La quantité de mouvement

La véritable puissance de ce concept émerge avec la relation fondamentale qu'il entretient avec les forces, énoncée par la deuxième loi de Newton. Celle-ci stipule que la somme des forces ΣF appliquées à un système est égale à la variation temporelle de sa quantité de mouvement : ΣF = dp/dt. Dans le cas où la masse du système est constante, cette relation se réduit à la forme plus connue ΣF = m.a, où a est l'accélération. La formulation avec la quantité de mouvement est cependant plus générale et s'applique également à des systèmes dont la masse varie, comme une fusée qui éjecte des gaz.

La conservation de la quantité de mouvement totale.
Le principe de conservation de la quantité de mouvement est un pilier de la physique. Il affirme que, pour un système isolé (c'est-à-dire un système sur lequel la résultante des forces extérieures est nulle), la quantité de mouvement totale du système reste constante : ptotale initiale = ptotale finale.

Ce principe de conservation est particulièrement fructueux dans l'analyse des collisions et des explosions. Dans une collision, qu'elle soit élastique (où l'énergie cinétique est conservée) ou inélastique (où une partie de l'énergie cinétique est convertie en d'autres formes), la quantité de mouvement totale du système juste avant et juste après l'impact est identique. 

Par exemple, lorsque deux corps de masses respectives m1 et m2 entrent en collision, la somme vectorielle de leurs quantités de mouvement après le choc (pf= m1v1f + m2v2f) est égale à celle d'avant (pi = m1v1i + m2v2i) : 

m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f

De même, dans une explosion, un objet initialement au repos se fragmente en plusieurs morceaux qui sont projetés dans différentes directions. La quantité de mouvement vectorielle totale de tous les fragments reste nulle, car elle l'était avant l'explosion.

Ajoutons ici qu'il convient de bien distinguer la quantité de mouvement de l'énergie cinétique. Ce sont deux concepts distincts, même si leurs formulations impliquent les mêmes ingrédients (masse et vitesse). L'énergie cinétique, Ec = ½mv², est un scalaire qui dépend du carré de la vitesse et représente la capacité d'un corps à effectuer un travail. La quantité de mouvement est un vecteur, linéairement dépendant de la vitesse. La conservation de l'une n'implique pas la conservation de l'autre. Par exemple, dans une collision inélastique, la quantité de mouvement est conservée, mais pas l'énergie cinétique. Cette distinction est fondamentale pour une analyse correcte des problèmes de dynamique. 

Quantité de mouvement et impulsion.
Les notions de quantité de mouvement et d'impulsion sont inextricablement liées par une relation fondamentale issue de la deuxième loi de Newton. L'impulsion, qu'on notera I, est définie comme le produit d'une force F par l'intervalle de temps Δt pendant lequel elle s'applique. Plus précisément, pour une force constante, l'impulsion est un vecteur donné par I = F.Δt. Dans le cas plus général d'une force variable, l'impulsion est l'intégrale de la force par rapport au temps : I = ∫ F dt.

Le rapport essentiel entre quantité de mouvement et impulsion est que l'impulsion reçue par un objet est égale à la variation de sa quantité de mouvement. Ceci est une conséquence directe de la loi fondamentale ΣF = dp/dt. En effet, si l'on réarrange cette équation, on obtient ΣF.dt = dp. L'intégration des deux côtés de cette relation sur la durée de l'intervention de la force donne directement I = Δp.

Cette relation signifie que pour modifier la quantité de mouvement d'un objet, il faut lui appliquer une impulsion. L'effet d'une force sur le mouvement d'un corps n'est pas déterminé par son intensité seule, mais par l'intégrale de son action dans le temps. Une force importante agissant pendant un temps très court peut produire la même variation de quantité de mouvement qu'une force faible agissant longtemps, pourvu que leurs impulsions soient égales.

Ce principe est au coeur de nombreux phénomènes. Par exemple, lorsqu'on attrape une balle, on tire souvent la main vers l'arrière pour augmenter le temps Δt durant lequel la force de freinage s'exerce. Puisque l'impulsion nécessaire pour annuler la quantité de mouvement de la balle (Δp est fixe), une augmentation du temps de contact entraîne une diminution de la force moyenne subie par la main, rendant la réception moins douloureuse. À l'inverse, un coup de marteau est conçu pour être dur afin de minimiser le temps de contact lors d'un impact, ce qui maximise la force échangée pour une même impulsion.

Ainsi, l'impulsion est la cause du changement d'état de mouvement, lequel est mesuré par la variation de la quantité de mouvement. L'une est le processus, l'autre est le résultat. Cette connexion intime fait de l'impulsion et de la quantité de mouvement un duo conceptuel indispensable pour analyser tout phénomène impliquant des forces et des mouvements, en particulier les chocs et les collisions où les forces sont intenses et de courte durée.

Au-delà de la mécanique classique.
En mécanique classique, la relation entre la masse et la vitesse qui exprime la quantité de mouvement telle qu'elle a été définie ci-dessus s'applique avec une excellente précision aux vitesses faibles devant celle de la lumière. Cependant, cette conception est profondément modifiée dans les régimes de hautes vitesses et aux échelles microscopiques.

En relativité restreinte.
En relativité restreinte, la quantité de mouvement n'obéit plus à la formule simple p = mv. Elle est redéfinie pour être compatible avec le principe de l'invariance de la vitesse de la lumière. L'expression relativiste correcte est p = γm0v, où v est la vitesse de l'objet, m0 sa masse au repos (une propriété intrinsèque et invariante) et γ le facteur de Lorentz, donné par γ = 1/√(1 - v²/c²). Ce facteur γ est toujours supérieur ou égal à 1 et croît de manière significative lorsque la vitesse v approche celle de la lumière, c. Cette définition assure que la quantité de mouvement totale est conservée dans tous les référentiels inertiels. Une conséquence essentielle est que la quantité de mouvement tend vers l'infini lorsque v tend vers c, expliquant pourquoi il est impossible d'accélérer un objet de masse non nulle jusqu'à la vitesse de la lumière. Par ailleurs, en relativité, la quantité de mouvement et l'énergie E sont unies dans un quadrivecteur, un objet mathématique à quatre dimensions. La relation qui en découle est E² = p²c² + m0²c⁴, qui montre que même un objet au repos possède une énergie intrinsèque, E = m0c².

En mécanique quantique.
En mécanique quantique, la rupture avec la physique classique est encore plus radicale. La quantité de mouvement cesse d'être une simple propriété numérique d'une particule pour devenir un opérateur mathématique agissant sur sa fonction d'onde, Ψ(x,t). En représentation de position, l'opérateur quantité de mouvement est donné par p = -iħ(∂/∂x), où i est l'unité imaginaire et ħ la constante de Planck réduite. Cette formulation implique que l'on ne peut généralement pas attribuer à une particule une position et une quantité de mouvement définies simultanément. C'est le principe d'incertitude de Heisenberg, qui énonce que Δx.Δp ≥ ħ/2, où Δx et Δp représentent les incertitudes sur la position et la quantité de mouvement. Ainsi, plus la quantité de mouvement est déterminée avec précision, plus la position est indéterminée, et vice-versa. De plus, pour une particule quantique, comme un électron dans un atome, la quantité de mouvement n'est pas une valeur unique mais est décrite par une distribution de probabilités. La valeur moyenne de la quantité de mouvement peut être calculée en intégrant le produit de la fonction d'onde et de l'opérateur quantité de mouvement.
-