.
-

La pensée et ses outils > Philosophie > Logique et théorie de la connaissance > Mathématiques
Mathématiques
Ensembles et relations
La théorie des ensembles
On nomme ensemble toute collection, r√©union ou classe d'objets. Ces objets sont appel√©s √©l√©ments. Les notions d'ensemble et d'√©l√©ment ne peuvent pas recevoir de v√©ritable d√©finition. Mais des correspondances qui permettent de les caract√©riser peuvent √™tre √©tablies entre ensembles, entre √©l√©ments, et entre √©l√©ments et ensembles. Selon les objets concern√©s et les caract√®res des correspondances, on parlera pour les d√©signer de relations, d'applications ou de lois de composition. Toutes les math√©matiques pourraient ainsi √™tre d√©finies comme l'√©tude  des ensembles des √©l√©ments et de leurs relations.

Ainsi d√©finit-on  entre les √©l√©ments et l'ensemble la relation d'appartenance. De m√™me entre les ensembles d√©finit-on une relation d'inclusion. On peut aussi d√©finir la r√©union de deux ensembles qui correspond √† l'ensemble dont les √©l√©ments appartiennent √† l'un ou √† l'autre des des ensembles r√©unis, et l'intersection de deux ensembles qui est l'ensemble compos√© des √©l√©ments appartenant √† la fois √† l'un et √† l'autre ensemble. 

La th√©orie des ensembles initi√©e par Georg Cantor (1845-1918) d√®s les ann√©es 1870 a √©t√© reformul√©e et axiomatis√©e ensuite de diverses fa√ßons, √† partir du d√©but du XXe si√®cle, par des math√©maticiens tels qu'Ernst Zermelo (1871-1953), Abraham Fraenkel (1891-1965), Thoralf Skolem  (1887-1963) et d'autres (Histoire des math√©matiques). C'est une th√©orie qui questionne les fondements des math√©matiques et, √† ce titre,  se h√©risse de grandes difficult√©s dans lesquelles on ne saurait entrer ici. On se contentera donc seulement dans cette page d'initiation d'introduire, sans chercher la rigueur qu'un expos√© math√©matique m√™me √©l√©mentaire aurait exig√©, le vocabulaire produit par cette th√©orie. C'est aujourd'hui le vocabulaire de base de toutes les math√©matiques. Il est m√™me utilis√© bien-del√† des math√©matiques, chaque fois qu'il convient de formaliser un concept.

Ensembles et éléments

On convient de repr√©senter les ensembles par des lettres majuscules : A, B, C, D, E, etc., et les √©l√©ments des ensembles sont repr√©sent√©s par des lettres minuscules : a, b, c, d, e, etc. 

Connecteurs logiques, quantificateurs.
La théorie des ensembles utilise par ailleurs un certain nombre de notions et de signes venus de la logique symbolique :

‚ÄĘ On utilise le signe = entre deux ensembles A et B lorsque tout ce qui peut √™tre dit de A peut √™tre dit de B (et donc que tout ce qui peut √™tre dit de B peut √™tre dit de A). A = B signifie que deux ensembles sont √©gaux, c'est-√†-dire identiques. Le m√™me signe = s'utilise pour signifier l'√©galit√© de deux √©l√©ments. Pour signifier qu'il n'y a pas d'√©galit√© on utilise le signe  (A  B se lit "A est diff√©rent de B"). Mais le signe √©gal a aussi d'autres utilisations : il sert √† d√©finir un ensemble, a exprimer sa notation, etc.
‚ÄĘ Un √©nonc√© dont on peut dire s'il est vrai ou faux est appel√© une proposition (notons-l√† P). Quand une proposition est vraie, on pourra dire que la condition qu'elle √©nonce est satisfaite ou remplie.

‚ÄĘ Lorsque le fait qu'une proposition P soit vraie entra√ģne que la proposition Q est √©galement vraie on √©crit P' Q ("P implique Q"). Si, de plus Q''P, on pourra √©crire Q  ("P est √©quivalent √† Q).

‚ÄĘ La barre verticale  |  (ou oblique /) signifie "tel que", et fait le lien entre deux termes, le premier √©tant un √©l√©ment, le second une condition statisfaite. Ainsi lorsqu'on √©crit : x | P (ou x / P), on signifie que l'√©l√©ment "x est tel que la proposition P est vraie", que "x est est tel que la condition P est remplie", ou m√™me encore que "x poss√®de la propri√©t√© P". 

‚ÄĘ Le quantificateur universel  se lit "pour tout ", "quel que soit", et  s'applique √† un terme ( x) ou √† une s√©rie de termes  ( x, y, z, etc.). On utilise les deux points " : " pour associer une propri√©t√© au terme ainsi quantifi√©. Par exemple, " x : x = y" se lira "pour tout x on a x √©gal √† x".

‚ÄĘ Le quantificateur universel  se lit "il existe". Pour dire "il n'existe pas", "aucun", on √©crira" ~" ou . L'√©criture ! signifie quant √† elle : "il existe un et un seul".

Définition par extension et par compréhension.
Un ensemble peut √™tre d√©fini de plusieurs fa√ßons selon qu'on en √©num√®re tous les √©l√©ments, ou  qu'on √©nonce une propri√©t√© commune et univoque de tous ses √©l√©ments. 
‚ÄĘ D√©finition d'un ensemble en extension. - Lorsqu'un ensemble est d√©termin√© en en donnant le liste des √©l√©ments qui le composent, on dit qu'il est d√©fini en extension. Dans ce cas, on √©crit les √©l√©ments de la liste entre accolades {}, chaque √©l√©ment √©tant s√©par√© par une virgule. Ainsi, l'ensemble E = {a, b, c, d, e, f} est-il donn√© en extension. L'ordre dans lequel sont list√©s les √©l√©ments est sans importance : {a, b, c} = {c, a, b}. (Notez au passage les significations diff√©rentes que nous faisons dans ces deux exemples du signe =, dans le premier, il est seulement une abr√©viation qui signifie  "est le nom de l'ensemble", dans le second cas, il s'agit du symbole logique qui marque l'√©galit√© ou l'identit√© entre deux termes).

‚ÄĘ D√©finition d'un ensemble en compr√©hension. - Lorqu'un ensemble est d√©termin√© au moyen d'une propri√©t√© caract√©ristique ou d'une condition, qui est commune √† tous les √©l√©ments de l'ensemble, on dit qu'il est d√©fini en compr√©hension. Par exemple l'ensemble F est donn√© en compr√©hension  lorsqu'on √©crit : F = {x / x est impair }. Ce que l'on peut lire : "F est (le nom de) l'ensemble des nombres  x,  tels que x un nombre impair".

On dit qu'un ensemble est bien défini lorsque l'on peut en identifier tous les éléments. C'est-à-dire que, pour un objet donné, il est toujours possible de dire s'il est ou s'il n'est pas un élément de l'ensemble.

Représentation graphique des ensembles.
Les diagrammes de Venn offrent une mani√®re commode de repr√©senter les ensembles et leurs √©l√©ments. Dans un diagramme de Venn (1834-1923) une ensemble est repr√©sent√© par une courbe ferm√©e; ses √©l√©ments y sont figur√©s par des points plac√©s √† l'int√©rieur de l'espace circonscrit par cette courbe. 
-

Diagramme de Venn.
Diagramme de Venn
de l'ensemble E = {a, b, c}.

On rencontre aussi une représentation graphique des ensembles très similaire à celle de Venn, c'est celle d'Euler. On en a donné un exemple plus bas avec le schéma représentant une partition. Dans ce diagramme d'Euler les deux courbes fermées représentant des ensembles distincts sont disjointes; dans un un diagramme de Venn, les deux courbes fermées se seraient entrecoupées, et leur intersection aurait correspondu à l'ensemble vide. Pour éviter d'avoir à choisir entre l'une ou l'autre de ces représentations, on parle souvent diagrammes de Venn-Euler.

Quoi qu'il en soit, de tels diagrammes, comme toute figure en général que l'on peut rencontrer dans un exposé mathématiques sont des outils pour "voir les choses", pour comprendre intuitivement une situation, mais on ne peut en aucune façon en faire des outils de démonstration.

Ensembles vide, unitaire, fini, infini
Ensemble vide.
Parmi tous les ensembles, on peut en d√©finir un qui ne contient aucun √©l√©ment : c'est l'ensemble vide. Il est not√© :  ou {-}. Notez que {  } n'est pas l'ensemble vide : c'est l'ensemble qui contient l'ensemble vide; il contient donc un √©l√©ment. 

Singleton.
Un ensemble qui ne contient qu'un seul élément est qualifié d'ensemble unitaire ou, plus couramment de singleton. Par exemple {-x-} est le singleton dont l'élément est x.

Ensemble fini. Ensemble infini.
Un ensemble fini est un ensemble dont on peut compter les √©l√©ments, et dont on peut donc, en principe, donner la liste compl√®te, c'est-√†-dire un ensemble qui peut √™tre d√©fini en extension. 

Un ensemble infini est un ensemble pour lequel ce comptage n'est pas possible. Il peut arriver, cependant, dans certains cas, qu'à chaque élément d'un ensemble infini il soit possible d'attacher une nombre entier (un peu comme une étiquette). On dit alors que cet ensemble dénombrable. Un ensemble infini dénombrable est un ensemble dont tout élément x peut, par exemple, être doté d'un indice : x1, x2, x3, etc. Tous les ensembles fini sont dénombrables.

Appartenance et d'inclusion.
Eléments, appartenance.
La premi√®re des correspondances qui peut √™tre √©tablie entre un √©l√©ment e et un ensemble E est son appartenance ou non √† cet ensemble. L'appartenance est not√©e ; ainsi, E signifie-t-il que "l'√©l√©ment e appartient √† l'ensemble E". Pour signifier que e n'appartient pas √† E on √©crira e  E. 

Du fait m√™me des postulats de la th√©orie des ensembles, tout  √©l√©ment appartient √† un ensemble :  x : x  {x}.

La relation d'appartenance n'autorise pas non plus la mise en correspondance de deux ensembles : un ensemble ne peut pas appartenir √† un autre ensemble (et, a fortiori, un ensemble ne peut pas √™tre un √©l√©ment de lui-m√™me). Ainsi, par exemple, ne pourra-t-on pas √©crire E  F; en revanche si F = {E}, autrement dit si F est l'ensemble dont E est l'√©l√©ment, on pourra avoir E  {E}.

Sous-ensembles, inclusion.
Lorsque tous les √©l√©ments d'un ensemble F appartiennent aussi √† une ensemble E, on dit que "l'ensemble F est inclus dans l'ensemble E" ou que "F est un sous-ensemble (ou une partie) de E", et l'on √©crit : F  E.
-
Diagramme de Venn : inclusion d'ensembles.
Inclusion
-
Si l'on veut √™tre plus pr√©cis, on est conduit √† distinguer le cas de l'inclusion stricte (symbole ), o√Ļ tous les √©l√©ments de E appartiennent √† F, mais sans que tous les √©l√©ments de F appartiennent √† E (le cas, donc, o√Ļ E est diff√©rent de F) et le cas de l'inclusion au sens large (symbole ) qui correspond √† la situation o√Ļ E  F ou E = F. Dans la pratique on ne fait pas cette distinction et on utilise seulement le symbole  en l'entendant comme symbole de l'inclusion au sens large.
Axiome d'extension : dans la th√©orie des ensembles, on appelle ainsi l'√©nonc√© suivant : "deux ensembles E et F sont √©gaux si et seulement si ils poss√®dent les m√™mes √©l√©ments". On peut aussi dire " L'ensemble E est √©gal √† l'ensemble F si et seulement si E est inclus dans F et F est inclus dans E", et de fa√ßon plus formelle :  E = F  [E F et F E].
Les sous-ensembles (ou parties) d'un ensemble E sont des ensembles. Mais il peut √™tre utile de les consid√©rer aussi comme des √©l√©ments d'un ensemble. Cet ensemble - l'ensemble des parties de E donc - est not√© (E). Il a en particulier pour √©l√©ments E lui-m√™me et l'ensemble vide. Et on peut montrer que si E poss√®de a √©l√©ments (E) en poss√®de 2¬™. (Cette remarque conduit √† une autre convention d'√©criture pour l'ensemble des parties de E : (E) = 2E, qui est aussi appel√© l'ensemble puissance de E).

Un ensemble de parties (ou de sous-ensembles) de E est aussi appelé une famille de parties (ou de sous-ensembles) de E.

La relation d'inclusion n'autorise pas la mise en correspondance d'un √©l√©ment avec un ensemble (un √©l√©ment ne peut pas √™tre inclus dans un ensemble). Ainsi, par exemple, ne pourra-t-on pas √©crire e  E; en revanche si F = {e}, autrement dit si F est l'ensemble dont e est l'√©l√©ment, on pourra √©ventuellement avoir F  E, soit  {e}  E.

La théorie des ensembles ne permet pas de parler en un sens absolu de l'ensemble de tous les ensembles sans s'exposer à un paradoxe. Mais il peut être nécessaire de recourir à la notion d'ensemble de tous les ensembles sur lesquels on travaille : on désigne alors cet ensemble sous le nom d'ensemble universel, d'univers, ou de référentiel.

Intersection, réunion.
Intersection de deux ensembles.
Il peut arriver que deux ensembles E et F poss√®dent certains de leurs √©l√©ments en commun. L'ensemble G constitu√© de ces √©l√©ments est appel√© l'intersection de E et de F : on notera G = E  F, et on lira "G √©gale E inter F". 
-

Intersection G des ensembles E et F.
E = {a, b, c}, F = {b, c, d, e}
G = {b, c}.
L'ensemble G est inclus dans l'ensemble E (c'est un sous-enesmble de E) et il est inclus dans l'ensemble F(c'est un sous-ensemble de F) : G  E et G F.

Si les deux ensembles E et F n'aucun √©l√©ment en commun, on dit qu'ils sont disjoints. Leur intersection est √©gale √† l'ensemble vide :  F = .

Réunion de deux ensembles.
Il arrive aussi que l'on ait √† consid√©rer la totalit√© des √©l√©ments qui appartienent √† un ensemble E ou √† un ensemble F. Dans ce cas, on d√©finira l'ensemble G qui contient tous ces √©l√©ments comme la r√©union de E et de F : on √©crira G = E  F, et on lira "G √©gale E union F".
-

Réunion G des ensembles E et F.
G = {a, b, c, d, e}.
Les ensembles E et F sont tous les deux inclus dans G  (ce sont deux sous-ensembles de G) :  E  G et F  G.

Deux ensembles E et F sont √©gaux (E = F) si et seulement si on a √† la fois E  F et F  E. Dans le cas contraire ils sont distincts  (E  F).

Recouvrement et partition.
Lorsque la réunion F de sous-ensembles non vides d'un ensemble E contient un sous-ensemble A, on dit que F est un recouvrement de A.

Lorsque plusieurs sous-ensembles non vides d'un ensemble E sont tous disjoints deux à deux et que leur réunion est égale à E, on dit qu'ils forment une partition de E.
 

Recouvrement. - F et G recouvrent l'ensemble A car tous les éléments de A appartiennent à la réunion de F et G.
Partition. - F et G forment une partition de E, car leur intersection est vide et leur r√©union est √©gale √† E. 
Une partition est donc un cas particulier de recouvrement, dans lequel les sous-ensembles consid√©r√©s sont disjoints et o√Ļ l'ensemble recouvert est E lui-m√™me.
Différence. Complémentarité.
Différence et différence symétrique de deux ensembles.
On d√©fini la diff√©rence de deux ensembles F et G quelconques, not√©e F \ G comme l'ensemble des √©l√©ments de F auxquels on a √īt√© les √©l√©ments de F  G.

La diff√©rence sym√©trique de deux ensembles F et G, not√©e F  G est, quant √† elle, l'ensemble des √©l√©ments de F U G qui n'appartiennent pas √† leur intersection  F  G. On a donc F  G = (F U G) \ (F  G).
-

Différence de deux ensembles. - C'est l'ensemble des éléments de F qui n'appartiennent pas aussi à G
Différence symétrique de deux ensembles. - C'est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la réunion de F et G mais pas à leur intersection.

Ensembles complémentaires.
Dans le cas o√Ļ F est une sous ensemble de E (soit F  E), les  √©l√©ments de E qui n'appartiennent pas √† F appartiennent √† l'ensemble particulier appel√© l'ensemble compl√©mentaire de F par rapport √† E. Parmi les fa√ßons de noter un ensemble compl√©mentaire, on retiendra celle-ci : G = EF (qui se lit : "G est le compl√©mentaire de F par rapport √† E").
-


Complémentaire de l'ensemble F
dans l'ensemble E :  G = {a}.
Dire que G est le complémentaire de F dans E est équivalent à dire que F est le complémentaire de G dans E :
G = E F = EG.
Le complémentaire de l'ensemble vide par rapport à E est égal à E, et de même le complémentaire de E par rapport à E est égal à l'ensemble vide :
E = E  et EE = .
Dans certains contextes, l'√©criture peut √™tre all√©g√©e en convenant d'utiliser le signe moins "-" : ainsi G = EF pourra se noter simplement G = E - F.
Lois de De Morgan pour les ensembles.
Dans le cas de deux ensembles quelconques A et B, avec G = A\B, les égalités suivante, appelées lois de De Morgan, sont vérifiées :
G\ (A U B) = (G\A)  (G\B)
G\ (A  B) = (G\A) U (G\B)
Si A et B sont deux sous ensembles d'un ensemble E, les lois de De Morgan peuvent s'écrire :
E(A U B) = E(A)  'E (B).
E(A  B) = E(A) U E (B).
Ensembles de nombres.
Les nombres et les ensembles de nombres jouent un r√īle central dans les math√©matique, dont de larges pans sont consacr√©s √† leur √©tude. Aussi certains de ces ensembles sont-ils d√©sign√©s des symboles particuliers, d'usage tr√®s courant. 

Ensembles des nombres entiers naturels.
Les nombres dont on se sert pour compter les objets sont appel√©s nombres entiers naturels (ou simplement entiers naturels). L'ensemble dans lequel on les range, ainsi que le z√©ro (0) est appel√©  :

= {0, 1, 2, 3, 4, ...}
On note * ("N √©toile"),  l'ensemble des entiers strictement positifs, c'est-√†-dire l'ensemble des entiers naturels auquel on a √īt√© le z√©ro :
* = - {0}
Lorsqu'on additionne deux entiers naturels, le r√©sultat est toujours un entier naturel. Cela n'est plus vrai lorsqu'on soustrait deux nombres de . Certaines soustractions ne conduisent pas √† un r√©sultat dans  (par exemple 4 - 3 = ?).  Pour que ces op√©rations aient un sens, il faut consid√©rer un autre ensemble, dans lequel  est inclus : l'ensemble des nombres entiers relatifs.

Ensemble des nombre entiers ou nombres entiers relatifs.
L'ensemble des nombres entiers relatifs, repr√©sent√© par le symbole , comprend  tous les entiers naturels ('), et tous les nombres d√©finis comme le r√©sultat de la soustraction 0 - n, o√Ļ 0 est le nombre z√©ro et o√Ļ n est un entier naturel strictement positif (appartenant donc √† *). Les nombres ainsi d√©finis forment l'ensemble des nombres entiers strictement n√©gatifs; il se note par -. On a ainsi : 

-
Ensemble des nombres rationnels.
De la m√™me fa√ßon que l'on ne pouvait pas donner le r√©sultat dans  de toute soustraction de nombres appartenant √† , on ne peut donner le produire dans  celui de  la division de deux nombres appartenant √†  (l'entier par lequel on divise ne pouvant √™tre 0); trois divis√© par deux, par exemple, n'est pas un nombre entier. L'ensemble de nombres qui contient non seulement tous les entiers, mais aussi les nombres de telles divisions est l'ensemble des nombres rationnels; il est not√©  et ses √©l√©ments sont tous les nombres qui sont le r√©sultat de la division de deux entiers quelconques. 

Ensemble des nombres réels.
Tous les nombres ne peuvent cependant pas s'√©crire comme le r√©sultat d'une division entre deux entiers. C'est les cas , par exemple, de  =  3,1415926... ou  de  = 1,4142135... Cela conduit √† admettre une autre ensemble, qui contient tous les √©l√©ments de , mais aussi des nombres tels que ou . Ce sera l'ensemble que l'on appellera l'ensemble des nombres r√©els. Cet ensemble, not√© , est plus difficile √† d√©finir que les ensembles de nombres mentionn√©s jusqu'ici. Les diff√©rences entre  et  font appel √† la distinction de notions assez abstraites de densit√© et de compl√©tude. Un ensemble de nombres est dit dense lorsqu'entre deux nombres, aussi proches l'un de l'autre que l'on voudra, on peut encore trouver un nombre (et m√™me une infinit√© de nombres), et c'est bien le cas de , contrairement √† ' et' (aucun nombre entier ne peut √™tre ins√©r√© entre 1 et 2, par exemple). Quant √† , lorsqu'on consid√®re deux de ses nombres aussi proches que l'on veut, on en arrive √† pouvoir envisager (pour employer une image plus intuitive que math√©matique) qu'ils se touchent : il n'y a pas de place alors pour ins√©rer entre eux de nouveaux nombres. On dit alors que  est complet.

Ensemble des nombres complexes.
L'ensemble des nombres complexes se d√©finit √† partir de , en revenant √† l'id√©e qu'une op√©ration appliqu√©e √† certains nombres peut n'aboutir √† aucun r√©sultat. Ainsi la racine carr√©e  y de x (not√©e ) est le nombre y tel que y.y = y¬≤ = x. Les r√®gles de la multiplication (.) dans  font que x est toujours positif. Un nombre n√©gatif n'a donc pas de racine carr√©e dans . Il est cependant possible d'introduire un nouveau nombre que l'on notera i et tel que i.i = i¬≤ = -1 et qui n'appartient pas √†  : i est l'unit√© des nombres  dits imaginaires,  tous ces nombres s'obtenant en multipliant i par un nombre r√©el. L'ensemble  peut alors √™tre d√©fini comme l'ensemble de tous les nombres z de type  z = a + i.b, o√Ļ a et b sont des nombres r√©els. Si a = 0, z = ib est un nombre imaginaire pur, mais si b = 0, z = a est un nombre r√©el. Ainsi l'ensemble  appara√ģt-il comme un ensemble inclus dans .

Diagramme de Venn.
Principaux ensembles de nombres.

Relations

La théorie des ensemble ne serait rien que si elle ne reposait que sur des ensembles et des élements. Sa fécondité vient des nombreuses mises en correspondance que l'on peut établir entre éléments, entre éléments et ensembles et entre ensembles. Plusieurs de ces correspondances (égalité, appartenance, inclusion, réunion, complémentarité) viennent d'être évoquées. Elles répondent à la notion très générale de relation.

Définitions.
Relations.
Une relation binaire est une correspondance que l'on établit entre les éléments de deux ensembles, un ensemble de départ ou source, et un ensemble d'arrivée, ensemble image ou but, quand une propriété donnée est vérifiée entre ces éléments. Il est entendu que rien ne s'oppose à ce ce que l'ensemble de départ soit identique à l'ensemble d'arrivée, autrement dit à ce que la relation puisse être définie entre éléments appartenant au même ensemble.

Soit ainsi x un √©l√©ment appartenant √† l'ensemble E de d√©part et y une √©l√©ment appartenant √† l'ensemble F d'arriv√©e, et soit la relation  d√©finie lorsque la propri√©t√© consid√©r√©e est v√©rifi√©e, on √©crira : x  y pour signifier que x est en relation avec y.

Diagramme sagittal d'une relation.
Une relation est repr√©sent√©e graphiquement par une fl√®che (en latin sagitta = fl√®che) trac√©e entre les deux √©l√©ments x et y mis en correspondance par la relation : une fl√®che va de x √† y si et seulement si x  y.


Diagramme sagittal d'une relation.

Produit cartésien.
Si l'on consid√®re  un ensemble E et un ensemble F, et la relation  qui met en correspondance des √©l√©ment de E avec les √©l√©ments de F (pas n√©cessairement tous les √©l√©ments), on est conduit √† s'int√©resser √† tous les couples (x, y) d'√©l√©ments tels que x appartienne √† E et  y √† F. L'ensemble de ces couples est appel√© le produit cart√©sien des deux ensembles consid√©r√©s, et sera not√© E X F. Dans le cas o√Ļ la relation est d√©finie entre √©l√©ments d'un m√™me ensemble E, la notion de produit cart√©sien existe encore. On l'√©crit :  E X E, ou, par analogie avec l'√©l√©vation au carr√© des nombres, E¬≤.

L'ordre dans lequel on √©crit les deux termes du couple a son importance, car, sauf cas particulier d'une relation dite sym√©trique (V. ci-dessous); on a-: x  x. Cela explique que lorsqu'on consid√®re le couple (x, y) on le qualifie de paire ordonn√©e. Dans le couple (x, y), x est la premi√®re coordonn√©e et y la deuxi√®me coordonn√©e. Si (x, y)X¬≤, la premi√®re coordonn√©e est souvent appel√©e l'abscisse, et la deuxi√®me, l'ordonn√©e

Le produit cartésien a été entendu jusqu'ici entre deux ensembles seulement (ou entre un ensemble et lui-même). Mais cette notion peut être étendue à n ensembles (E1, E2, E3, ..., En). On note alors leur produit cartésien : E1 X E2 X E3 X ...X En; les éléments de celui-ci sont appelés n-uplets. (couples ou doublets quand n = 2, triplets quand n=3).

On a d√©finio jusqu'ici une relation comment une correspondance entre des √©l√©ments d'ensembles. Mais une relation d√©finie entre ensembles. Le produit cart√©sien (X) de deux ensembles en est un exemple; m√™me constat pour la relation d'inclusion (not√©e ). Quant √† l'appartenance (not√©e ), elle peut se comprendre comme un exemple de relation entre un √©l√©ment et un ensemble.

Dans le cas de deux ensembles E et F poss√©dant chacun un nombre fini d'√©l√©ments, si l'ensemble E poss√®de n √©l√©ments et si l'ensemble F en poss√®de m, alors E X F poss√®de n.m  √©l√©ments (" . " est le symbole de la multiplication de nombres).

Graphe d'une relation.
Tous les √©l√©ments de E X F, autrement dit tous les couples (x, y)  ne sont pas n√©cessairement mis en correspondance  la relation . Les couples qui sont ainsi reli√©s appartiennent √† un sous-ensemble de E X F appel√© le graphe de la relation. On pourra dire qu'une paire (x, y) appartenant au produit cart√©sien E X F a ses termes mis en correspondance par relation  si et seulement si (x, y) appartient au graphe G de cette relation. 
Ainsi, une relation binaire  est enti√®rement connue si l'on conna√ģt E x F et G, ce que l'on exprime cela en √©crivant  = (E, F, G). Le triplet  (E, F, G) prend le nom de correspondance entre E et F.

Réciproquement, lorsque l'on considère n'importe quel sous-ensemble G du produit cartésien E X F, on définit en même temps une relation binaire.

Deux correspondances ou deux relations  = (E, F, G) et ' = (E', F', G') sont √©gales si et seulement si E = E' et F = F' et G = G'.

Relation réciproque.
Dans la relation  = (E, F, G), les √©l√©ments de G sont des √©l√©ments de E mis en correspondance avec des √©l√©ments de F. Mais on peut aussi s'int√©resser √† la correspondance que cela induit entre les √©l√©ments de F et des √©l√©ments de E. Le graphe, not√© G-1, de cette nouvelle relation, not√©e -1,  sera ainsi le sous-ensemble des couples de F X E tels que ces couples appartiennent √† G. -1 = (F, E, G-1) sera appel√©e la relation r√©ciproque de .

Relation compos√©e. 
Soient deux relations  = (E, F, G) et ' = (F, H, G') telles que l'ensemble d'arriv√©e F de la premi√®re soit l'ensemble de d√©part de la seconde, on peut d√©finir une relation " dont l'ensemble de d√©part est E est l'ensemble de d√©part de la premi√®re relation et l'ensemble d'arriv√©e est l'esemble d'arriv√©e de la seconde, c'est-√†-dire H. On aura ainsi " = (E, H, G"), o√Ļ G"  est l'ensemble des √©l√©ments (x, y) de E X H, tels qu'il existe un √©l√©ment y appartenant √† F, avec (x, y) appartenant √† G et (y, z) appartenant √† G'. On appelle" la relation compos√©e des relations  et '.

Propriétés des relations.
Les relations peuvent posséder certaines des propriétés suivantes :

Réflexivité.
Une relation  est r√©flexive lorsque  E : x  x (x est en relation avec x). Par exemple, dans une fratrie, la relation  "est de la famille de" est r√©flexive, mais la relation  "est le fr√®re ou la soeur de" ne l'est pas.

La r√©flexivit√© peut aussi √™tre d√©finie pour la relation d'inclusion (au sens large) entre deux ensembles E quelconques : E  E.
Symétrie et antisymétrie.
Une relation  est sym√©trique lorsque  (x, y)  E X F : x  x (si x est en relation avec y alors y est en relation avec x). Par exemple la relation "est le fr√®re ou la soeur de" est sym√©trique, mais les relations " est le fr√®re de" ou "est la soeur de" ne sont pas sym√©triques dans l'ensemble consid√©r√©.

Une relation  est antisym√©trique lorsque  (x, y)  E : (x  y et y  x)  x = y  (si x est en relation avec y et y est en relation avec x alors x √©gale y). 

La relation d'inclusion qui met en correspondance deux ensembles est une relation antisymétrique : si E est inclus dans F et F est inclus dans E, alors E égale F.
Notez bien que ne pas √™tre sym√©trique n'est pas synonyme d'√™tre antisym√©trique. 

Transitivité.
Une relation  est transitive lorsque  x, y, z  : (x  y et y  z)  z. La relation "est la soeur de" est transitive dans l'ensemble {Od√©lia, Maud, G√©raldine} : Od√©lia est la soeur de Maud et Maud est la soeur de G√©raldine, implique qu'Od√©lia est la soeur de G√©raldine.

La relation d'inclusion définie entre ensembles est une relation transitive : si E est inclus dans F et F est inclus dans G, alors E est inclus dans G.
-
Réflexivité. Symétrie.
 Transitivit√©.
Relations d'équivalence.
Une relation binaire  d√©finie sur un ensemble E est une relation d'√©quivalence si et seulement si  est :  r√©flexive, sym√©trique et transitive.
L'identit√© = de deux ensembles E et F (ou de deux √©l√©ments) est une relation d'√©quivalence : elle est r√©flexive (E = E); elle est sym√©trique (E = F  F = E; elle est transitive : (E = F et F = G)  E = G.

Pour noter une relation d'√©quivalence on utilise souvent le symbole ~ (par exemple : x ~ y). Une autre fa√ßon d'exprimer que deux √©l√©ments sont reli√©s par une relation d'√©quivalence est la suivante : x  y (mod ), qui se lit "x et y sont √©quivalents (ou congrus) modulo".

Classes d'équivalence. Partition. Ensemble quotient.
Un relation d'√©quivalence divise l'ensemble dans lequel elle est d√©finie en un certain nombre de sous-ensembles disjoints deux √† deux (c'est-√†-dire qui n'ont aucun √©l√©ment en commun) que l'on appelle des classes d'√©quivalence (ou si l'on veut √™tre plus pr√©cis  : classes d'√©quivalence modulo ). 
Tous les √©l√©ments d'une classe d'√©quivalence √©tant reli√©s entre eux, il suffit de mentionner un √©l√©ment quelconque de cette classe, disons a,  appel√© repr√©sentant de la classe, pour que la classe enti√®re puisse √™tre d√©finie. On pourra alors la noter, par exemple, [a], √• ou encore Cl (a).
Lorsque l'on r√©unit toutes ces classes d'√©quivalence d'un ensemble E on obtient l'ensemble E lui-m√™me, ce que l'on exprime en disant que la relation v√©rifie une partition de l'ensemble E. 

Les parties de E d√©finies par la relation  sont les √©l√©ments d'un ensemble appel√© ensemble quotient et not√© E/.

Relations d'ordre.
Les relations d'ordre sont, avec les relations d'√©quivalence, un autre grand type de relations √©tudi√©es en math√©matiques. 

Une relation binaire  est une relation d'ordre si et seulement si  est :  r√©flexive, antisym√©trique et transitive. 

Pour noter les relations d'ordre, on renonce au symbole  pour le remplacer par le symbole  qui rappelle le symbole  utilis√© pour ordonner les √©l√©ments de l'ensemble des nombres r√©els  et de ses sous-ensembles.  et  se lisent de la m√™me fa√ßon. Ainsi x  y se lira-t-il "x inf√©rieur √† y" ou "y sup√©rieur √† x" (on trouve aussi parfois les lectures, peut-√™tre pr√©f√©rables : "x ant√©rieur √† x" et "y post√©rieur √† x").

Le sens particulier de certaines relations d'ordre peut aussi induire des notations diff√©rentes. Par exemple, dans *, la relation "x divise y" est une relation d'ordre et se note x|y; m√™me chose pour l'inclusion au sens large dans l'ensemble des parties d'un ensemble, qui est aussi une relation d'ordre et se note, comme on l'a vu A  B.

L'ordre peut être partiel ou total.

Ordre total.
munit l'ensemble E d'un ordre total si pour tout couple d'√©l√©ments (x ,y) de ensemble E X E, on a  x  y ou  y  x. Tous les √©l√©ments peuvent donc √™tre mis en relation les uns avec les autres : il peuvent √™tre compar√©s et l'ensemble E est dit totalement ordonn√©.

On l'a vu plus haut, quand on travaille sur des nombres r√©els, on utilise fr√©quement la relation ,  qui se  lit "est inf√©rieur √†" ou "est inf√©rieur ou √©gal √†". Il s'agit d'une relation d'ordre total : elle permet d'ordonner tous les nombres les uns par rapport aux autres (x et y √©tant deux nombres r√©els, on peut toujours dire que : soit x  y, soit y  x). Tous les r√©els sont dits comparables.

Une autre relation qui ressemble à celle-ci peut s'énoncer : "est strictement inférieur à", et elle se note <. Elle aussi permet de comparer les nombres et on la qualifie de relation d'ordre strict, mais il est à remarquer qu'en réalité ce n'est pas une relation d'ordre (elle n'est pas réflexive).

On peut encore associer √† la relation  sa relation oppos√©e  (qui se lit "est sup√©rieur ou √©gal √†") : on a  x   y  x. Malgr√© cette √©quivalence, l'utilisation de  ou de  (ou de < ou de >) n'est pas indiff√©rente. Par exemple, lorsqu'on cherche "le plus petit √©l√©ment" de l'ensemble des entiers naturels (c'est-√†-dire x  |  y : x  y) celui-ci existe, c'est 0, et l'on dit que l'ensemble des entiers naturel est bien ordonn√© (par la relation  ). Mais on se trouve dans une impasse d√®s que l'on cherche "le plus grand √©l√©ment" de cet ensemble (c'est-√†-dire x | y : x  y).

Ordre partiel.
munit l'ensemble E d'un ordre partiel (ou  est un ordre partiel sur E)  lorsqu'il existe des couples (x, y)  de l'ensemble produit E¬≤ tels que ni x  y, ni y  x. 
La relation d'inclusion sur l'ensembles des parties d'un ensemble est un exemple d'ordre partiel.
Eléments remarquables d'un ensemble ordonné.
Soient F un sous-ensemble non vide de E et  une relation d'ordre partiel sur E. On appelle majorant de F tout √©l√©ment s de E tel que quelque soit x appartenant √† F, on ait x  s. de m√™me, on appelle minorant de F tout √©l√©ment s de E tel que quelque soit x appartenant √† F, on ait s  x.

S'il existe dans un ensemble ordonn√© E un √©l√©ment g sup√©rieur √† tous les autres ( E : x  g), g est appel√© le plus grand √©l√©ment de E. S'il existe dans E un √©l√©ment p inf√©rieur √† tous les autres ( E : p  x), p est appel√© le plus petit √©l√©ment de E. Dans tous les cas, p et g sont uniques. L'√©l√©ment m d'un ensemble E sera dit maximal si pour tout x  appartenant √† E, x  m implique  x = m; il sera dit minimal si  si pour tout x  appartenant √† E, m  x implique  x = m.

Soit E un ensemble non vide muni d'une relation d'ordre partiel. Si tout sous-ensemble de E totalement ordonn√© par  admet un majorant, alors E poss√®de un √©l√©ment maximal. (Ce th√©or√®me est connu sous le nom de Lemme de Zorn).
Lorsqu'il existe, le plus petit des majorants d'une partie major√©e F de de E est appel√© la borne sup√©rieure de F; le plus grand des minorants, lorsqu'il existe, est la borne inf√©rieure de F. Ces bornes sont not√©es respectivement supE F ("sup de F dans E") et  infE F ("inf de F dans E").
Un ensemble ordonn√© E qui poss√®de √† la fois une borne sup√©rieure supE et une borne inf√©rieure infE est appel√© un treillis (synonymes : ensemble r√©ticul√©, lattis ou lattice en anglais). 

Applications (fonctions)

Nomenclature, notations.
Nomenclature.
Une relation  d'un ensemble E, source, vers un ensemble F, image, est dite relation fonctionnelle si chaque √©l√©ment x de E est associ√© par cette relation √† un √©l√©ment y au plus dans F. 

Lorsque tous les √©l√©ments de E sont mis en correspondance avec un √©l√©ment de F, cette sorte de relation est appel√©e application ou fonction. Application est un terme g√©n√©ral, l'usage tendant √† r√©server le nom de fonction aux seules applications d√©finies sur des ensembles de nombres. 

Ecriture.
On utilise ordinairement une √©criture particuli√®re pour d√©signer les applications (et les fonctions). La notation habituelle  est abandonn√©e et l'on utilise souvent la lettre f, quand une seule application est impliqu√©e (la lettre g est aussi utilis√©e quand il y en a deux, etc.). Ainsi, (√©tant toujours entendu que (x, y)  E X F), ce que nous avons √©crit jusqu'ici x  y s'√©crira d√©sormais  (x) = y ou, de mani√®re encore plus courante, en utilisant la lettre f :

 f (x) = y      (lire : "f de x √©gale y")
On √©crit aussi  : 
 f : x  y     (lire : application f de E dans F")
Si f est une application et x  E et y  F sont  tels que f(x) = y :
x est l'argument (ou la variable) de f, et l'antécédent de y

f(x), c'est-√†-dire y, est l'image de x par (ou la valeur de f  en x).

On dit encore que f applique E dans F. 

Dans le cas d'une relation fonctionnelle au sens large, on peut d√©finir l'ensemble de d√©finition ou domaine de d√©finition D de cette relation comme le sous-ensemble des √©l√©ments de l'ensemble de d√©part E qui ont une image dans l'ensemble d'arriv√©e F. Dans le cas d'une application (fonction), telle qu'on vient de la d√©finir (o√Ļ tout x de E a une image dans F), c'est l'ensemble de d√©part tout entier qui prend le nom de domaine de d√©finition de l'application. 
Quand f ne s'applique qu'√† une seule variable, comme on l'a vu jusqu'ici, f est une fonction √† une variable. Mais on peut aussi envisager des fonctions  s'appliquant √† des n-uplets. On a alors affaire √† des fonctions √† n variables.

Quand E = F , f est qualifiée d'autoapplication

Si une application f donne à tout élément x de E une unique image b dans F, f est qualifiée d'application ou de fonction constante. (Par exemple, quel que soit x, f (x) = 3).

L'application qui, dans E, associe √† lui-m√™me tout x (autrement dit  x : f(x) = x) est appel√©e l'application identique ou identit√© et est not√©e ordinairement IdE ou Id  (Id : x  x ou Id(x) = x).

G étant un sous-ensemble de E et f une applications de E dans F, l'application g telle que pour tout x appartenant à G on a g(x) = f (x) est appelée la restriction de f à G, tandis que f prendra le nom de prolongement de g.

Composition d'applications.
Consid√©rons une application f de E dans F  (f : x  y ou f(x) = y) et une application g de F dans G (g : y  z ou g(y) = z). Sous certaines conditions, il est possible de d√©finir une troisi√®me application, disons h, qui fait correspondre directement z √† x  (h : x  z), autrement dit h(x) = f(g(x)) = z. Cette application prend le nom d'application compos√©e de  f et de g. On la note commun√©ment f o g (lire : "f rond g"); f o g (x) = f (g(x)).
Une application f d'un ensemble E dans lui-m√™me peut √™tre compos√©e avec elle-m√™me. On note alors f¬≤ = f o f. Si f est compos√©e n fois avec elle-m√™me on √©crit fn = f o f o f... o f (n fois) et l'on lconvient que f¬į correspond √† l'application identique dans E, IdE : f¬į = IdE, soit f¬į (x) = x.
Diagramme sagittal d'une application.
Le diagramme sagittal d'une application est tel que, de tout élément de E, part une flèche au plus, aboutissant à un élément de F. Les éléments de F peuvent en revanche être la destination de plusieurs flèches, ou d'aucune.
-
Diagramme sagittal d'une application. - Tous les éléments de l'ensemble de départ E ont une image et une seule dans l'ensemble d'arrivée F par l'application f. Certains éléments de l'ensemble de départ peuvent avoir plusieurs images. Certains éléments de l'ensemble d'arrivée peuvent ne pas avoir d'antécédent dans l'ensemble de départ.

Types d'applications.
Injection.
Une application f  de E dans F est injective (ou encore f est une injection), si et seulement si,  quels que que soient x et x' appartenant √† E, l'√©galit√© de f(x) et de f(x') implique que x √©gale x' :

x, x'  E : f(x) = f(x')  x = x'

Application injective.
Deux éléments distincts
ont des images distinctes.

De m√™me, si f'est une injection, la diff√©rence de x et x' entra√ģne la diff√©rence de f(x) et de f(x') :

x, x'  E : f(x)  f(x')  x'
Surjection.
Une application f  de E dans F est exhaustive ou surjective (ou f est une surjection), si et seulement si tous les √©l√©ments de F sont les images par f des √©l√©ments de E. On dit que f'transforme E en F.

Application surjective.
Tous les éléments de l'ensemble
d'arrivée ont au moins un antécédent.

Bijection.
Une application f  de E dans F est biunivoque ou bijective (ou encore f est une bijection) si f est √† la fois injective et surjective. Tout √©l√©ment de l'ensemble image est l'image d'un unique √©l√©ment de l'ensemble de d√©part. 
-


Application bijective.
Tout √©l√©ment de l'ensemble d'arriv√©e 
est l'image d'un seul élément
de l'ensemble de départ.
Si f est une bijection de E dans F, il existe une application de F dans E qui à chaque image d'un élément de F fait correspondre son antécédent unique par f dans E. Cette fonction est appellée application réciproque de f et est notée f -1.

Lorsqu'une bijection f est définie d'un ensemble E sur lui-même, ont dit que f est une permutation; une permutation qui affecte seulement deux éléments de E (f se comportant alors comme l'application identique pour les autres éléments) on lui donne le nom de transposition.

Equipotence. Cardinal d'un ensemble.
Ensembles équipotents.
Lorsqu'une bijection peut √™tre √©tablie entre deux ensembles, on dit que ces ensembles sont √©quipotents. Tous les ensembles √©quipotents √† un ensemble E forment une classe d'√©quivalence √† laquelle il est possible d'associer une entit√© math√©matiques appel√©e le cardinal de E et not√©e Card (E). Tous les ensembles √©quipotents ont le m√™me cardinal. 

Cardinal d'un ensemble.
Dans le cas des ensembles qui ont un nombre fini d'√©l√©ments, le point commun, qui permet de d√©finir l'√©quipotence entre deux ensembles est le nombre de leurs √©l√©ments. On convient d√®s lors de dire que si E poss√®de n √©l√©ments, le cardinal de E sera n : Card (E) = n. 

Si E et F sont deux ensembles finis : 
Card (E)  Card (F)  F. 

Card (E X F) = Card (E) . Card (F)       (ou "X" correspond au produit cart√©sien  et "." √† la multiplication entre entiers).

Si F est une partie (sous-ensemble) d'un ensemble fini E :
Card (EF) = Card (E) - Card (F).
Ensembles infinis et nombres transfinis.
Cependant des bijections (relations d'√©quipotence) peuvent aussi √™tre d√©finies entre ensembles infinis. Dans ce cas, des notations nouvelles ont d√Ľ √™tre introduites pour parler des cardinaux de ces ensembles (notamment pour les comparer). On utilise depuis Cantor la lettre de l'alphabet h√©bra√Įque  (aleph) munie d'un indice.  L'ensemble  des entiers positifs aura ainsi pour cardinal 0 (lire : aleph-z√©ro) et l'on dira que tout ensemble de cardinal0 a la puissance du d√©nombrable1 (aleph-1) est d√©fini comme le cardinal de , ensemble des nombres r√©els, et l'on dira que tout ensemble de cardinal 1 a la puissance du continu. Les cardinaux des ensembles infinis sont appel√©s nombres transfinis.

Lois de composition (opérations)

Jusqu'ici, on a d√©fini une application comme une mise en correspondance d'un √©l√©ment x d'un ensemble quelconque E avec un √©l√©ment y d'un ensemble F. C'est ce qu'exprime l'√©criture  f(x) = y, o√Ļ x  y et y  F. 

Une loi de composition ou opération est une application dans laquelle l'ensemble de départ est un produit cartésien. On considère alors la mise en correspondance d'un couple d'éléments appartenant à un sous-ensemble G de l'ensemble produit E X F avec un élément z appartenant à un ensemble H.

Si l'on continue d'adopter la m√™me √©criture que pr√©c√©demment, on aura : f (x,y) = z, avec (x, y)  G ou encore :  f : (x, y)  z. Mais ici encore, un changement d'√©criture peut faciliter les choses, ne serait-ce que parce que la nouvelle √©criture sera plus conforme aux usages d√©j√† en vigueur pour exprimer certains lois de composition courantes. Une loi de composition abandonnera donc le f pour le remplacer par une autre symbole, tel que  ou , et, plut√īt que d'√©crire f (x, y) = z, on √©crira, par exemple :

y = z. 
On dira aussi que  est une op√©ration sur l'ensemble consid√©r√©, le symbole  repr√©sentant l'op√©rateur; x et y sont les termes de l'op√©ration; z est le compos√© de x et y.
Le symbole  se lit "√©toile". Le symbole  se prononce"truc". Le symbole , qu'on rencontrera plus bas, se lit "antitruc".
Les quatre op√©rations arithm√©tiques, l'addition, la soustraction, la multiplication et la division (symbolis√©es par les op√©rateurs +,  -,  x et / ), sont des lois de composition entre nombres. Dans le cas de l'addition le compos√© est la somme des termes; dans le cas de la soustraction, c'est la diff√©rence. Dans le cas de la multiplication, les termes prennent le nom de facteurs; le compos√© celui de produit; dans le cas de la division, le premier terme est le num√©rateur, et le second le d√©nominateur, le compos√© est le quotient.

La composition d'applications évoquée plus haut fournit un autre exemple de loi de composition; elle est symbolisée par l'opérateur o.

Lois de composition  interne.
Une loi de composition interne  d√©finie sur E est une application d'une partie G de  l'ensemble E X E dans E. 

On dit que E est un ensemble ferm√© (clos, stable) par rapport √† la loi (ou pour la loi) , ou encore que E est muni de la loi ' ou structur√© par elle; ce que l'on √©crit sous la forme : (E, ), o√Ļ E prend le nom de support de la structure. 

De la m√™me fa√ßon, un sous-ensemble non vide F de l'ensemble E est dit stable pour la loi  si pour tous les √©l√©ments x, y de F, on a :  x  F. Autrement dit, F est stable pour la loi  (en toute rigueur, pour la restriction de  dans F) si  est aussi une loi de composition interne dans F. 
Lois de composition externe.
La notion de loi de composition externe  invite √† consid√©rer deux ensembles distincts E et F et une loi de composition . Cette loi est une loi de composition externe si elle est une application de E X F dans F : ( (x, y)  E X F :  x  y = z  F).
y s'appelle le compos√© (ou le produit) de x et de y pour la loi ;

Les √©l√©ments de E sont appel√©es op√©rateurs et E est qualifi√© d'ensemble des op√©rateurs de la loi .

Soit G un sous-ensemble non vide de F; G est dit stable pour la loi externe  si pour tout √©l√©ment x de l'ensemble d'op√©rateurs E et pour tout √©l√©ment y de F, leur produit appartient √† F.

Si E = F, on retrouve bien s√Ľr une loi de composition interne (une loi de composition interne est un cas particulier de loi de composition externe).

La f√©condit√© de ces notions commence √† appara√ģtre lorsque, de surcro√ģt, F est muni d'une loi de composition interne . On pourra former, par exemple des expressions du genre  x  y = z  t, et d'autres plus compliqu√©es (V. ci-dessous). 

Propriétés des lois de composition.
Commutativité.
Une loi de composition interne  dans E est commutative si si pour tout x et tout y  on a : x  y = y  x.

La notion de commutativit√©, d√©finie ici pour des √©l√©ments d'un ensemble peut s'√©tendre, √† la r√©union de deux ensembles : E U F = F U E; m√™me chose pour l'intersection : E  F = F  E.
Associativité.
Une loi de composition interne  dans E est associative si si pour tout x,  tout y et tout z appartenant √† E  on a : x  ( y  z) = (x  y)  z.
La r√©union deux ensembles est associative :  (E U F) U G = E U (F U G); m√™me chose encore pour l'intersection (E  F)  G = E  (F  G)

La composition des applications o est √©galement associative : pour toute application f, g et h, on a :  (f o g) o h = f o (g o h).

Dans le cas d'une loi de composition externe , on dira qu'elle est associative par rapport √† une loi de composition interne , si pour tout √©l√©ment x de E, et tout √©l√©ment (y, z) de F¬≤, ont peut dire que : (y  z)  x = y (zx).

Distributivité.
La distributivit√© est une propri√©t√© qui implique une loi de composition externe  et une loi de composition interne . On dira que la loi  est distributive par rapport √† la loi interne  de F si,  pour tout x appartenant √† F et tout couple (y, z) appartenant √† E¬≤, on a-: x  (y  z) = (xy)  (xz).

Distributivit√© de l'union et de l'intersection : la r√©union est distributive par rapport √† l'intersection :  E U (F  G) = (E U F)  (E U G); et l'intersection est distributive par rapport √† la r√©union : E  (F U G) = (E  F) U (E  G).
Un forme diff√©rente de distributivit√© peut √™tre d√©finie en impliquant une loi de composition externe  et deux lois de composition internes  et  (op√©rant toutes deux dans un ensemble F). Pour tout x appartenant √† E et pour tout u, v appartenant √† F, on devra avoir : (u  v)  x = (ux)  (v  x).

Eléments réguliers, élément absorbant, élément neutre.
Certains √©l√©ments d'un ensemble peuvent r√©v√©ler des propri√©t√©s particuli√®res lorsqu'op√®re sur eux une loi de composition. (Nous consid√©rerons dans ce qui suit un ensemble E muni d'une loi de composition  interne).

Eléments réguliers.
Lorsque x = x = y, a est un √©l√©ment r√©gulier √† gauche; c'est un √©l√©ment r√©gulier √† droite lorsque x  a = y  x = y; enfin a un √©l√©ment r√©gulier tout court s'il est r√©gulier √† droite et r√©gulier √† gauche. 

On appelle simplification le passage de l'√©quation x  a = y  a  (ou a  x = a  y) √† l'√©quation x = y : c'est ce que l'on fait couramment en alg√®bre lorsque, par exemple, ayant l'√©quation 2.(x+3) = 2.(y-5), on passe "en simplifiant" √† l'√©quation x+3 = y-5.
Elément absorbant.
On dit que a est un √©l√©ment absorbant si pour tout y de E, on a y = y  a = a.
Dans (, x), soit dans l'ensemble des entiers naturels muni de la multiplication, l'élément absorbant est 0, car quel que soit le nombre n lorsqu'il est multiplié par 0 le résultat est zéro : n x 0 = 0.

L'ensemble vide joue le r√īle d'√©l√©ment absorbant pour l'intersection : pour tout ensemble E, E 

Elément neutre.
De m√™me, si pour tout x de E, il existe un √©l√©ment e de E tel que e  x = x, on appelle e √©l√©ment neutre √† gauche; si on a la relation x  e = x, e est l'√©l√©ment neutre √† droite. Il est bien s√Ľr possible aussi que  x  e = e  x = x; dans ce cas, e est l'√©l√©ment neutre √† droite et √† gauche (ou l'√©l√©ment neutre tout court).
Lorsqu'un ensemble E poss√®de un √©l√©ment neutre pour une loi , on note souvent E* , l'ensemble E auquel on a √īt√© l'√©l√©ment neutre (E* = E - {e}). Il faut cependant qu'aucune confusion ne soit √† craindre sur l'identit√© de l'√©l√©ment neutre et de la loi de composition concern√©e.
Dans (, +), c'est-√†-dire dans l'ensemble des entiers naturels muni de l'addition,  l'√©l√©ment neutre est 0, car quelque soit le nombre n lorsque il ajout√© √† 0 le r√©sultat est n + 0 = 0 + n = n.
Dans (, x), c'est-√†-dire dans l'ensemble des entiers naturels muni de la multiplication,  l'√©l√©ment neutre est 1, car quelque soit le nombre n lorsque il multipli√© par 1 le r√©sultat est n x 1 = 1 x n  = n.

L'ensemble vide joue le r√īle d'√©l√©ment neutre pour la r√©union : pour tout ensemble E, E '' = E.

Eléments symétrisables et symétriques.
Un √©l√©ment x est dit sym√©trisable pour la loi  s'il existe un √©l√©ment x' tel que : 
x' = x'  x = e (e √©tant l'√©l√©ment neutre). L'√©l√©ment x' est appel√© le sym√©trique (ou l'inverse) de x dans (E, ).
Dans (, +), aucun √©l√©ment, sauf 0, n'a de sym√©trique. En revanche, tous les √©l√©ments de  tous les √©l√©ments sont sym√©trisables pour l'addition : le sym√©trique prend ici le nom d'oppos√© ( -n est l'oppos√© de n pour l'addition).

Dans (, x), aucun √©l√©ment, sauf 1 et -1, n'a de sym√©trique. En revanche, tous les √©l√©ments de , sauf 0, sont sym√©trisables pour la multiplication (1/n est le sym√©trique ou l'inverse de n pour la multiplication).

Homomorphismes.
Une application f quelconque d√©finie entre de deux ensembles (E, ) et (F, )  munis chacun d'une loi de composition est un homomorphisme lorsque pour tout x et y appartenant √† E, on v√©rifie l'√©galit√© : f (x  y) = f(x)  f(y). 

Homomorphisme est un terme général. Les homomorphismes portent des noms particuliers selon que l'application est bijective ou non, ou selon que E est différent de F ou non.

Isomorphisme. 
Lorsque les deux ensembles E et F sont diff√©rents, que l'application f est un homomorphisme de (E,  ) dans (F,  ) et que f est de surcro√ģt bijective de E dans F : on dit que f est un isomorphisme de  (E,  ) dans (F, 

Endomorphisme.
Lorsqu'on ne consid√®re qu'un seul ensemble E, qu'une seule loi de composition , et que f, d√©finie de E sur lui-m√™me, est un homomorphisme ( x, y  E et f(x)  E : f (x  y) = f(x)  f(y)) : on dit que f est un endomorphisme de (E, ).

Automorphisme
Un automorphisme r√©pond √† la m√™me situation que dans le cas de de l'endomorphisme, sauf que maintenant il est demand√© √† f d'√™tre de surcro√ģt bijective : on dit que alors f est un automorphisme de (E,).

Structures algébriques.
Les ensembles non vides munis d'une ou de plusieurs lois de composition peuvent avoir des propriétés particulières que l'on peut retrouver aussi dans d'autres ensembles munis d'autres lois. On dit que ces ensembles munis de leurs lois de composition respectives partagent la même structure, dite structure algébrique

Certaines de ces structures, d'usage courant en mathématiques, portent des noms. Telles sont, par exemple, les structures algébriques suivantes :

Groupe.
(E,) est un groupe ou possède une structure de groupe si et seulement si :

1¬į) La loi  est associative ( x, y z  E : x  (y  z) = (x  y)  z) ; 

2¬į) il existe dans E un √©l√©ment neutre e (√† gauche et √† droite) pour la loi  de composition  ( e | x : x  e = x et e  x = x) ; 

3¬į) chaque √©l√©ment poss√®de son sym√©trique  (x :  x' | x  x' = e).

Si, de plus,  est commutative,  (E, ) sera appel√© groupe commutatif ou groupe ab√©lien.

Un sous-ensemble non vide F de E muni d'une loi  est un sous-groupe de (E, ), pour le dire sommairement, si et seulement si (F, ) est un groupe. Si l'on veut √™tre plus explicite, on dira que (F, ) est un sous groupe de (E, ), si et seulement F est stable pour la loi  et si le restriction √† F de la loi  (encore not√©e ) munit F d'une structure de groupe.

Anneau.
Soit (E, ) l'ensemble E muni des lois de composition interne  et , on dira que E () est un anneau si et seulement si :

1¬į) (E, ) est un groupe commutatif; 

2¬į) la loi  est associative dans E; 

3¬į) la loi  est distributive par rapport √† la loi de composition  dans E.

S'il existe dans E un √©l√©ment neutre pour la loi . Cet √©l√©ment est appel√© unit√© de l'anneau, et l'anneau est dit d'anneau unitaire

Si la loi  est commutative dans E, on a affaire √† un anneau commutatif. 

F √©tant un sous-ensemble non vide de l'ensemble E, on dira que (F, ) est un sous-anneau de (E, ) si et seulement si  F est stable pour les deux lois  et ,  et si ces lois (ou plus pr√©cis√©ment leurs restrictions)  munissent F s'une structure d'anneau.

Corps.
Si  et  sont deux lois de composition interne d√©finies sur E, (E, ) est un corps si et seulement si :

1¬į) (E, ) est un groupe ab√©lien;

2¬į) (E, ) est un groupe;

3¬į) La loi  est distributive par rapport √† la loi  dans E.

Autrement dit, (E, ) est un corps si et seulement si (E, ) est un anneau unitaire dans lequel tout √©l√©ment diff√©rent de l'√©l√©ment neutre pour la loi  a un sym√©trique pour la loi .

On parle de corps commutatif lorsque la loi  est commutative.

Etant donn√© une sous-ensemble non-vide F de l'ensemble E, des conditions analogues √† celles qui ont  permis de d√©finir la structure de sous-anneau sont n√©cessaires pour d√©finir la structure de sous-corps : (F, ) est un sous-corps de (E, ) si et seulement si F est stable pour  et si (F, ) a une structure de corps.

Espace vectoriel.
On dit que (E, , ‚ÄĘ) un espace vectoriel sur (F, ) si et seulement si :

1¬į) La loi  est une loi de composition interne dans E telle que (E, ) soit un groupe ab√©lien; les √©l√©ments de E sont appel√©s vecteurs.

2¬į) Les deux lois  et  dotent F d'une structure de corps commutatif; les √©l√©ments de F sont appel√©s scalaires.

3¬į) La loi de composition externe ‚ÄĘ d√©finie dans F x E v√©rifie les quatre propri√©t√©s suivantes pour tout scalaire x, y et pour tout vecteur u, v-

x ‚ÄĘ (y ‚ÄĘ u) = (x  y) ‚ÄĘ u

(x  y) ‚ÄĘ u = (x ‚ÄĘ u)  (y ‚ÄĘ u)

x ‚ÄĘ (u  v) = (x ‚ÄĘ u)  (x ‚ÄĘ v)

il existe dans F un √©l√©ment neutre e pour la loi de composition externe ē (pour tout v appartenant √† E,  e ‚ÄĘ v = v ‚ÄĘ e  = v).
G, sous ensemble de E, est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel (E, , ‚ÄĘ)  sur un corps commutatif (F, ) si et seulement si : 1¬į) G est stable pour les lois  dans E et ‚ÄĘ dans E; 2¬į les restrictions √† G de ces deux lois munissent G d'une structure d'espace vectoriel sur F.
La branche des mathématiques qui étudie les espaces vectoriels s'appelle l'algèbre linéaire, en référence à certaines applications, appelées applications linéaires, dont l'étude y occupe une place importante : f est une application linéaire de E sur le corps F si elle vérifie l'égalité :
f (x ‚ÄĘu  y ‚ÄĘ v) = x ‚ÄĘ f(u)  y ‚ÄĘ f(v).
On nomme dual alg√©brique de E l'ensemble de toutes les applications de E dans F, et on le note E* (attention √† ne pas confondre cette √©criture avec celle employ√©e notamment pour nommer les ensembles de nombres auxquels on a √īt√© le z√©ro).

Un espace vectoriel (E, , ‚ÄĘ)  sur (F, ) peut aussi impliquer d'autres lois de composition. Un exemple, d'usage tr√®s courant lorsqu'on √©tudie les vecteurs sur (, + x) en est fourni par le produit scalaire (notons-le "." ) entre deux vecteurs u et v, et dont le compos√© k est un scalaire (u.v = k). Cette loi ne r√©pond ni √† la d√©finition d'une loi de composition interne, ni √† celle d'une loi de composition externe.

Un certain nombre d'autres structures alg√©briques ont √©t√© d√©finies et portent un nom : mono√Įdes, modules, alg√®bres, etc. Des ensembles munis d'une structure alg√©brique peuvent √™tre munis en m√™me temps d'une structure d'un autre type (par exemple , les groupes de Lie, associent √† la structure alg√©brique de groupe une structure g√©om√©trique; l'ensemble des entiers relatifs  peut √™tre muni en m√™me temps d'une structure alg√©brique d'anneau, par l'addition (+) et la multiplication (x), et d'une structure d'ordre total (par la relation ), etc.
.


Dictionnaire Idées et méthodes
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
[Aide][Recherche sur Internet]

¬© Serge Jodra, 2021. - Reproduction interdite.