Les nombres complexes

Introduction

Absence de solutions réelles pour les racines carrées de nombres négatifs.
Alors que le corps des réels  permet de résoudre certaines équations polynomiales (par exemple, x² - 4 = 0 a des solutions réelles x = 2 et x = -2), il est insuffisant pour garantir des solutions à toutes les équations polynomiales. En particulier, les polynômes de degré pair avec un discriminant négatif n'ont pas de racines réelles. Par exemple, l'équation x² + x + 1 = 0 n'a pas de solutions réelles car son discriminant (Δ = b² - 4ac = -3) est négatif.

Cela tient à ce que la définition des nombres réels exclut la possibilité de trouver un nombre réel qui, multiplié par lui-même, donne un nombre négatif. Par exemple, il n'existe aucun nombre réel x tel que x² = -1.  Cette incapacité se généralise à toute racine carrée de nombre négatif et est un frein majeur dans de nombreux problèmes mathématiques et physiques.

Incomplétude algébrique.
Un corps est dit algébriquement clos s'il contient toutes les solutions de toutes les équations polynomiales à coefficients dans ce corps (Les structures algébriques). Le corps des nombres réels n'est donc pas algébriquement clos. Cette absence de clôture algébrique limite l'utilisation des nombres réels dans certains domaines de l'algèbre et des mathématiques en général.

Introduction de l'ensemble des nombres complexes.
Définition du nombre imaginaire i.
En introduisant l'unité imaginaire i, définie comme i² = -1, on crée une extension algébrique de , un nouveau corps, celui des nombres complexes , qui permet de manipuler et d'exprimer les racines carrées de nombres négatifs. Le corps des nombres complexes est algébriquement clos, ce qui lui confère une propriété fondamentale pour la résolution d'équations. En travaillant avec les nombres complexes, on peut résoudre toutes les équations polynomiales, même celles qui n'ont pas de solutions réelles.

Définition d'un nombre complexe.
Un nombre complexe est un élément de l'ensemble , défini formellement comme une paire ordonnée de nombres réels (a,b), avec des règles spécifiques pour les opérations :  = {(a,b) | a, b }, où a est appelé la partie réelle et b la partie imaginaire.

Représentation sous forme algébrique.
Il existe plusieurs façon de noter les nombres complexes. Dans leur représentaion algébrique, la paire ordonnée z = (a, b) est notée  : z = a+ib, où i est l'unité imaginaire ( i² = -1), a = Re(z) la partie réelle et b = Im(z) la partie imaginaire. 

Egalité de deux nombres complexes z et z' : 

z = z' <=> [ Re(z) = Re(z') et Im(z) = Im(z') ].

Avec cette convention d'écriture, l'ensemble des nombres complexes pourra être défini comme :  = {a + ib) | a, b , et i² = -1}.

Cas particuliers :

Si b=0, alors :  z = az est un nombre réel (z ).

Si a=0, alors : z = ib est un nombre imaginaire pur.

Si a = 0 et b = 1, alors : z = i = (0, 1).

Opérations algébriques sur les nombres complexes

Addition de deux nombres complexes.
La règle pour additionner deux nombres complexes z1 = (a1, b1) et z2 = (a2, b2) est : 

En notation algébrique : z1 + z2  = (a1 + ib1) +  (a2 + ib2)  = a1 + a2 + i(b1 + b2).

Propriétés.
L'addition des nombres complexes a les propriétés suivantes :

• L'addition est une opération interne : la somme de deux nombres complexes est un nombre complexe. 

• L'addition est comutative : pour tout z et z' , on a z+z' = z' +z.

• L'addition est associative : quels que soient x, y, z , on a : x+(y+z) = (x+y)+ z.

• Il existe dans  un élément neutre pour l'addition : 0 = (0, 0) ou 0 = 0+i0; autrement dit, quel que soit z, z+0 = 0+z = z. 

• Tout élément z de  a un symétrique pour l'addition, son opposé :  z' est l'opposé de z si z +z' = 0, d'où z' = -z = (-a, - b) = -(a+ib) = -a - ib. 

Ces propriétés réunies confèrent à (, +), c'est-à dire à l'ensemble des nombres complexes muni de l'addition, la structure d'un groupe abélien (ou commutatif).

Soustraction.
La définition de la soustraction découle des propriétés de l'addition. Soustraire le nombre z2 au nombre z1 consiste à faire la somme de z1 et de l'opposé de z2 (soit -z2). La règle pour soustraire deux nombres complexes z1 = (a1, b1) et z2 = (a2, b2) est : 

En notation algébrique : z1 - z2  = (a1 + ib1) -  (a2 + ib2)  = (a1 - a2) + i(b1 - b2).

Multiplication de deux nombres complexes.
La règle pour multiplier deux nombres complexes est : 

Soit, en notation algébrique : z1.z2 = (a1a2 - b1b2) + i(a1b2 + a2b1) 

Cette formule découle de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et du fait que i² = -1.

Propriétés.
L'addition des nombres complexes a les propriétés suivantes : 

• La multiplication est une opération interne : le produit de deux nombres complexes est un nombre complexe. 

• La multiplication est commutative : pour tout z et z' , on a z.z' = z'.z.

• La multiplication est associative : quels que soient x, y, z , on a : x(yz) = (xy)z.

• La multiplication est distributive sur l'addition : x.(y + z) = x.y + x.z.

• Il existe dans  un élément neutre pour la multiplication : 1 = (1, 0) ou 1 = 1+i0; autrement dit, quel que soit z, on a  z.1 = 1.z = z. 

Si l'on combine aux propriétés de la multiplication les propriétés de (, +), qui en faisaient un groupe commutatif, alors (, +, . ), c'est-à dire à l'ensemble des nombres complexes muni de l'addition et de la multiplication, a une structure d'anneau unitaire commutatif.

Multiplication d'un nombre complexe par un scalaire.
La multiplication d'un nombre complexe z par un un nombre réel (scalaire) k est un nombre complexe : kz = zk = z'. En notation algébrique : k(a+ib) = ka+ikb.

Cette loi de composition externe, notée . et définie dans  x , vérifie les quatre propriétés suivantes pour tout scalaire k, p et pour tout nombre complexe  z, z'- :

• Associativité : k.(p.z) = (kp).z; 

• Distributivité par rapport à l'addition dans   : (k + p).z = (k.z) + (p.z);

• Distributivité par rapport à l'addition dans  :  k.(z +z') = (k.z) + (k. z'); 

Si l'on ajoute que , muni de la multiplication possède un élément neutre (1), tel que 1.z = z, il s'ensuit que  (, +, .), dont on sait déjà que ( +) est un groupe abélien, est aussi un espace vectoriel sur . Envisager  comme un espace vectoriel ajoute de la souplesse aux usages que lon peut faire des nombres complexes (L'agèbre linéaire). 

Base et dimension de l'espace vectoriel.
L'ensemble {1, i} forme une base de  en tant qu'espace vectoriel sur , car tout z  peut s'écrire de manière unique comme :  z=1.a + i.b, avec a,b .

L'espace vectoriel sur  est de dimension 2, car la base {1, i} contient deux éléments.

Conjugaison complexe.
Conjugué complexe.
Le conjugué d'un nombre complexe z = (a, b) est noté  et est défini par  = (a, -b). Soit, en notation algébrique, si z = a + bi, alors  = a - ib.

Propriétés du conjugué.
Les définitions données ci-dessus permettent de vérifier facilement les identités suivantes :

Conjugué du conjugué : z̄̄ = z, 

Addition d'un nombre avec son conjugué : z+z̄ = 2Re(z),

Soustraction du conjugué d'un nombre : z-z̄ = 2iIm(z), 

Multiplication d'un nombre complexe avec son conjugué : z z̄ = a² + b².

Si on a deux nombres complexes z1 = a + ib et z2 = c + id (si z2  ≠ 0), pour calculer la division z1 / z2, on procède de la manière suivante :

1) Multiplication par le conjugué du dénominateur. On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de z₂, qui est z̄₂ = c - id.

z1 / z2 = (a + ib) / (c + id) =  [(a + ib) . (c - id)] / [(c + id) .(c - id)]

2) Développement des produits. On effectue la multiplication au numérateur et au dénominateur.

Numérateur : (a + ib)(c - id) = ac - iad + ibc - i²bd
                       = ac - adi + bci + bd
                       = (ac + bd) + i(bc - ad)

Dénominateur : (c + id)(c - id) = c² - (id)² 
                           = c² + d²

3) Simplification et expression sous forme algébrique. On obtient donc :

 z1 / z2 =  [(ac + bd) + i(bc - ad)] / (c² + d²) 
            = ((ac + bd) / (c² + d²)) +  i. ((bc - ad) / (c² + d²))

    Le résultat est un nombre complexe sous la forme x + iy, où

    x = (ac + bd) / (c² + d²) est la partie réelle.
    y = (bc - ad) / (c² + d²) est la partie imaginaire.

Conjugué du dénominateur : Le conjugué de (1 - i) est (1 + i).

Multiplication :  (2 + i3) / (1 - i) = [(2 + i3)(1 + i)] / [(1 - i)(1 + i)]

Développement :

Numérateur : (2 + i3)(1 + i) = 2 + i2 + i3 + i²3
                                              = 2 + i5 - 3 = -1 + i5

Dénominateur : (1 - i)(1 + i) = 1² - i² = 1 + 1 = 2

Simplification : (-1 + i5) / 2 = -1/2 + i5/2, donc, (2 + i3) / (1 - i) = -1/2 + i5/2 

Soit un nombre complexe z exprimé sous forme algébrique : z = a + ib, où a et b sont des nombres réels, et i est l'unité imaginaire. L'expression de l'inverse de z s'obtient en divisant 1 par z, en suivant les étapes que l'on vient de dire. L'inverse de z est alors donné par la formule suivante : 1/z = (a - ib) / (a² + b²).

Points clés : l'inverse d'un nombre complexe z existe à condition que z soit différent de zéro (c'est-à-dire, a ≠ 0 ou b ≠ 0). L'inverse d'un nombre complexe, lorsqu'il existe, est unique.

Puissances de i.
Le cycle des puissances de i.

i⁰ = 1 (par définition, n'importe quel nombre non nul à la puissance 0 est égal à 1)
i¹ = i (par définition)
i² = -1 (c'est la définition de l'unité imaginaire)
i³ = i² . i = -1. i = -i
i⁴ = i² . i² = -1 . -1 = 1

On dira que les puissances de i sont cycliques et suivent le schéma simple : 1, i, -1, -i. Pour trouver iⁿ, il suffit de regarder le reste de la division de n par 4. On suivra donc les étapes suivantes :

1) Diviser l'exposant n par 4.

2) Considérer le reste de cette division (il sera toujours 0, 1, 2 ou 3).

3) Utiliser le reste comme nouvel exposant de i :

Reste 0 : iⁿ = i⁰ = 1
Reste 1 : iⁿ = i¹ = i
Reste 2 : iⁿ = i² = -1
Reste 3 : iⁿ = i³ = -i

Représentation géométrique des nombres complexes

On peut d'abord remarquer que la définition même de l'ensemble des nombres complexes  se fonde sur une correspondance bijective avec ² , selon une relation naturelle et simple : z = x + iy ↔ (x, y). Ensuite, tout dépend de la manière dont on envisage² du point de vue géométrique. 

Plan cartésien.
Si R² est traité comme plan cartésien (repère orthonormé); on peut représenter un nombre complexe z = x + iy sous la forme d'un point M de coordonnées x et y :  M(x, y). 

On nomme affixe d'un point le nombre complexe qui représente ses coordonnées dans le plan complexe. On nomme point image d'un nombre complexe le point du plan complexe qui correspond à ce nombre. 

L'axe des abscisses (axe des x ou axe horizontal) du plan cartésien correspond à la partie réelle des nombres complexes; on parlera d'axe réel. L'axe des ordonnées (axe des y ou axe vertical) correspond à la partie imaginaire des nombres complexes; on parlera d'axe imaginaire.

Plan vectoriel.
Dans  envisagé comme un plan vectoriel euclidien, de base orthonormée (1, i), le même nombre complexe z = x + iy peut être associé au vecteur  de coordonnées x, et y.

Le même vocabulaire est repris :  le vecteur est l'image du nombre complexe correspondant, et ce nombre est l'affixe du vecteur qui lui est associé. L'axe des x est l'axe réel, et l'axe des y est l'axe imaginaire.

Module d'un nombre complexe.
Définition.
On appelle module d'un nombre complexe z, noté |z|, le nombre réel :

Autrement dit, le module |z| de z est la racine carrée du produit de z par son conjugué. Si z = a+ib, alors :

Interprétation géométrique.
En termes cartésiens, la distance de M au point origine O, c'est-à-dire la longueur du segment , est la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées x et y de M : d = √ (x²+d²). Cela correspond donc à la valeur du module du nombre z : d = |z|.  En termes vectoriels, le module de z correspond  à la norme du vecteur : |z| = ||||. 

Propriétés du module :

• Le module d'un nombre complexe est un nombre réel positif |z| ≥ 0, 

• Si le module d'un nombre est nul alors ce nombre est zéro : |z| = 0 <=> z=0,

• Le module du produit de deux nombres complexes est égal au produit des modules de ces nombres : |zz'| = |z||z'|,

• Le module du rapport de deux nombres complexes est égal au rapport des modules de ces nombres :  |z/z'| = |z|/|z'|.

mais il faut ajuster θ en fonction du quadrant du point (a,b) dans le plan complexe. arg⁡(z) est exprimé en radians et appartient à l'intervalle ]−π,π] ou parfois [0,2π[, selon les conventions.

Cas particuliers selon les quadrants.
La position de z détermine l'angle :

Si a > 0 (premier et quatrième quadrants) :  arg⁡(z) = arctan⁡(b/a).

Si a < 0 (deuxième et troisième quadrants) : Si b≥0, arg⁡(z) = π + arctan⁡(b/a);  Si b < 0, arg⁡(z) = −π+arctan⁡(b/a).

Si a = 0 (l'axe imaginaire) : Si b > 0, arg⁡(z) = π/2​; Si b < 0, arg⁡(z) = −π/2​.

Exemple 2 : z =−1−i.  a=−1, b=−1, donc b/a=1. Puisque a < 0 et b < 0 (troisième quadrant), on aura arg⁡(z) = −π + arctan⁡(1) = −3π/4.

Exemple 3 : z=i.  a = 0, b=1, donc arg⁡(z) = π/2​.

Propriétés de l'argument :

arg(zz') = arg(z) + arg(z') (modulo 2π),

arg(z/z') = arg(z) - arg(z') (modulo 2π).

Forme trigonométrique (polaire) d'un nombre complexe.
La forme trigonométrique d'un nombre complexe est une manière d'exprimer un nombre complexe z en termes de sa norme (ou module) r et de son argument θ.

Pour un nombre complexe z = a + ib, où a est la partie réelle et b la partie imaginaire :
z = r(cos⁡θ + isin⁡θ), où r est la norme ou le module de z,  θ = arg⁡(z) est l'argument de z, l'angle que fait le vecteur z avec l'axe réel positif dans le plan complexe.

Étapes pour passer à la forme trigonométrique
Calcul du module r :

avec les ajustements nécessaires pour déterminer le quadrant correct.

Substitution dans la forme trigonométrique :

Forme exponentielle (liée à la forme trigonométrique).
Grâce à la formule d'Euler, , la forme trigonométrique peut aussi s'écrire : .

Note : la formule d'Euler peut aussi être utilisée pour exprimer les fonctions trigonométriques :

Transformer une équation trigonométrique en une équation impliquant des exponentielles complexes peut faciliter sa résolution.

1/z = (1/r) .(cos(-θ) + isin(-θ)), 

1/z = (1/r) .(cos(θ) - isin(θ))

a) Addition. - L'addition de deux nombres complexes correspond à une addition vectorielle dans le plan.

b) Multiplication. - Multiplier des complexes revient à multiplier leurs modules et additionner leurs arguments. E utilisant la forme polaire : z1.z2=|z1|.|z2|.e^i(θ1+θ2)

Si z est un nombre complexe de module r et d'argument θ, écrit sous forme exponentielle ou trigonométrique, alors : z = r.(cos⁡ θ + i.sin⁡θ). La formule de Moivre permet d'élever ce nombre complexe à une puissance entière n :

Si z est un complexe sur le cercle unité (donc r = 1), la formule se simplifie à :

Cette formule permet de déterminer facilement les puissances des nombres complexes en passant par leur forme trigonométrique. On peut aussi en déduire des formules pour les cosinus et sinus multiples (double, triple, etc.). Elle est également utilisée pour déterminer les racines d'un nombre complexe.

Forme matricielle des nombres complexes

Représentation générale.
Un nombre complexe z = x + iy, où x est la partie réelle et y la partie imaginaire, peut être représenté par la matrice suivante :

Multiplication.
Le produit de deux nombres complexes z​ et z'​ correspond au produit des matrices associées :  Mz.z'=  Mz.Mz'.

Module.
Le module |z| d'un nombre complexe z = x + iy est donné, on l'a vu par :  |z|² = x² + y², ce qui est aussi le déterminant de la matrice Mz : det⁡(Mz) = x²+y². Autrement dit : 

Conjugué.
On a vu que le conjugué d'un nombre complexe z=x+i s'écrit  = x−iy. La matrice associée est donc :

Transformation géométrique.
Cette matrice représente une rotation suivie d'une homothétie dans le plan : la partie réelle x et imaginaire y déterminent la rotation d'angle θ, où tan⁡(θ)= y/x​. Le module |z| représente le facteur de dilatation. 

Exemple numérique.
Soit le nombre complexe z = 1 + i.2. La matrice associée est :

Le déterminant de cette matrice est : det⁡(Mz) = 1² + 2² = 5.  Le module de z est donc :

Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Résolution de l'équation zⁿ = w.
Pour résoudre l'équation  zⁿ = w, on suivra trois étapes; on commence par représenter de w en coordonnées polaires : tout nombre complexe w≠0 peut être écrit sous la forme polaire ou exponentielle : w = |w|e^iarg⁡(w), où |w| est le module de w, arg⁡(w)est l'argument principal de w, défini modulo 2π. Les n racines n-ièmes de w sont alors données par la formule générale :

Dans , l'équation zⁿ = w a toujours exactement n solutions distinctes, car les arguments sont cycliques modulo 2π. Ces racines sont réparties symétriquement autour de l'origine, formant un polygone régulier dans le plan complexe. Un résultat  fondamental en algèbre complexe, qui s'appuie sur la propriété de compacité du cercle unité dans .

Racines n-ièmes de l'unité.
Les racines n-ièmes de l'unité sont les solutions de l'équation complexe : zⁿ=1, où n est un entier strictement positif. Ces racines apparaissent souvent en algèbre et en analyse. Leur interprétation géométrique et leurs propriétés symétriques en font un outil puissant dans l'étude des polynômes et des structures cycliques.

Forme exponentielle des racines.
L'unité 1 dans le plan complexe peut être écrite en forme exponentielle : 1 = e^i2kπ, k . Les racines n-ièmes de 1 sont données par : 1 = e^i2kπ/n, k = 0, 1, ..., n-1. Explications : 

• e^i2kπ/n représente la rotation de 2kπ/n radians dans le plan complexe.

• Il y a n valeurs distinctes de zk corresponadnt à k = 0, 1, ..., n-1.

Interprétation géométrique.
Comme on l'a vu avec les racines de l'équation zⁿ = w, les racines n-ièmes de l'unité peuvent être interprétées géométriquement comme les sommets d’un polygone régulier centré sur l'origine. Il est cette fois inscrit dans le cercle unité du plan complexe-:

• Cercle unité. - Chaque racine zk​ a un module égal à 1 (puisque |zk| = 1).

• Répartition angulaire. - Les arguments de ces racines sont :

Ces angles sont espacés de 2π/n​ radians, répartissant uniformément les racines autour du cercle unité.

• Polygone régulier. - Chaque zk​ correspond à un sommet. Les n sommets sont également espacés et forment un polygone régulier inscrit.

• Somme des racines égale à 0. - La somme de toutes les racines n-ièmes de l'unité est toujours égale à 0, sauf pour n=1 où il n'y a qu'une racine (1).

Ceci peut être démontré par la formule de la somme des termes d’une progression géométrique :

car e^i2π = 1.

• Puissance d’une racine. - Si zk = e^i2kπ/n​, alors :

Cela montre que chaque zk​ satisfait bien l'équation zⁿ = 1.

• Multiplication cyclique. - La multiplication de deux racines zk et zj  donne une autre racine :

L'indice k+j est pris modulo n.

• Produit des racines. - Le produit de toutes les racines n-ièmes de l'unité est égal à :

Cela découle de la relation entre les racines d’un polynôme et ses coefficients.

En analyse et en géométrie les racines de l'unité sont utilisées pour définir les séries de Fourier, où elles servent à décrire les fréquences fondamentales.

Les racines n-ièmes de l'unité sont également utilisées en cryptographie, où elles sont exploitées dans les algorithmes de chiffrement.

Compléments sur les nombres complexes

Les fonctions complexes sont des fonctions f : → , où les variables et les valeurs sont des nombres complexes. Ces fonctions offrent une extension des mathématiques réelles et trouvent des applications variées, notamment en physique, ingénierie et analyse.

Fonctions holomorphes.
Une fonction complexe f(z) est dite holomorphe sur un domaine D  si elle est dérivable au sens complexe en tout point de D. Cela implique que :

• La dérivée complexe existe :

• Les équations de Cauchy-Riemann sont satisfaites. Soit z=x + iyz et f(z) = u(x,y) + iv(x,y), avec u,v les parties réelle et imaginaire de f. Alors :

Intégration sur un contour.
L'intégration dans le plan complexe repose sur une courbe orientée γ, appelée contour, paramétrée par une fonction γ(t) : [a,b]→.L'intégrale de f(z) le long de γ est donnée par :

Théorème fondamental de l'analyse complexe.
Si f est holomorphe sur un domaine D contenant γ, alors :

où z1​ et z2​ sont les points de départ et d'arrivée de γ.

Théorème de Cauchy.
Si f est holomorphe sur D et γ est un contour fermé contenu dans D, alors :