déterminer le champ électrique de manière simple, sans avoir à effectuer des intégrales compliquées comme dans le cas de la loi de Coulomb. Par exemple, pour une charge ponctuelle, une sphère centrée sur la charge permet de conclure que le champ est radial et d'intensité décroissant comme l'inverse du carré de la distance, retrouvant ainsi la loi de Coulomb.

La loi de Gauss ne permet pas de déterminer le champ électrique en toute situation. Elle donne une relation entre le flux et la charge, mais ne fournit la valeur du champ que si la symétrie permet de simplifier l'intégrale. Dans des configurations sans symétrie claire, la loi reste vraie, mais elle est difficile à utiliser de façon pratique.

Loi de Gauss pour le magnétisme.
La loi de Gauss pour le magnétisme exprime qu'il n'existe pas de charges magnétiques isolées, ou monopôles magnétiques, contrairement aux charges électriques. En d'autres termes, les lignes de champ magnétique ne commencent ni ne se terminent sur une source; elles forment toujours des boucles fermées. Cela signifie que, pour toute surface fermée, le flux total du champ magnétique à travers cette surface est nul.

Le flux magnétique est défini comme l'intégrale du produit scalaire du champ magnétique et du vecteur surface sur une surface fermée. Si un champ traverse la surface de manière symétrique – autant vers l'extérieur que vers l'intérieur – le flux total se compense. Cela traduit mathématiquement le fait qu'il n'existe pas de source ou puits de champ magnétique à l'intérieur du volume délimité par la surface. La loi s'écrit sous la forme (deuxième équation de Maxwell) :

où est le champ magnétique et d est un élément de surface orienté vers l'extérieur. 

Cette équation signifie que, quelle que soit la surface fermée choisie, la somme algébrique des lignes de champ magnétique qui en sortent et qui y entrent est toujours nulle.

Cette loi a des conséquences physiques importantes. Elle interdit l'existence de monopôles magnétiques dans le cadre du modèle classique de l'électromagnétisme. Chaque fois qu'un champ magnétique est observé, il provient toujours d'un dipôle, c'est-à-dire d'un système avec un pôle nord et un pôle sud indissociables. Même si on coupe un aimant en deux, chaque morceau possède encore ses deux pôles, car les lignes de champ se réorganisent en boucles.

Dans un contexte plus général, cette loi joue un rôle essentiel dans la cohérence du modèle électromagnétique, notamment en imposant une contrainte de conservation sur la structure du champ magnétique. Elle est aussi compatible avec la représentation des champs magnétiques comme étant générés par des courants électriques, selon la loi de Biot et Savart ou l'équation d'Ampère.

Enfin, bien que des théories physiques spéculatives comme certaines extensions de la théorie des champs ou la théorie des supercordes proposent l'existence hypothétique de monopôles magnétiques, aucune observation expérimentale n'a encore confirmé leur existence, et la loi de Gauss pour le magnétisme reste valable dans toutes les observations à ce jour.

Loi d'induction de Faraday.
La loi de l'induction de Faraday décrit comment un champ magnétique variable peut induire un courant électrique ou, plus précisément, une force électromotrice (f.e.m.) dans un circuit. Elle établit que toute variation du flux magnétique à travers une surface délimitée par un circuit fermé génère une f.e.m. dans ce circuit. Cette loi est au coeur de la compréhension du fonctionnement des générateurs, transformateurs et de nombreux dispositifs électromagnétiques.

Le flux magnétique est défini comme l'intégrale du produit scalaire du champ magnétique  et du vecteur surface d, et il mesure la quantité de champ magnétique traversant une surface donnée. Lorsque ce flux change dans le temps, cela entraîne l'apparition d'une tension aux bornes du circuit.

La loi de Faraday s'écrit mathématiquement sous la forme (troisème équation de Maxwell) :

où  est la force électromotrice induite, et ΦB​ le flux magnétique à travers le circuit. Le signe négatif est essentiel : il provient de la loi de Lenz, qui établit que la f.e.m. induite s'oppose toujours à la variation du flux qui l'a produite. Cela exprime un principe de conservation de l'énergie : le système résiste au changement.

Il existe plusieurs façons de faire varier le flux magnétique à travers un circuit. On peut changer l'intensité du champ magnétique, déplacer le circuit dans un champ non uniforme, modifier l'orientation du circuit par rapport au champ, ou encore changer la surface du circuit. Dans tous ces cas, tant que le flux magnétique total change avec le temps, une f.e.m est induite.

La version locale et différentielle de la loi de Faraday, utilisée en électromagnétisme avancé, s'écrit sous forme :

Cette forme exprime que le champ électrique induit par un champ magnétique variable n'est pas conservatif : il possède un rotationnel non nul. Cela signifie que les lignes de champ électrique forment des boucles fermées, contrairement au champ électrique électrostatique, dont les lignes commencent et finissent sur des charges.

La loi de Faraday montre ainsi un lien fondamental entre électricité et magnétisme. Elle est à la base de la génération de courant dans les centrales électriques (grâce à la rotation de bobines dans un champ magnétique) et intervient dans des phénomènes comme les courants de Foucault ou l'auto-induction. Elle illustre aussi que les champs électriques peuvent être produits non seulement par des charges électriques, mais aussi par des champs magnétiques variables dans le temps.

Loi d'Ampère-Maxwell.
La loi d'Ampère-Maxwell est une généralisation de la loi d'Ampère classique, qui relie le champ magnétique à la distribution des courants électriques. Dans sa forme originale, la loi d'Ampère établissait que la circulation du champ magnétique autour d'un chemin fermé est proportionnelle au courant électrique total qui traverse la surface délimitée par ce chemin. Cependant, cette formulation se révélait incomplète dans les cas où le courant électrique n'est pas constant, comme dans les condensateurs. James Clerk Maxwell a corrigé cette lacune en introduisant la notion de courant de déplacement, ce qui a conduit à une version plus générale et cohérente de la loi.

La loi d'Ampère-Maxwell s'écrit (quatrième équation de Maxwell) :
-

où  est le champ magnétique, un élément de longueur orienté le long du chemin fermé, Icond le courant de conduction traversant la surface, ΦE​ le flux du champ électrique à travers la surface, μ0 la perméabilité du vide, et ε0​ la permittivité du vide. Le terme â€‹â€‹ est appelé courant de déplacement, introduit par Maxwell pour assurer la continuité du champ magnétique même dans les régions où il n'y a pas de courant conducteur, comme entre les plaques d'un condensateur. L'ajout du terme de courant de déplacement a été une des contributions majeures de Maxwell, car il a permis de compléter les équations de l'électromagnétisme de façon à être valides dans tous les contextes.

Physiquement, cette loi signifie que le champ magnétique peut être produit non seulement par un courant électrique classique, mais aussi par une variation temporelle du champ électrique. Cela établit une symétrie profonde entre l'électricité et le magnétisme et permet de prédire l'existence des ondes électromagnétiques, qui se propagent dans le vide à une vitesse égale à celle de la lumière. En effet, si une variation du champ électrique génère un champ magnétique, et qu'un champ magnétique variable peut à son tour induire un champ électrique (selon la loi de Faraday), alors un champ électromagnétique peut se propager dans l'espace sous forme d'ondes. En 1865, Maxwell calcula la vitesse de propagation, de ses ondes qui s'avéra identique à la vitesse de la lumière mesurée à l'époque. Il conclut que la lumière elle-même était une onde électromagnétique. Cela a conduit à l'unification de la lumière et des phénomènes électromagnétiques dans un cadre théorique commun. La loi d'Ampère-Maxwell joue ainsi un rôle central dans toute la physique moderne de l'électromagnétisme.

Sous forme locale, la loi d'Ampère-Maxwell devient :

où  est la densité de courant de conduction et â€‹ représente la variation temporelle du champ électrique. 

Cette formulation locale indique que le rotationnel du champ magnétique est lié à la présence de courants électriques et à la variation locale du champ électrique.