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Les fonctions

En termes généraux, une application est un moyen d'associer d'une manière unique  tous les éléments d'un ensemble donné, appelé son domaine de définition, à des éléments de ce même ensemble ou d'un autre ensemble (Ensembles et relations). Lorsque les éléments ainsi mis en relation sont des nombres,  ont donne généralement à l'application concernée le nom de fonction
Si ce n'était cet usage, qui peut avoir ses exceptions, les mots fonction et application sont synonymes. Il s'ensuit, que les différentes propriétés attachées aux applications en général peuvent se rencontrer avec les mêmes définitions, dans l'étude des fonctions.
Une fonction de D dans E  (D et E étant donc des ensembles de nombres), est ainsi un objet mathématique, que l'on peut noter f, et tel que quel que soit x appartenant à D, il existe un élément unique y appartenant à E, tel que y soit l'image de x par f (on dit aussi que y est la valeur de f en x) : 
f : D, ! y E | y = f(x)
x est appelée la variable indépendante, y est la variable dépendante.

L'intérêt de cette classe particulière d'applications que sont les fonctions est que certaines propriétés des fonctions ou certaines opérations que l'on fait entre les fonctions résultent des propriétés des nombres sur lesquels elles agissent et sur les opérations possibles entre ces nombres. Ainsi les propriétés des opérations telles que l'addition , la multiplication, la dérivation ou l'intégration de fonctions, par exemple, sont-elles directement attachées aux propriétés de l'ensemble  des nombres réels (ou, mieux dit, aux propriétés du corps commutatif totalement ordonné (, +, .)).

Définitions générales et notations.
Fonctions réelles d'une variable réelle.
Dans ce qui suit les diverses notions attachées aux fonctions seront introduites à partir de l'étude de fonctions réelles d'une variable réelle (= fonctions numériques) c'est-à-dire de fonctions f associant de façon unique un nombre réel x à un autre nombre réel y. Il existe aussi des s fonctions impliquant davantage de variables ou des variables qui ne sont pas exclusivement des nombres réels.

Exemples de fonctions qui ne sont pas des fonctions réelles d'une variable réelle : une fonction telle que  y = f(x1, x2,.., xn) est une fonction de n variables; une fonction telle que y = f(x), lorsque x et y sont des nombres complexes est une fonction complexe de variable complexe. Les vecteurs ne sont pas des nombres, mais peuvent se définir à partir de nombres (leurs coordonnées); on peut alors se trouver dans les situations suivantes (entre autres) : lorsque l'argument x est un réel et l'image y est un vecteur, la fonction telle que f(x) = y est une fonction vectorielle; les champs scalaires se définissent comme des fonctions dont l'argument est un vecteur et l'image un nombre (scalaire); dans le cas de champs vectoriels, l'argument et l'image sont des vecteurs; etc.
Une fonction réelle à une variable réelle est une application dont le domaine de définition (= ensemble de départ de la fonction) et l'ensemble image ( = ensemble d'arrivée) sont des sous-ensembles de l'ensemble  des nombres réels. Ces sous-ensembles (nécessairement non vides) pourront être des intervalles de  ou des réunions d'intervalles.

Si l'on note D (ou Df) le sous-ensemble de  des éléments x sur lesquels agit la fonction f (autrement dit si D est le domaine de définition de f), alors on appellera ensemble image de f le sous ensemble de  de toutes les images des éléments x de D par la fonction f. On le notera f(D), Im(f) ou Imf.

Sauf nécessité particulière, dans ce qui suit, on admettra, pour ne pas avoir à se répéter, que lorsqu'on qu'on parle d'une fonction f, celle-ci est définie sur un intervalle D auquel appartiennent les nombre réels x, x0, x1, etc. 
Graphe d'une fonction. Représentation graphique.
Le sous-ensemble {(x, f (x)) |  x  D}  du produit cartésien D X f(D) est appelé le graphe de f. Dans le cas de beaucoup des fonctions réelles d'une ou plusieurs variables réelles, on peut représenter un tel graphe sous la forme d'une courbe (éventuellement avec plusieurs composantes disjointes) qui peut être tracée sur le plan où l'abscisse est la valeur de la variable x et l'ordonnée la valeur f(x). C'est ce qu''on appellera une  représentation graphique de la fonction, et l'on dira que la courbe a pour équation y = f(x). Les éléments du graphe sont appelés points. Ils ont pour coordonnées (x, f(x)).
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Figure 1 - Représentation graphique d'une fonction.
Df est le domaine de définition de f; 
Imf est l'ensemble image de f.

Quelques familles de fonctions.
Fonctions algébriques.
Les fonctions algébriques sont des fonctions dans lesquelles les différents termes (variables numériques) sont liés entre eux par par des symboles opératoires (+, x, etc.) ou peuvent se ramener à des expressions n'utilisant que ces symboles. Par exemple, la fonction f(x) = (x²+1)/(x-1) est une fonction algébrique. Figurent parmi les fonctions algébriques :

• Les fonctions polynomiales. - Ce sont des fonctions f telles que, pour tout x du domaine de définition,  f(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn -2 + … + a1x + a0 , où n un entier positif et les coefficients ai sont des réels (ou des nombres complexes), avec an non nul. Le nombre n indique le degré de la fonction polynomiale. Lorsque n = 3 on parle de fonction cubique. La fonction f(x) = ax² + bx + c, (avec a0), par exemple, est une fonction du second degré. Sa courbe représentative est une parabole.
f(x) = ax² + bx + c peut aussi s'écrire : f(x) = a(x+b/2a)² -/4a, où -= b²-4ac est appelé discriminant. Le mérite de cette forme du trinôme; dite forme canonique, est de faire apparaître des termes d'un intérêt particulier. Ainsi, le point de coordonnées (-b/2a, -/4a) correspond-il au point où la parabole (courbe de f) atteint son maximum ou son minimum. Ces mêmes coordonnées permettent aussi de décider (à partir d'une discussion sur le signe de ) s'il existe ou pas des valeurs de x (appelées racines de l'équation) telles que f(x) =0, et de les calculer éventuellement.

Les fonctions du second degré (aussi appelées trinômes du second degré), sont un cas particulier (pour les fonctions d'une variable réelle) des fonctions quadratiques qui sont des fonctions polynomiales de degré 2  à un nombre quelconque de variables (par ex., la fonction à deux variables : f(x, y) = x² + 2xy).

Une fonction puissance de degré n est une fonction polynomiale de la forme : f(x) = xn, où x est un réel non nul et n un entier positif.

• Les fonctions rationnelles. - Ce sont des fonctions polynomiales définies par une relation de la forme f(x) = p(x) / q(x) (où p et q sont des fonctions polynomiales et où au moins un des coefficients de q(x) est non nul).

• Les fonctions irrationnelles. - Ce sont les fonctions qui font appel au symbole racine : n , avec n entier positif.

Fonctions affines.
On appelle fonction affine une fonction f  telle que f(x) = ax + b (c'est donc une fonction polynomiale de degré 1). La courbe représentative d'une telle fonction est une droite : la constante a est son coefficient directeur (= pente) et la constante b est son ordonnée à l'origine (elle coupe l'axe des ordonnées au point (0, b)). Lorsque a ou b sont égaux à zéro ou quand a est égal à 1, on donne des noms particuliers aux fonctions affines concernées :
• Dans le cas ou a  = 0 (f(x) = b), f est une fonction constante.

• Dans le cas ou b = 0 (f(x) = ax), f est une homothétie

• Dans le cas où a = 1 et b = 0,  f correspond à f(x) = x. C'est la fonction identique (sur le domaine de définition D) : IdD

• Dans le cas ou a =1 et b0, (f(x) = x + b), f est une translation.

Les fonctions affines sont les fonctions les plus simples, mais on verra plus bas qu'elles jouent un rôle central dans la définition de notions aussi fondamentales que celles de limite ou de dérivée.

Fonctions spéciales.
Les fonctions spéciales suivantes ont plus ou moins de parentés avec les fonctions affines.

• Fonction valeur absolue. - C'est la fonction, notée |x|, qui associe x à x si x est supérieur ou égal à zéro (|x| = x) et à -x si x est inférieur à zéro (|x| = -x).

• Fonction signe. - C'est la fonction, notée sgn(x), qui associe à x les valeurs -1, 0 ou 1, selon le signe de x : sgn(x) =-1 si x < 0; sgn(x) = 0, si x = 0; sgn(x) = +1 si x > 0.

• Fonction en escalier. - Une fonction f définie sur un intervalle fermé [a, b] est appelée fonction en escalier (ou fonction constante par morceaux) sur [a, b] s'il existe une subdivision S = (x0, ..., xn) de [a, b] telle que f est constante sur chacun des n intervalles ]x0, x1[, ... ]xn-1, xn[. On dit alors aussi que f est étagée sur S . On donne le nom de pas (ou module) de la subdivision S, le plus grand des réels strictements positifs  x1-x0, ... , xn-1- xn-1 (autrement dit, le pas ou module est la largeur de la plus large marche de l'escalier). Ce nombre est aussi le pas de la fonction f. 

On fera appel plus bas à la notion de fonction en escalier pour introduire celle d'intégrale d'une fonction.

Fonctions transcendantes.
Lorsqu'une fonction numérique n'est pas algébrique on dit qu'elle est transcendante. Exemples, les fonctions exponentielles, logarithmiques, circulaires, etc. :
• Les fonctions exponentielles sont définies par une relation de la forme f(x)-= ax, où x, l'exposant, est un réel, et a , appelée la base, est un nombre réel strictement positif différent de 1. 
On appelle exponentielle naturelle la fonction exponentielle dont la base est le nombre irrationnel e = 2,718281828..., appelé nombre d'Euler ou constante de Néper.
• Les fonctions logarithmiques sont des fonctions définies par une relation de la forme f(x) = loga(x) où a (base du logarithme) est un réel strictement positif différent de 1. La fonction log10 se note aussi log.
On parle de logarithme naturel quand la base est le nombre e mentionné ci-dessus. On note cette fonction Log ou ln.
• Les fonctions circulaires (ou trigonométriques) sont des fonctions définies à partir des fonctions sinus et cosinus et dont l’argument est une valeur d’angle, ou un angle de rotation. Parmi les fonctions circulaires, on mentionnera, outre les fonctions sinus (sin) et cosinus (cos), la fonction tangente (tg (x) = sin(x)/cos(x)), la fonction sécante (sec(x) = 1/ cos (x)), etc.

• Ajoutons à cela un certain nombre de fonctions apparentées aux fonctions circulaires  : les fonctions trigonométriques inverses (arcsin, arccos, arctan, etc.); les fonctions hyperboliques (sinh, cosh, tanh, etc) et les fonctions hyperboliques inverses (argsinh, argcosh, etc.).

Quelques qualificatifs pour les fonctions.
Fonctions monotones.
Si l'on considère deux éléments distincts quelconques x1 et x2 appartenant au domaine de définition de la fonction f, et tels que  x1 < x2, la fonction est dite monotone si l'on a toujours soit f(x1 f(x2), soit f(x2 f (x1). Dans le premier cas la fonction est de plus dite croissante, dans le second, elle est dite décroissante.
• Lorsque on a  f(x1) < f(x2) ou f(x2)  < f (x1), on dit que f est strictement monotone (croissante ou décroissante).
• La propriété de monotonie (croissante ou décroissante) peut ne s'observer que pour un sous-ensemble du domaine de définition. Il convient alors de préciser explicitement sur quel(s) intervalle(s) la fonction est monotone (croissante ou décroissante) .
Fonctions réciproques.
Comme toute autre application, une fonction f bijective admet une fonction réciproque, notée  f -1 . (Attention : ici, f-1 est le symbole d'une fonction, pas une puissance de f; pour éviter les confusions on peut aussi noter f* la réciproque de f)). Pour trouver la fonction réciproque de f, les variables x et y sont interverties dans la formule de f, puis y est exprimé à partir de x = f (x) afin d'obtenir y =  f-1(x). L'expression  y = f (x) est  équivalente à l'expression x = f-1(y). 

Les égalités suivantes découlent de cette relation :

f (f-1 (y)) = y et f-1(f (x)) = x 
Autre écriture :
(f o f-1)(y) = y et (f-1o f) (x) = x
Le graphe d'une fonction réciproque y =  f-1 (x) est obtenu par réflexion du graphe de y = f (x) par rapport à la droite y = x. 
• Si une fonction f est strictement monotone dans un intervalle de son domaine de définition, alors il existe une fonction réciproque f-1 pour cet intervalle. 

• Si une fonction non monotone peut être partitionnée en parties strictement monotones, alors la réciproque correspondante existe pour chaque partie. 

Fonctions bornées.
Une fonction est dite bornée s'il existe une valeur b qu'elle prend, telle que quelque soit x, f(x) est toujours soit inférieur ou égal à b, soit supérieur ou égal à b. Dans le premier cas, b est la borne supérieure de la fonction, dans le second, b est sa borne inférieure.

Fonctions paires et impaires.
Une fonction paire est une fonction telle que f(x) = f(-x). Une fonction impaire est une fonction telle que f(x) = -f(-x).

• Sous réserve que, pour tout x appartenant au domaine de définition D de la fonction f,  -x appartiennent aussi à D,  la fonction f peut être écrite comme la somme d'une fonction paire g et d'une fonction impaire h. On a ainsi, pour chaque x appartenant au domaine de définition de f
f(x) = g(x) + h(x), où g(x) = ½.[f(x) + f(-x)] et h(x) = ½.[f(x) - f(-x)].
Fonctions périodiques.
Une fonction est périodique si elle satisfait la relation f(x) = f(x+T), où T est une constante non nulle. De cette définition, il suit que la relation f(x) = f(x+n.T), où n est entier relatif non nul, est aussi vérifiée. T, plus petit nombre positif vérifiant ces relations, est appelée la période de la fonction.

Limites et continuité

Limite d'une fonction.
On appelle limite d'une quantité variable une quantité fixe dont cette variable s'approche indéfiniment, de manière à en différer d'aussi peu que l'on veut. La considération de cette notion de limite intervient constamment dans l'étude des fonctions. 

Limite d'une fonction en un point.
Parler de la limite d'une fonction réelle en un point revient à se demander ce qu'il advient de la valeur f(x) d'une fonction f lorsque la variable x tend vers une valeur x0 donnée.

Pour une variable réelle quelconque x, tendre vers une valeur donnée x0 signifie que la valeur absolue  de la différence de x et de x0 ( =| x- x0 |) tend vers zéro. On écrit cette situation : x  x0 (lire : "x tend vers x0"), ou de manière équivalente  0.

La limite de la valeur de la fonction f quand x tend vers x0, se notera alors-:

 
lim f(x)      ou, de manière plus économique :
x
 lim f , voire : lim f
   x0
Cette limite peut être un nombre, quand f(x) tend vers une valeur butoir; mais elle peut aussi être infinie (±) quand la valeur absolue de f(x) tend indéfiniment vers + ou vers -.

Limite finie en un point.
Admettons, pour commencer, que cette limite soit un nombre (on parlera dans ce cas de limite finie), et que ce nombre soit noté A. La définition de la limite est alors :

lim f(x) = A  [ > 0,  > 0 / | x-x0| <  |f(x)-A| < ]
x
La limite d'une fonction en un point peut être la valeur de la fonction en ce point ou être distincte de cette valeur. 

Limite à droite et limite à gauche.
On a admis implicitement jusqu'ici qu'un fonction a une même limite en x0 que l'on approche x0 par des valeurs de x supérieures  à x0 ou par des valeurs inférieures. Mais il peut arriver que les limites soit différentes selon que l'on approche x0 par par des valeurs de x supérieures (limite à droite) ou par par des valeurs de x inférieurs (limite à  gauche). On écrit : x  x0+  lorsque x > x0, et l'on écrit x  x0–  lorsque x < x0. D'où les deux notations suivantes :

•  Limite à droite : lim f(x) = P
                               x  x0+

•  Limite à gauche : lim f(x) = M
                                   x  x0–

Où P et M sont des nombres réels.

On dit que la fonction f a une limite en x0 si et seulement P et M existent et P = M, dans le cas contraire, on devra toujours préciser "à droite" ou "à gauche".

Limite finie d'une fonction quand x tend vers l'infini.
On peut être conduit à s'interroger sur ce que devient une fonction, non plus seulement quand la variable x tend vers une valeur finie ( x0), mais aussi quand cette variable tend vers ± (x  ±). Les notations 

a) lim f(x) = A et b) lim f(x) = A
    x +        -
signifient  :
a) si pour tout réel positif donné  il existe un nombre N > 0 tel que pour tout x > N, la valeur correspondante f (x) est dans l'intervalle a- < f (x) < A + ;

b) et, de façon analogue, que A est la limite de la fonction f (x) quand x tend vers -  si pour tout nombre positif donné  il existe un nombre positif N > 0 tel que pour tout x < -N la valeur correspondante f(x) appartient à l'intervalle a- < f (x) < A + 

Propriétés des limites.
• Toute quantité croissante (ou décroissante) qui ne peut devenir plus grande (ou plus petite) qu'une quantité donnée fixe, a une limite.
• Si f(x) = k,  [a, b]  lim f(x) = k, x [a, b]
                                               x x

• La limite d'une somme (ou d'un produit) de quantités variables en nombre déterminé est égale à la somme (ou au produit) des limites de ces quantités. La limite d'un quotient est égale au quotient des limites du dividende et du diviseur (si le diviseur est différent de zéro). 

Si  lim f(x) = A et lim g(x) = B, on vérifie que
          x  x0        x

    a)  lim [f(x)±g(x)] = A±B
      x0

       b) lim [f(x).g(x)] = A.B
       x0

            c) si B 0,  lim [f(x)/g(x)] = A/B
                   x0

       d) lim k.f(x) = k.A
       x0

Limites infinies.
On a admis jusqu'ici que la limite d'une fonction en un point était un nombre réel. Mais ce n'est pas toujours le cas. Il peut arriver que, lorsque x s'approche idéfiniment de x0, la valeur absolue de f(x) croisse indéfiniment. Lorsqu'une valeur tend ainsi à devenir indéfiniment grande, on dit qu'elle tend vers "plus l'infini" ou vers "moins l'infini". Ces situations se notent : 
lim f(x) = +
x0

lim f(x) = -
x

Elles signifient que  M > 0,  fonction de M/f(x) > M  (ou < -M, dans le second cas) tant que |x < x0| < 
Note : on peut aussi se trouver dans des situations telles que, par exemple :
lim f(x) = -  ,   lim f(x) = k ,  etc. 
+                -

(Tous les cas de figure sont possibles).

Formes indéterminées.
Les propriétés (somme, produit, rapport) des limites infinies sont analogues à celles des limites finies tant qu'on ne se trouve pas dans les cas où apparaissent certaines expressions, appelées formes indéterminées (F. I.)

Ainsi, notamment, on ne peut pas conclure directement à l'existence de :

•  lim (f+g), lorsque lim f = + et lim g = -. (indétermination -)

• lim f.g, lorsque lim f = 0 et lim g = ±. (indétermination  0x

• lim f/g, lorsque lim f =  ± et lim g =  ±  (indétermination/) .

Donner la limite dans ces situations s'appelle lever l'indétermination. Ce n'est pas toujours possible.
Typiquement, l'impossibilité de lever algébriquement l'indétermination intervient quand on travaille sur des fonctions transcendantes ou sur des fonctions mêlant fonctions transcendantes et fonctions algébriques. Ainsi, par exemple, la limite quand x tend vers zéro de (e²x - 1)/x aboutit-elle à l'indétermination 0/0. On peut alors tenter, de résoudre le problème de manière algébrique en réécrivant l'expression et en cherchant la limite quand x tend vers zéro de (e²x/x) - (1/x). Mais cela conduit à une autre forme indéterminée (-).
On verra plus bas, après avoir étudié la notion de dérivée d'une fonction, comment il peut être possible de sortir d'une telle impasse (règle de L'Hôpital). 
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Limites infinies et formes indéterminées

Infinitésimaux.
Le terme d'infinitésimal s'applique à toute quantité variable qui tend vers 0 (c'est-à-dire aussi petite que l'on veut, sans jamais être égale à 0). On appelle fonction infinitésimale au point x0 toute fonction  telle que

lim (x) = 0
x
On est dans une situation similaire lorsqu'on a (x) qui tend vers zéro quand x tend vers un infini :
lim (x) = 0
±
La fonction  peut être une fonction très banale  :par exemple la fonction sinus ou la fonction identique au point x=0, ou encore la fonction 1/x quand x tend vers l'infini, etc. 

On peut comparer les infinitésimaux entre eux. 

• Deux infinitésimaux, (x) et (x) sont dits comparables lorsque
lim (x) / (x) = A, et A est un nombre déterminé.
x0
C'est à cette possibilité de comparaison que renvoie la notion d'ordre d'un infinitésimal.
• Lorsque A = 0, (x) est d'ordre supérieur à (x).

• Lorsque A 0 (et A ±), (x) et (x) sont du même ordre.

• Lorsque A = ±(x) est d'ordre inférieur à (x).

• Lorsque A = 1, (x) et (x) sont équivalents.

Les infinitésimaux sont l'un des moyens utilisables pour lever les formes indéterminées de type 0/0.

Continuité d'une fonction.
Fonction continue en un point.
Une fonction réelle f d'une variable réelle est continue en x0 si et seulement si sa limite en x0 est la valeur de la fonction en ce point :

lim f(x) = f(x0)
x
Cela signifie que, dans le cas d'une fonction f continue en x0, les valeurs que prend cette fonction pour des points proches de x0 doivent aussi être proches de f(x0).

De la même façon que les limites d'une fonction en un point x0 peuvent être définies à droite (x > x0) ou à gauche (x < x0), il est possible aussi qu'une fonction ne soit continue qu'à droite ou à gauche.

• Continuité à droite,  si et seulement si lim f(x) = f(x0)
                                                                       x  x0+

• Continuité à gauche,  si et seulement si lim f(x) = f(x0)
                                                                         x  x0–

Fonction continue sur un intervalle.
Une fonction f est continue sur l'intervalle ouvert ]a, b[ si elle est continue en chaque point de cet intervalle.

Une fonction f est continue sur l'intervalle fermé [a, b] si elle est continue si :

1) f est continue sur l'intervalle ouvert ]a, b[;

2) lim f(a) = a et lim f(b) = f(b).

Continuité uniforme.
Une fonction f est dite uniformément continue sur l'intervalle I = [a, b] si sur cet intervalle:
> 0,  > 0 tel que pour tout couple x1, x2 d'éléments appartenant à I et vérifiant |x1---x2| < , on ait |f(x1) - f(x2)| < . Le nombre  associé à  ne dépend pas ici de x, alors que dans la définition de la continuité tout court il peut en dépendre.

La continuité uniforme implique la continuité tout court, mais la réciproque est fausse.

Prolongement par continuité.
On considère un intervalle I auquel appartient le réel a et la fonction f définie sur I-{a} (c'est-à-dire sur l'intervalle I auquel on a ôté le nombre a). Si f est continue sur cet intervalle et a une limite finie A en a, alors la fonction ƒ définie sur I et telle que, pour tout x de I-{a}, on ait ƒ(x) = f(x) et ƒ(a) = A, est continue en a et sur I. On appelle alors ƒ le prolongement par continuité de f en a.

Propriétés locales des fonctions continues.
On peut attacher aux fonctions continues les propriété suivantes : 

• La somme de deux fonctions continues est une fonction continue.

• Le produit de deux fonctions continues est une autre fonction continue.

• Le quotient de deux fonctions continues est une fonction continue en
tout point ou sur tout intervalle dans lequel le dénominateur ne s'annule pas.

• Si f est continue en a, f (a) = b et g est continue en b, alors la composée  gof (c'est-à-dire la fonction telle que g(f (x))) est continue en a.

• Théorème de Weierstrass. - Si f est continue sur un intervalle fermé [a, b], elle est bornée sur cet intervalle. De plus, si S est l'ensemble des valeurs f (x) pour x appartenant à [a, b], et M = sup S, il existe un point  appartenant à [a, b] tel que f () = M  et donc idem pour m = inf S). On dit alors qu'une fonction continue dans un intervalle compact (= fermé et borné) [a, b] y atteint un maximum et un minimum. 

Calcul différentiel

Différentielles et dérivées.

Approche géométrique.
On peut donner un sens géométrique aux notions de différentielle et de dérivée en considérant :

1) le graphe d'une fonction f, c'est-à-dire la courbe C d'équation y = f(x). On admet que f est continue dans le voisinage de x0, c'est-à-dire sur un intervalle V centré sur un point x0, tel que V = ]x0 , x0[,  étant un réel strictement positif. 

2) Deux points distincts de cette courbe  P et Q de coordonnées respectives (x0, f(x0)) et  (x, f(x)), où x0 et x appartiennent à l'intervalle V. Si l'on note h la différence de x et X0 (h =x-x0) les coordonnées de Q pourront aussi s'écrire : (x0+h, f(x0+h), où |h| < , et (puisque les points sont distincts) h0.

3) Une droite D est sécante de la courbe C au point P et au point Q de coordonnées (x = x0 + h, y = f(x0 + h)), avec h0. Sa pente m peut s'écrire-: m = [f(x0 + h) - f(x0)]/h.


Figure 2. - Sécante et tangente en un point 
d'une courbe représentative d'un fonction continue.

La question est maintenant de savoir ce que devient cette pente lorsque Q se rapproche autant que l'on veut de P, autrement dit quand x se rapproche aussi près que l'on veut de x0, ou encore lorsque h tend vers 0 (h 0). Dans notre exemple, il existe une réponse : la droite D tend à se confondre avec la tangente de la courbe C au point P. Et l'on peut exprimer cela de deux façons équivalentes : 

1) Au voisinage de x0, la droite D et la courbe C tendent à se confondre, autrement dit, si plus une portion de C au voisinage de  x0 est petite et plus elle s'approche d'une segment de droite  : la fonction f peut donc être approchée autant qu'on le souhaite par une fonction affine. Cela renvoie à la notion de différentiabilité.

2)  lorsque h tend vers zéro, la pente de D tend vers une limite finie, qui est aussi la pente de la tangente en x0. Cette condition renvoie à la notion de dérivabilité.

Dans le cas des fonctions réelles à une variable différentiabilité et dérivabilité coïncident : une fonction différentiable (en un point) est dérivable (en ce point) et réciproquement. Cette équivalence est utile pour choisir sous quel angle on résoudra tel ou tel problème : l'un sera plus simple à aborder en termes de différentielles, l'autre en termes de dérivées. 

Différentiabilité. Différentielle.
La fonction f est différentiable en x0 si les conditions suivantes sont remplies :

a) Il existe un intervalle V = ]x0 , x0[ (on dit : "un intervalle V centré sur x0 et de rayon ") inclus dans le domaine de définition D, b) il existe un réel m; c) il existe fonction  définie sur V, qui a la propriété de tendre vers zéro quand x tend vers x0 (autrement dit :  est un infinitésimal); tels que d) V, f(x) = f(x0) + m.(x-x0) + (x-x0).(x).
On peut alors définir les fonctions suivante :
•  La fonction affine tangente à f au point x0 est la fonction qui à tout x de D associe m.x + f(x0) - m.x0

•  La différentielle de f en x0 (ou fonction linéaire tangente à f au point x0) est la fonction qui à tout x de D associe mx, et que l'on note dfx0; m étant le coefficient de la différentielle f en x0.

Propriétés des fonctions différentiables.
On considère des réels k, x, x0, et deux fonctions réelles, f et g, définies sur un voisinage V de  x0 et différentiables en x0. On a alors :
• f + g est différentiable au point x0 et d(f+g)x0 = dfx0 + dgx0

• k.f est différentiable au point x0 et d(k.f)x0  = k.dfx0

• f.g est différentiable au point x0 et d(fg)x0 = f(x0).dgx0 + g(x0).dfx0

• Si g(x) 0 pour tout x appartenant à V, f/g est différentiable au point x0 et :
d(f/g)x0 = [g(x0)dfxx0 - f(x0)dgx0]/g²(x0)

• Si f est différentiable sur un voisinage V de x0 et g est différentiable sur un voisinage W de f(x0), (avec f(V)   W) alors la fonction composée g o f est différentiable au point x0 et on a : d(g o f)x0 = dg f(x0) o dfx0

Dérivabilité. Nombre dérivé en un point. Fonction dérivée.
Si la limite du rapport f(x) - f(x0) / x - x0, quand x tend vers x0, existe et est finie, on dit que f est dérivable en x0,
=   lim      [f(x) - f(x0)]/(x - x0)
           x  x
est appelé le nombre dérivé de f en x0. C'est le taux de variation de f en ce point, ou encore la pente de la tangente à la courbe représentative de f  au point de coordonnées  [x0, f(x0)].
Dire que "f est dérivable en x0 et de nombre dérivé " est équivalent à dire que " f est est différentiable en x0 et le coefficient de sa différentielle est ".
On appelle fonction dérivée de f (ou plus simplement dérivée de f) la fonction , ordinairement notée  f' (lire "f prime"), qui, à tout x appartenant à un intervalle I (non vide et inclus dans le domaine de définition de f) associe le nombre dérivé de f en x.
Toute fonction dérivable (différentiable) en un point est continue en ce point. Mais la réciproque est fausse.
Dérivation à droite et à gauche.
De la même façon que l'on a défini plus haut une limite à droite et une limite à gauche, on peut définir les notions de dérivabilité à droite et une dérivabilité à gauche :
 •  Une fonction f définie sur [x0, x0+r, avec r >0 [ (resp. sur ]x0-r, x0]) est dérivable à droite (resp. à gauche) si et seulement si la fonction qui associe à x la valeur f(x)-f(x0)/x-x0 a une limite finie à droite (resp. à gauche). 

•  Une fonction est dérivable seulement si elle a une dérivée à droite, une dérivée à gauche et que ces dérivées coincident en chaque point.

Les dérivées d'une fonction peuvent exister à droite et à gauche d'un point, mais être différentes :
Exemple : Considérons la fonction valeur absolue :  f(x) = |x|, qui est continue sur ; pour toutes les valeurs de x supérieures à 0 (tous les points à droite de zéro), la dérivée est f'(x) = 1, mais pour toutes les valeurs inférieures à 0 (tous les points à gauche de 0), elle est f'(x) = -1. Il n'y a donc pas une limite unique selon que l'on considère x  0+ et x  0-. Bien que f(x) soit continue en 0, qu'elle soit dérivable à droite de 0 et à gauche de 0, elle n'est pas dérivable en 0.
On peut aussi se trouver dans le cas où une fonction continue est dérivable en un point d'un côté et pas de l'autre. Et, bien sûr, certaines fonctions peuvent n'être dérivables ni à gauche ni à droite d'un point donné. Il existe même des fonctions continues sur tout leur domaine de définition (qui peut être  tout entier), mais qui ne sont dérivables nulle part. Karl Weierstrass s'était fait une spécialité de la recherche de telles fonctions : la première découverte, en 1872, porte le nom de fonction de Weierstrass-Hardy. Sa représentation graphique est typiquement ce que les mathématiciens appellent une fractale : lorsqu'on zoome sur un fragment de courbe (irrégulier dès le départ), le même motif irrégulier apparaît, même chose lorsqu'on zoome encore et encore... jusqu'à l'infiniment petit.

Dérivées successives.
Lorsqu'une fonction f est dérivable, sa dérivée peut être (ou ne pas être) elle-même dérivable. Si elle est dérivable, il sera possible de définir une dérivée de la dérivée, qui sera appelée la dérivée seconde de f (la dérivée tout court étant sa dérivée première). La dérivée de la dérivée seconde, si elle existe, s'appellera la dérivée troisième ou dérivée d'ordre 3, etc. Tant que la dérivabilité des dérivées successives sera assurée, on parlera de dérivées d'ordre n de f. On les écrira f(n). Si pour tout entier n strictement positif f est n fois dérivable, on dira que f est indéfiniment dérivable.

Notations de Lagrange, de Leibniz et de Newton.

• Notation de Lagrange. - C'est la notation, employée jusqu'ici pour les dérivées : elle utilise le signe ' (prime) ou, pour les dérivées d'ordre n, l'exposant entre parenthèses (n).

• Notation de Leibniz. - Avec cette notation, dite aussi notation différentielle de la dérivée, la dérivée d'une fonction f s'écrit df/dx . Si l'on pose y = f(x), on pourra aussi l'écrire dy/dx. 

La notation de Leibniz est souvent utilisée conjointement à celle de Lagrange. Exemples : 

On peut écrire : f'(x) = dfx/dx, ou de façon équivalente (rencontrée dans le formalisme du calcul intégral) :
dfx = f'(x).dx.
A partir de l'expression de la composée de deux fonctions différentiables f et g (avec les mêmes conditions que celle mentionnées plus haut), peut s'écrire : 
d(g o f)x /dx=  = g'(f(x)). f'(x)  = dg f(x) / dfx. dfx/dx
En posant y = f(x) et z = g(x), l'expression de la dérivée de g o f prend une forme intéressante : 
dz/dx = dz/dy.dy/dx
Ajoutons que, dans la notation de Leibniz, la dérivée seconde se note d²y/dx² et la dérivée nème : dny/dxn. Il s'agit là d'une convention d'écriture et non pas d'un vrai quotient comme dans le cas de la dérivée première. 

• Notation de Newton. - On rencontre aussi parfois en physique (principalement en dynamique) la notation de Newton, qui écrit la dérivée sous la forme d'une lettre surmontée d'un point- =  f'(x). La dérivée seconde se note en surmontant la lettre de deux points : . Selon ces conventions, la vitesse (dérivée de l'abscisse d'un mobile variant dans le temps) s'écrira  : v = , et l'accélération (dérivée de la vitesse par rapport au temps) : a = 

Fonctions de classe C1.
Pour mémoire, notons qu'on dit qu'une  fonction numérique f d'une variable réelle définie sur un intervalle donné est de classe C1 si elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée f' est continue sur cet intervalle. Cette propriété est une condition nécessaire à l'établissement de certains résultats du calcul intégral.

Extrémums absolus et relatifs. 
Le maximum absolu Ma (respectivement minimum absolu ma) d'une fonction sur son domaine de définition D, c'est-à-dire la valeur maximale (resp. minimale) prise par f(x) pour tout x appartenant à D, est telle que f(x) est toujours inférieur (resp. supérieur) ou égal à Ma et il existe un élément c de D tel que Ma = f(c). Les extrémums (ou extrema si vous parlez latin) relatifs (maximum relatif Mr et minimum relatif mr) répondent à une définition analogue, si ce n'est qu'ici on ne consière plus domaine de définition D dans sa totalité, mais un sous-ensemble de D. 

• [Ma (resp. ma) est un maximum (resp. minimum) absolu de f sur D]  [xD, f(x)  Ma (resp. f(x) ma) et D / Ma (resp. ma) = f(c)]

• [Mr (resp. mr) est un maximum (resp. minimum) relatif de f]  [xE(x1)D, f(x)  Mr (resp. f(x)  mr) et Mr (resp. mr) = f(x1)]

Bien sûr le sous-ensemble considéré peut être égal à D lui-même, si bien que les extrémums absolus ne sont, au final qu'un cas particulier des extrémums relatifs.

Une manière de considérer un extrémum consiste à examiner comment se comporte la fonction f (définie sur un intervalle [a, b]) dans le voisinage de cet extrémum : si elle est croissante à sa gauche et décroissante à sa droite, on a affaire à un maximum; si elle est décroissante à sa gauche et croissante à sa droite, on a affaire à un minimum. Dans les deux cas, l'extrémum définit le point pour lequel la fonction ne croît ni ne décroît, ce qui signifie que; si elle existe, sa dérivée y est nulle.

• [f(x0 [a, b] est un extrémum et f'(x0) existe]  f'(x0) = 0
Points d'inflexion.
Dans la représentation graphique d'une fonction, les extrémums correspondent aux points de rebroussement de la courbe. Lorsqu'on s'approche de ce point de rebroussement la pente de la courbe diminue pour finir par s'annuler complètement (c'est ce que signifie l'annulation de la dérivée).

Voyons maintenant ce qui se passe, sur la portion de la courbe reliant deux extrémums consécutifs. Lorsque x s'éloigne du premier extrémum, la pente, initialement nulle, de la courbe augmente, pour diminuer lorsque ensuite à l'approche du second extrémum. Dit autrement, la dérivée qui avait une valeur nulle atteint ensuite maximale (ou minimale) puis se rapproche de nouveau de zéro, pour l'atteindre arrivée à l'extrémum. Dans l'intervalle, la dérivée a donc aussi eu un extrémum, qui est défini par le point ou la dérivée de la dérivée est nulle, c'est-à-dire au point M0 où la dérivée seconde de la fonction f s'annule (f"(x0) = 0) et change de signe. On appelle M0, un point d'inflexion.

En termes plus mathématiques, on aura la définition suivante : Si f est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I de centre x0 et si la fonction dérivée seconde f" s'annule en x0 en changeant de signe, alors le point M0, de coordonnées (x0,f(x0)) est un point d'inflexion.

Dérivées partielles.
On n'a parlé jusqu'ici que de des dérivées des fonction réelles d'une variable réelle. Mais la notion de dérivée (comme celle de différentielle) peut aussi s'appliquer à des fonctions de plusieurs variables, telles, par exemple, que f : (x, y, z, ...)  u. On pourra alors définir autant de dérivées que de variables, appelées alors dérivées partielles. Chacune d'elle correspondant au taux de variation de la fonction quand un seul de ses arguments varie. 

Asymptotes.
Un asymptote est une droite dont se rapproche indéfiniment une courbe (autrement dit une droite tangente d'une courbe à l'infini).

Asymptotes.

• Asymptote oblique. - La droite d'équation y = ax+b est asymptote à la courbe de la fonction f(x) si la différence f(x) - y tend vers zéro quand x tend vers (plus ou moins) l'infini. 
• Asymptote horizontale. - Si, lorsque x tend vers (plus ou moins) l'infini, f(x) tend vers une valeur finie b, alors la droite d'équation  y = b est une asymptote horizontale de la courbe de f.

• Asymptote verticale. -  Si lorsque x tend vers une valeur c, f(x) tend vers (plus ou moins) l'infini, alors la droite d'équation  x = c est une asymptote verticale de la courbe de f.

Calcul des dérivées.
Règles générales.
Les règles à retenir (analogues à celles que l'on a dites à propos des différentielles),  sont les suivantes :
• Si h(x) = k.f(x) pour tout x, k étant une constante, alors h'(x) = k.f'(x).

• Si h(x) = f(x) + g(x) pour tout x, alors h'(x) = f'(x) + g'(x).

• Si h(x) = f(x).g(x) pour tout x, alors h'(x) = f'(x).g(x)+f(x).f'(x). [dérivée du produit] 

• Si h(x) = 1/f(x) et f(x)  0 pour tout x, alors h'(x) = -f'(x).(f(x))². [dérivée de la fonction réciproque]

• Si h(x) = f(x)/g(x) et g (x)  0 pour tout x, alors h' (x) = (f'(x).g(x)- f(x).g'(x))/(g(x))². [Dérivée du quotient]

• Si h(x) = (gof)(x) = g(f(x)) pour tout x; alors h' = g'(f(x)).f'(x).

Exemples de dérivées de fonctions usuelles.
Le tableau ci-dessous donne quelques exemples de fonctions dérivées de fonctions usuelles. Leur connaissance est utile pour le calcul de dérivées d'autres fonctions.

Dérivées de fonctions usuelles

Fonction
f(x)
Dérivée
f'(x)
c (constante)
x
cx
1/x
xc
ecx
In x
ax (a>0)
0
1
c
-1/x²
c xc-1
cecx
1/x
ax ln a
Fonction
f(x)
Dérivée
f'(x)
rac (x)
sin x 
cos x1
tan x1
cotan x1
arcsin x
arccos x 
arctg x
½. 1/rac (x)
cos x
-sin x1
1/cos² x1
cos² x1
1/rac(1-x²)
-1/rac(1-x²)
1/(1+x²)
Note : rac =  (racine carrée).

Théorèmes de Rolle, de Lagrange et de Cauchy.
Le théorème de Rolle, le théorème de Lagrange et le théorème de Cauchy concernent les fonctions continues et dérivables sur un intervalle compact, et jouent un rôle important dans la démonstration de nombreux théorèmes du calcul différentiel et intégral. Ces trois théorèmes ont à voir avec les valeurs intermédiaires que prend une fonction sur un intervalle. Le théorème de Rolle est un préalable au théorème de Lagrange; le théorème de Cauchy en est une extension.

Théorème de Rolle.
Le théorème de Rolle énonce que pour toute fonction f continue sur un intervalle fermé, l'égalité des deux bornes de cet intervalle implique l'existence d'au moins un point de l'intervalle pour lequel la dérivée de f s'annule :
-

a) La fonction f est continue sur l'intervalle [a, b] 
b) f est dérivable sur l'intervalle [a, b]
c) f(a) = f(b)
[a, b], tel que f'(c) = 0

Théorème de Lagrange ( = théorème de la valeur moyenne).
-Si f est une fonction est continue sur un intervalle fermé [a, b] et  est un nombre réel tel que  f (a) <  < f (b), il existe un point c de l'intervalle ]a, b[ dans tel que  f (c) = 
-

a) f est continue sur [a, b] 
b) f est dérivable sur ]a, b[
]a, b[, tel que f'(c) = [f(b)-f(a)]/(b-a)

Théorème de Cauchy.
Le théorème de Cauchy énonce que le quotient de diviseur non nul de l'accroissement de deux fonctions continues sur l, un intervalle fermé, et avec des dérivées uniques sur cet intervalle, non simultanément nulles ni infinies, est égal au quotient des valeurs de celles-ci en un point intermédiaire.
---

a) f est continue sur [a, b] 
b) f et g sont dérivables sur ]a, b[;
    f'(z)  0,  ]a, b[
]a, b[, tel que 
 g'(c)/f'(c) = [g(b)-g(a)]/[f(b)-f(a)]

Deux autres théorèmes.

• Théorème de Bolzano. - Si une fonction f est continue sur l'intervalle fermé [a, b] et prend des valeurs de signes opposés aux extrémités dudit intervalle, il existe au moins une valeur x appartenant à l'intervalle l'intervalle ]a, b[ et telle que que f(x) = 0.

• Théorème de Darboux. - Si une fonction f est continue sur l'intervalle fermé [a, b], et que que f (a) f (b), alors, elle prend toutes les valeurs y telles que f (a)  f (b).


Règle de L'Hôpital.
On a dit plus haut qu'il peut apparaître dans le calcul de limites des expressions dites formes indéterminées (des types -, 0/0, etc.). Dans certains cas, l'indétermination peut être levée par des manipulations algébriques (= par l'application de procédés ou d'opérations ordinaires de l'algèbre). Dans d'autres cas, de telles manipulations ne suffisent pas. On recours alors généralement à un théorème, appelé la règle de L'Hôpital (ou de (Johann) Bernoulli-L'Hôpital), qui, sous certaines conditions, permet de lever l'indétermination.

La règle de De l'Hôpital concerne en propre la levée des formes indéterminées 0/0 et /. Pour lever les autres formes indéterminées on devra  réécrire l'expression dont on cherche la limite de telle sorte ces deux formes apparaissent.
---

a) f et g sont dérivables  sur ]a, b[, 
     sauf, au plus, en c  [a, b]

b) g'(x) 0,  x ]a, b[, 
    où g est dérivable

c) lim f(x)/g(x) = 0/0 (ou ±*)
   c

d) lim f'(x)/g'(x) = L, L ou est remplacé par ±
   c

 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)
   c           x  c
*Avec un changement approprié du domaine de définition.

Remarques :

• La règle de L'Hôpital est aussi applicable si x, au lieu de de tendre vers une valeur finie c, tend vers ±, à condition que f et g soient dérivables sur ]k, + [ ou ]-, -k[, où k est un réel positif.

• La règle est encore applicable dans le cas où toutes les limites sont seulement à droite (ou à gauche). Dans ce cas c peut être égal à a ou à b.

• L'indétermination n'est pas toujours levée par une seule dérivation. Il convient alors de réitérer la règle de L'Hôpital, c'est-à-dire de dériver la fonction autant de fois que nécessaire pour lever l'indétermination.
Principes de l'étude d'une fonction numérique.
Etudier une fonction signifie en déterminer le maximum de propriétés. On doit, pour commencer en spécifier le domaine de définition. Il est utile ensuite de chercher à identifier les symétries (la fonctions est-elle paire ou impaire, périodique, etc.). cela permet de réduire l'étude à seulement un sous-ensemble du domaine de définition. On peut, à partir de là, commencer l'étude proprement dite : la fonction est-elle continue et sur quels intervalles? Si c'est le cas, quelles sont ses limites aux bornes des intervalles où elle est continue? On étude ensuite le sens de variation; l'outil principal ici étant une discussion sur le signe de la dérivée. L'ensemble des résultats obtenus à ce point peut se synthétiser sous la forme du tableau de variation de la fonction. D'autres éléments peuvent être ajoutés éventuellement à cette étude : l'étude des branches infinies et des asymptotes, la détermination des points remarquables tels que les points d'inflexion. On termine par la représentation graphique de la fonction.

Calcul intégral

Le calcul intégral a deux versants qui peuvent s'aborder au travers des notions d'intégrale définie et de primitive. 
• L'intégrale définie d'une fonction f n'est pas une fonction, mais un nombre associé à cette fonction sur un intervalle donné : ce nombre fait référence à l'effet total ou cumulé d'un processus de changement, à ce que l'on appellera ici, faute de meilleur terme, l' « accumulation» d'une certaine quantité (définie par f) dans ledit intervalle. 

• Les primitives d'une fonction, quant à elles sont des bien fonctions : elles se déterminent par une opération inverse à celle de la dérivation : on appelle primitive de la fonction f toute fonction dont la dérivée est f. 

Dans l'un et l'autre cas, l'opération par laquelle on obtient le résultat cherché s'appelle une intégration.

Par sa définition même, la notion de primitive fait le lien entre le calcul intégral et le calcul différentiel.  Le lien qui existe entre une primitive et une intégrale définie est plus difficile à appréhender. 

On peut comprendre intuitivement à quoi correspond le taux de variation d'une fonction f en un point. Lorsque quelque chose change selon une loi donnée par f, le calcul différentiel permet de déterminer à chaque instant, en dérivant f, l'ampleur du changement : il est donné par la loi f' (dérivée). Mais de quoi f mesure-t-elle la variation? La réponse est que le calcul intégral porte, lui, une idée d'accumulation : il sert à exprimer, en intégrant f, la loi F (primitive) selon laquelle s'accumulent ces changements. Une fois connue cette loi, il est possible de mesurer cette accumulation entre deux points donnés, ce qui correspond, donc, à ce qu'on appelle l'intégrale définie.

Une approche graphique de l'intégrale définie donnera une meilleure idée de ce dont on parle.

L'intégrale définie. 
Soit la courbe représentative d'une fonction f à une variable réelle considérée sur un intervalle [a, b]. (Dans cet exemple particulier, la fonction est supposée continue et à valeurs positives sur l'intervalle). La surface sous-tendue par cette courbe (en bleu) est l'ensemble des points (x, y) tels tel que x appartient à l'intervalle [a, b] et y appartient à l'intervalle [0, f(x)]. On appelle aire algébrique la mesure de cette surface. 

Figure 3. - Aire algébrique sous-tendue par la courbe y = f(x).
(y est dans cet exemple toujours positif. Mais, dans le cas d'autres fonctions,
des portions ou même la totalité de la courbe, pourraient aussi,
correspondre à des y=f(x)  négatifs : dans ces portions, on affecterait l'aire 
du signe moins (-), contrairement à ce que l'on ferait 
pour calculer une aire géométrique).

Notre propos maintenant est, en s'appuyant sur le graphique, de  déterminer la valeur I de cette aire à partir de la connaissance de f et de [a, b]. 

Détermination de l'aire sous-tendue.
Une valeur approchée de l'aire sous-tendue s'obtient en choisssant un point d'abscisse  entre a et b, pour ensuite calculer l'aire A sous-tendue par le segment de la droite d'équation y = f() entre a et b. Ce calcul est simple, puisqu'on a affaire à un rectangle-: A = f().(b-a), mais cette approximation de I est très grossière. 

On peut faire beaucoup mieux. Au lieu de considérer l'intervalle [a, b] dans sa totalité, on le subdivise en n sous-intervalles (ce qui revient à définir une subdivision D = (x0,... xn) de [a, b]), et l'on calcule l'aire sous-tendue pour chaque intervalle de la même façon que précédemment. Cela revient à définir une fonction en escalier  judicieusement «-calée» sur f, est-à-dire étagée sur la subdivision D, et dont la valeur sur tout intervalle ]xi-1, xi[ est i = (i) =  f(i), i, étant un réel quelconque de l'intervalle ]xi-1, xi[.  Une telle fonction en escalier est appelée fonction de Riemann relative à f

On pourra ensuite calculer l'aire sous-tendue par la courbe représentative de , qui est la somme des aires sous-tendues par chaque morceau de cette courbe. 
 
 


Figure 4 - Approximation de f (en bleu)
par une fonction en escalier (en vert).
Chaque subdivision de la fonction en escalier est identifiée
par un indice (un entier positif) i, compris entre 1  et n.

L'aire sous-tendue correspondant à la subdivision i (la marche de notre escalier en vert sur le graphique) est :

f(i).(xi-xi-1), soit i.(xi-xi-1
Et, en utilisant le symbole  (= somme),  la somme  I() des aires de chaque morceau peut alors s'exprimer comme suit : 
I() =
Le réel I() défini comme la somme de tous les produits i.(xi-xi-1), pour i variant de 1 à n, est aussi appelé intégrale de  sur [a, b], ou somme de Riemann relative à f, ou encore, intégrale au sens de Riemann de la fonction en escalier  sur [a, b].
Note : rien ne contraint la subdivision de l'intervalle [a, b], et, partant, rien n'oblige à choisir une même largeur pour chaque marche, c'est ce qui nous fait conserver l'indice i attaché à cacune d'elle. Mais rien n'interdit non plus de considérer ces marches comme égales. xi peut alors s'écrire x, ce qui, sans rien changer au fond, allègera la discussion à venir et, déjà, l'écriture. La formule précédente pourra alors s'écrire :
I(
A ce point, on ne dispose encore, avec I(), que d'une valeur approche de l'aire I sous-tendue par la courbe représentative de f :  I( I. Mais la solution est désormais à portée de main : elle tient en un passage à la limite.

L'intégrale définie. Définition et notation.
L'approximation de f par  est d'autant meilleure que le nombre de subdivisions n tend vers l'infini (n  +), autrement dit que la différence x  tend vers zéro. 

On définit alors I , comme la limite de la somme de Riemann relative à f (entre i=1 et n) quand  0 (quand  0, on convient de noter cette quantité dx) :

I , somme de a à b de f(t).dt, est l'intégrale (au sens de Riemann) de la fonction f sur l'intervalle [a, b]
--
Dans l'expression    a et b sont les limites d'intégration.

est l'intégrateur. (C'est l'opérateur associé à 
  l'intégration).

  f(t) est l'intégrande.

  dt est la différentielle de t et indique la variable
  par rapport à laquelle f est dérivée.

Note sur les variables muettes : dans l'expression ci-dessus la variable t (au même titre que x dans l'expression précédente) est appelée une variable muette. Elle est nécessaire à la cohérence de l'expression de l'intégrale, mais aucune valeur ne peut leur être assignée pour effectuer un calcul. La valeur de l'expression dépend des limites d'intégration et de la fonction, pas de t. 
Interprétation de l'intégrale définie.
On a utilisé plus haut le terme vague et général d'accumulation pour interpréter la signification d'une intégrale. C'est bien cette même signification qui est sous-jacente à la manière de définir une intégrale à partir d'une sommation, qu'elle soit symbolisée par  (cas de la sommation de quantités  discrètes) ou par  (cas de la sommation de quantités infinitésimales). Les intégrales portent ainsi toujours en elles cette même idée, qui peut se décliner de diverses manières. Voici quelques exemples- :
• Comment calculer une surface ou le volume d'une figure géométrique, c'est-à-dire d'une figure dont les contours peuvent être définis par une fonction? De le même façon qu'on a calculé l'aire sous-tendue par la courbe d'une fonction, le résultat cherché pourra être obtenu par une intégration. 
Il est à noter que, bien avant l'élaboration du calcul intégral, Archimède put calculer des aires de figures géométriques (par exemple l'aire sous-tendue par une parabole), avec une approximation aussi grande que voulue, en utilisant  un procédé (la méthode d'exhaustion, dont l'invention est attribuée à Eudoxe) qui consiste à faire la somme d'aires de figures faciles à calculer de plus en plus petites.
• La dépense d'un ménage  pour ses courses peut être modélisée par une fonction en escalier c(i) (chaque échelon correspondant à un acte d'achat). A la fin du mois, quelle somme totale aura été dépensée? La réponse sera donnée par le calcul d'une intégrale.

• Un véhicule se déplace à une certaine vitesse, fonction du temps v(t). A un instant donné, quelle distance L aura-t-il parcouru, combien de kilomètres aura-t-il accumulé? La réponse sera  aussi donnée par le calcul d'une intégrale.

• De l'eau se déverse dans un récipient selon un débit qui est fonction du temps r(t). A un instant donné, quel sera le volume V d'eau accumulée dans le récipient? Ici encore réponse sera donnée par le calcul d'une intégrale.

• L'énergie reçue du Soleil par un panneau solaire varie en fonction des saisons, de l'alternance du jour et de la nuit et de la couverture nuageuse. Au bout d'un an, combien d'énergie, susceptible d'être transformé en électricité, aura-t-il reçu? La réponse (qui en l'occurence n'aura qu'une valeur statistique à cause des aléas météorologiques), pointe une fois de plus vers un recours au calcul intégral.

• Une culture de bactéries se développe à un taux variable. Ici encore, le calcul intégral pourra être utilisé pour calculer la quantité de bactéries au bout d'une certaine durée.

Propriétés des intégrales.
On dit qu'une fonction f est intégrable au sens de Riemann sur un intervalle [a, b], si et seulement si il existe un unique réel If tel que quel que soit  > 0, il existe  tel que quelle que soit , une fonction de Riemann relative à f, de pas strictement inférieur à , la somme de Riemann correspondante diffère de If de moins de .
• Toute fonction continue ou monotone par intervalles sur [a, b] (cela concerne aussi les fonctions en escalier) sont intégrables au sens de Riemann sur [a, b].
Les fonctions (f, g, ...) intégrables au sens de Riemann sur un intervalle [a, b] possèdent les propriétés suivantes :

Somme de deux intégrales de fonctions.

Produit d'une intégrale par une constante réelle K.
Relation de Chasles.
., pour tout c  [a, b]
Certaines conventions de notation reposent sur cette propriété; ainsi, si on change les bornes d'intégration, le signe de l'intégrale change :
Lorsque les bornes d'intégration sont égales, l'intégrale est égale à 0 :
Comparaisons d'intégrales. Monotonie.
Si f(x)  g(x), alors : 
Si f(x)  g(x), alors : 

Si f(x)  g(x), alors : 

Théorème de la moyenne.
Si f est continue sur l'intervalle, alors  [a,b] tel que :
,

soit : 

Primitives et intégrales indéfinies.
Avec une intégrale définie, on s'intéresse à un nombre, qui dans notre exemple, est l'aire d'une surface sous-tendue par la courbe d'une fonction entre deux constantes, a et b. Elle fournit ainsi une image statique de l'idée d'accumulation. Mais l''idée d'accumulation peut s'aborder aussi d'une manière plus dynamique en faisant varier une des bornes de l'intégrale définie : disons que la constante b est maintenant remplacée par la variable x, et que l'on fait varier celle-ci à partir de x = a. Il apparaît alors que l'aire sous-tendue varie aussi. 

En susbstituant la variable x à la constante b, on  changé la nature de l'intégrale de la fonction f considérée. Celle-ci n'est plus une intégrale définie, un nombre I dont la valeur dépend de deux constantes a et b. C'est devenu une fonction intégrale indéfinie, autrement dit une fonction F dont la valeur dépend de la variable x.

Si f est une fonction réelle intégrable sur [a, b], la fonction F : [a, b]  définie par :

reçoit le nom de fonction intégrale indéfinie ou fonction intégrale de f correspondant au point a.

La fonction intégrale indéfinie s'obtient à partir de l'intégrale définie en rendant la limite supérieure de l'intégrale x variable, tout en conservant la limite inférieure fixe.

Notez bien ici que x est la seule variable sur laquelle agisse la fonction; comme on l'a remarqué plus haut, t est une variable muette... et n'a donc pas son mot à dire en l'occurence.
On va montrer f est la dérivée de F. Il suffit pour cela de dériver F, ou plus précisément de chercher la valeur F'(x0) de la dérivée de F en x0. En revenant à la définition de la dérivée, on pourra écrire pour F' : 
 d'où :

Le premier et le troisième terme de la somme s'annulent et le théorème de la valeur moyenne assure de l'existence d'un nombre c dans l'intervalle [x0, x0+h] si h >0 (ou [x0+h, x0] si h <0] ) tel que :
 

(La démonstration ci-dessus ne vaut en réalité que pour x0 appartenant à l'intervalle ]a, b[, mais, pour x0 = a ou x0 = b, il suffira de considérer respectivement les limites quand  h0- ou quand h0+).

La dérivée de F est bien f comme attendu. On dit que F est une primitive de f :

• Soit une fonction f : [a, b]  , on donne le nom de primitive de f à toute fonction F : [a, b]  dérivable sur l'intervalle [a, b] et dont la dérivée est f dans ce même intervalle. Autrement dit : F'(x) = f (x),  [a, b] .
Toutes les fonctions n'ont pas de primitives; seules les fonctions intégrables en possèdent.

On remarquera encore que si F(x) est une primitive d'une fonction f (x), alors la différentielle dF est donnée par dF = F'(x).dx = f(x).dx. Ce qui permet d'écrire :

On retrouve ici l'idée énoncée plus haut à partir d'une intuition graphique que l'intégrale (symbolisée par )  correspond bien à une sommation d'un continuum de quantités infinitésimales. 

Théorème fondamental de l'analyse.
Le paragraphe précédent atteste de l'existence d'un lien entre différenciation et intégration. Reste à voir comment exploiter ce lien pour calculer des intégrales. Cela se fait à partir des méthodes fournies par le théorème fondamental du calcul intégral. Avant de l'énoncer, il convient de mettre en exergue plusieurs propriétés des primitives et des fonctions intégrales définies.

Les primitives d'une fonction remplissent  les conditions suivantes:

• Si F est une primitive de f dans [a, b], alors elle admet comme primitives les fonctions G(x) = F(x) + C, où C est une valeur réelle quelconque. (Cela vient de ce que la dérivée d'une fonction constante est nulle).

• Si une fonction a une primitive alors elle admet une infinité de primitives. (C'est la conséquence directe de la proposition précédente, puis C peut prendre une infinité de valeurs).

• Si F et G sont des primitives de la même fonction f sur [a, b], alors il existe une constante C telle que F(x) - G(x) = C,  [a, b].

• L'ensemble de toutes les primitives de f est appelé l'intégrale indéfinie de f et est noté  f (x).dx. Soit :

.f(x).dx = F(x) + C.
Récapitulatif du vocabulaire : l'intégrale définie est un nombre; la fonction intégrale indéfinie est une fonction considérée en tant que primitive d'une fonction donnée; l'intégrale définie est une classe ou un ensemble de fonctions (toutes les primitives d'une fonction données, qui ne diffèrent entre elles que par une constante).
Les fonctions intégrales indéfinies, quant à elles, ont des propriétés importantes qui dépendent de la fonction à intégrer :
• Si f est intégrable sur un intervalle compact, alors F est continue sur cet intervalle.

• Si f est continue sur [a, b], alors F est dérivable sur [a, b] et sa dérivée est F'(x) = f (x),  [a, b].

Ce dernier énoncé constitue le premier théorème fondamental de l'analyse (ou premier théorème fondamental du calcul intégral). 

Notez que quelle que soit la valeur prise par a, on aura :

De plus, lorsque f est continue (une condition requise par le théorème fondamental du calcul intégral), les concepts de primitive et de fonction intégrale indéfinie coïncident, bien qu'ils aient été définis différemment.
• Si f est continue, elle admet des primitives mais si elle cesse d'être continue à un moment donné de l'intervalle, même si elle continue d'être intégrable (et admet donc une intégrale indéfinie), elle peut ne pas admettre de primitives.
Une conséquence immédiate du premier théorème fondamental du calcul est qu'il nous fournit une méthode pratique pour calculer des intégrales, c'est-à-dire pour trouver des primitives. Voyons un corollaire pour lequel l'existence des primitives est supposée connue :
• Règle de Barrow. Si f : [a, b]  est continue sur l'intervalle de définition et si G : [a, b]  est une primitive de f sur ledit intervalle, alors on vérifie que :
Remarque : la différence G(b) - G(a) est ordinairement notée : 
Sous certaines conditions, la règle de Barrow continue à être valable même si f n'est pas continue. On peut alors dire que :
Si une fonction f est intégrable sur l'intervalle [a, b] :  et si G est une primitive de f sur [a, b], alors on a :
• Ainsi conditionnée, cette dernière expression correspond au deuxième théorème fondamental du calcul intégral ou théorème fondamental du calcul intégral (ou de l'analyse) proprement dit.
Méthodes d'intégration.
Le calcul intégral est en règle générale beaucoup plus difficile que le calcul différentiel et le calcul d'une primitive peut être très laborieux. On donnera plus loin quelques méthodes permettant de se tirer d'embarras dans de nombreuses siuations, mais il est déjà possible de déduire plusieurs résultats des propriétés déjà établies par le calcul différentiel entre les fonctions et leurs dérivées et, partan,t entre les fonctions et leurs primitives quand elles existent.

Opérations sur les primitives.
On considère dans ce qui suit deux fonctions f et g définies sur un même intervalle J de, dérivables sur J (avec pour dérivées f' et g'), un réel  et un rationnel r-1. On peut déduire des règles générales énoncées plus haut pour les dérivées, les règles suivantes pour les primitives :

1°) f+g  primitive sur J de f'+g'

2°) f primitive sur J de f'

3°) fg primitive de f'g+fg'

4°)  f/g primitive sur J de (f'g-fg')/g² (si 1/g définie sur J).

5°) (fr+1)/(r+1) est une primitive sur J de f'fr (si fr est définie sur J).

La première règle permet de comprendre que si une fonction possède une primitive alors elle en possède une infinité. Pour le démontrer, il suffit de remarquer qu'une fonction constante C(x) = k a pour dérivée C'(x) = 0,  si bien que si F est la primitive de f, alors toutes les fonctions de type F+C ont aussi pour dérivée f et donc, corrélativement, si f a pour primitive F elle a aussi pour primitives toutes les fonctions F+C.  La valeur k prend le nom de constante d'intégration.
Primitives de fonctions usuelles.
Les fonctions dont on peut donner une primitive sans presque aucun calcul sont celles que l'on connaît déjà en tant que dérivées. Il suffit donc de reprendre un tableau de dérivées usuelles, comme celui donné plus haut par exemple, et d'en changer les en-têtes pour disposer à peu de frais de quelques primitives  :

Primitives de fonctions usuelles

Primitive
F(x)
Fonction
f(x)
k (constante)
x
cx
xc
(1/c+1)xc+1
ecx
In x
ax(a>0)
0
1
c
cxc-1
xc
cecx
1/x
ax ln a
Primitive
F(x)
Fonction
f(x)
sin x
1/a sin (ax+b)
cos x1
tan x1
cotan x1
arcsin x
arccos x
arctg x
cos x
cos (ax+b)
-sin x1
1/cos² x1
cos² x1
1/rac(1-x²)
-1/rac(1-x²)
1/(1+x²)

Cela semble un résultat excessivement modeste, mais il peut être très utile si l'on parvient, par une manipulation algébrique, à ramener (en partie ou en totalité) l'expression de la fonction dont cherche une primitive à une combinaison de termes ayant une primitive déjà connue. On a donc intérêt, quand on aborde le calcul intégral, à connaître par coeur un maximum de dérivées de fonctions usuelles.

Il existe de nombreuses méthodes d'intégration qui permettent d'aller plus loin. Certaines concernent certains types de fonctions (trigonométriques, exponentielles, polynomiales, etc.), d'autres, comme les deux qui suivent, sont plus générales. Avec un de la pratique, lorsqu'elles sont applicables, elles peuvent simplifier considérablement le travail d'intégration. 

Intégration par substitution.
Soient f, une fonction intégrable sur l'intervalle [a, b], et g, une fonction dérivable et de dérivée continue sur l'intervalle [], avec  = g-1 (a),  = g-1 (b) et g([]) = [a, b]. On peut écrire alors, dans le cas de l'intégrale définie :

Si l'on s'en tient à considérer l'intégrale indéfinie, cela devient :
A première vue, il semblerait qu'on n'a fait qu'ajouter des complications à quelque chose qui d'emblée n'était déjà pas très simple. En réalité, cette formule permet de se tirer d'embarras dans de nombreuses situations.
Exemple (cas d'une ntégrale indéfinie) : On cherche à intégrer :
.(sin x)5.cos x.dx
1) On pose sin x = t, dont il suit que cos x.dx = dt

2) Avec ce changement de variable, l'intégrale devient : t5.dt, qui est facile à intégrer (voir le tableau des primitives usuelles).

3) Au final :(sin x)5.cos x.dx = t5.dt = u6/6 + C

On constate dans cet exemple (mais c'est très général) que dans une intégration par substitution, la principale difficulté réside dans le choix judicieux qui doit être fait pour le changement de variables.

Exemple (cas d'une intégrale définie). - On cherche à intégrer :

1) On remarque que 2x est la dérivée de x²+1. On a donc avantage à poser- : t = x²+1, dont il suit que dt=2x.dx.

2) Avec ce changement de variable, les limites deviennent : 1 et 10, et la question posée revient à intégrer : 

., soit : 
3) On déduit du tableau des primitives usuelles, que la fonction F : t 2/3.t3/2  est une primitive de la fonction f : t t1/2 .

4) Le théorème fondamental du calcul intégral conduit alors à écrire :

.
Intégration par parties.
L'intégration par parties repose sur la règle de dérivation d'un produit de fonctions. 

Soient f et g deux fonctions continues possédant des dérivées continues sur l'intervalle [a, b]. Le produit f.g est une primitive de (f.g)'. On a vu plus haut que : (f.g)' = f.g'+f'.g. Le poroduit f.g est donc une primitive de f.g'+f'g. Cela est vrai aussi pour tout intervalle [a, x] inclus dans [a,b]. Il est alors possible d'écrire, pour tout x appartenant à [a, b] :

Autrement dit :
Lorsque x=b , la relation exprime la valeur de l'intégrale définie :
On parle d'intégration par parties, lorsque on applique cette relation pour calculer une primitive de f.g', au lieu de calculer une primitive de f'.g. On peut chercher à utiliser cette méthode chaque fois que l'on a à faire au produit de deux fonctions et que le résultat n'est pas trivial; son l'intérêt apparaît plus clairement quand les primitives de f.g' sont plus faciles à trouver que celles de f'.g. 
Exemple : On cherche à intégrer x.sin x dx
1) On pose : f(x) = x et dg(x) = sin x.dx (soit g'(x) = sin x).

2) D'où (d'après les tableaux donnés précédemment) : f'(x) = 1 et g (x) = -cos x.

3) Il suffit d'appliquer la formule de l'intégration par parties pour obtenir :

Il est possible qu'une seule intégration par parties ne permette pas de résoudre le problème posé, et qu'il faille réitérer le calcul sur la partie restant exprimée  sous la forme d'une intégrale.
Exemple : On cherche à intégrer x².ex.dx.
1) On pose : f(x)=x² et dg(x) = ex.dx.

2) D'où : df(x)=2x.dx et g(x) = ex.

3) Et donc, en appliquant la formule de l'intégration, par parties :

===x².ex.dx = x².ex - 2.x.ex.dx.
4) D'où f1 = x1 et df1 = dx; dg1= ex.dx, g1 = ex.

5) L'intégration par parties donne :

.x.ex.dx = x.ex -ex.dx = x.ex - ex + C
6) Au final : 
.x².ex.dx=x².ex-2(x.ex -ex)+C=x².ex-2x.ex+2ex+C 
   soit, en factorisant : 
.x².ex.dx = ex. (x²-2x+2) + C.
Les deux exemples précédents concernaint seulement des intégrales indéfinies. Lorsqu'on a affaire à une intégrale définie, une bonne stratégie consiste a d'abord évaluer l'intégrale indéfinie et seulement ensuite à évaluer les limites.

Généralisation de la notion d'intégrale.
Intégrales au sens de Riemann.
Dans cette page on ne traite que de l'intégrale au sens de Riemann. Comme on l'a vu plus haut il s'agit de l'intégrale d'une fonction bornée et définie sur un intervalle fermé et adossée à la définition d'une unique fonction escalier dont elle est la limite. 

Intégrales au sens de Stieltjes.
Un autre type d'intégrale est définie à partir de deux fonctions f et g définies sur un intervalle fermé comme dans le cas de l'intégrale de Riemann. Mais ici l'intégrale est construite à partir de la somme :  f(i).[g(xi)-g(xi-1)]. Si lorsque les sous-intervalles tendent vers zéro la limite existe (indépendamment du choix des points xi et i), alors cette limite est appelée intégrale au sens de Stieltjes (ou intégrale au sens de Riemann-Stieltjes). L'intégrale de Riemann correspondant au cas ou g(x) = x.

Intégrales impropres.
Lorsqu'on a des intégrales avec des limites d'intégration infinies ou des intégrales avec des intégrants non bornés, on parle d'intégrales impropres. 

Intégrales au sens de Lebesgue.
Mentionnons encore pour mémoire l'intégrale au sens de Lebesgue, dont la notion  relève de l'étude générale de l'analyse fonctionnelle. Elle est plus difficile d'accès et fait appel aux notions de la théorie de la mesure. Le domaine d'intégration implique des sous-ensembles de n partitionnés en sous-ensembles mesurables.

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Dictionnaire Idées et méthodes
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