Formule dEuler.

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Formule d'Euler

La formule d'Euler est une identité mathématique qui établit une relation fondamentale entre les fonctions trigonométriques et la fonction exponentielle complexe. Elle s'énonce comme suit :

e^ix = cos(x) + i sin(x),
où e est la base du logarithme naturel (environ 2,71828), i est l'unité imaginaire, définie comme i² = -1, x est un nombre réel, représentant un angle en radians, cos(x) est la fonction cosinus de l'angle x, sin(x) est la fonction sinus de l'angle x.

En d'autres termes, la formule d'Euler dit que l'exponentielle d'un nombre imaginaire pur ix est un nombre complexe dont la partie réelle est le cosinus de x et la partie imaginaire est le sinus de x.

La formule d'Euler peut être interprétée géométriquement dans le plan complexe. Le nombre complexe cos(x) + i sin(x) représente un point sur le cercle unité (cercle de rayon 1 centré à l'origine) dont l'angle par rapport à l'axe réel positif est x. Ainsi, e^ix décrit un mouvement circulaire sur le cercle unité lorsque x varie.

Cas particulier (Identité d'Euler) : lorsque x = π (pi), la formule d'Euler devient : e^iπ = cos(π) + i sin(π). Puisque cos(π) = -1 et sin(π) = 0, on obtient la célèbre identité d'Euler : e^iπ + 1 = 0. Cette identité est remarquable car elle relie cinq constantes mathématiques fondamentales : e, i, π, 1 et 0, ainsi que les opérations d'addition, de multiplication et d'exponentiation.

Dictionnaire Idées et méthodes