Théorème

Il est clair du reste que le nombre des théorèmes. connus ou à trouver, est illimité. Au point de vue de l'enseignement, la géométrie surtout, suivant en cela la tradition grecque, procède presque exclusivement par théorèmes, c.-à-d. en énonçant les vérités, enchaînées dans un ordre logique immuable, et les démontrant au fur et à mesure. C'est une méthode qui fait plus appel à la mémoire qu'au jugement, et qui paralyse chez les élèves l'esprit de recherche et l'instinct de la curiosité. (C.-A. Laisant.).

Exemples de théorèmes importants

Théorème de Cauchy (analyse complexe).
Outil central en analyse complexe concernant l'intégration des fonctions holomorphes. Énoncé : Si f est holomorphe sur un domaine D et si γ est un chemin fermé dans D, alors : 

Affirme que tout polynôme non constant à coefficients complexes a au moins une racine complexe. Énoncé : si P(x)est un polynôme non constant de degré n (avec n≥1) à coefficients dans , alors il existe zC tel que P(z) = 0.

Théorème de Sylow (théorie des groupes).
Donne des conditions sur l'existence et la structure des sous-groupes d'ordre premier.Énoncé simplifié : si G est un groupe fini d'ordre n=p^km (où p est un nombre premier et p ne divise pas m), alors G possède au moins un sous-groupe d'ordre p^k.

Géométrie.
Théorème de Pythagore.
Fondamental dans la géométrie euclidienne. Énoncé : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse c est égal à la somme des carrés des deux autres côtés a et b : c² = a² + b².

Théorème de Gauss-Bonnet (géométrie différentielle).
Relie la courbure d'une surface à ses propriétés topologiques. Énoncé simplifié : pour une surface compacte sans bord, l'intégrale de la courbure gaussienne est proportionnelle à la caractéristique d'Euler :

Énoncé sur les congruences dans . Énoncé : si p est un nombre premier et a est un entier non divisible par p, alors : a^p−1 ≡ 1(mod p).

Théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques.
Affirme l'existence infinie de nombres premiers dans certaines suites. Énoncé : si a et d sont deux entiers premiers entre eux, alors la suite a+nd contient une infinité de nombres premiers.

Topologie.
Théorème de Brouwer (point fixe).
 Un théorème de point fixe important en topologie. Énoncé : toute application continue d'un disque fermé dans lui-même admet au moins un point fixe.

Théorème de classification des surfaces.
Classifie toutes les surfaces compactes à deux dimensions. Énoncé simplifié : toute surface compacte est homéomorphe à une sphère, un tore ou une somme connexe de tores et de projectifs.

Probabilités et statistiques.
Loi des grands nombres.
Décrit la convergence des moyennes d'échantillons. Énoncé : la moyenne empirique d'une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées converge presque sûrement vers leur espérance.

Théorème central limite.
Décrit la convergence vers une loi normale. Énoncé : la somme (ou moyenne) de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées tend, sous certaines conditions, vers une distribution normale lorsque le nombre d'observations tend vers l'infini.

Logique et théorie des ensembles.
Théorème d'incomplétude de Gödel.
Montre les limites des systèmes formels. Énoncé : dans tout système formel suffisamment expressif, il existe des propositions qui ne peuvent être ni prouvées ni réfutées à l'intérieur de ce système.

Théorème de Cantor.
 Relatif aux ensembles infinis et à la cardinalité. Énoncé : l'ensemble des parties d'un ensemble A a une cardinalité strictement supérieure à celle de A.