La fonction exponentielle

La fonction exponentielle décrit une croissance ou une décroissance très rapide. Son comportement de croissance rapide, sa simplicité de dérivation et d'intégration, ainsi que sa présence dans de nombreux phénomènes naturels et artificiels en font un outil indispensable dans de nombreux domaines scientifiques et techniques. Elle se présente sous plusieurs formes. La plus générale s'écrit f : x  a^x, ou a, appelée sa base, est un réel non nul. Mais la plus courante est celle où la base est le nombre d'Euler e. On parle alors d'exponentielle naturelle.

La fonction exponentielle réelle

Propriétés de la fonction exponentielle.
Domaine et image.
Le domaine de la fonction exponentielle est l'ensemble de tous les nombres réels (-∞ < x < +∞).

L'image est l'ensemble des nombres réels strictement positifs. La fonction ne prend jamais la valeur 0 ou des valeurs négatives : autrement dit : exp⁡  : → +^*​; l'image de la fonction est l'intervalle ]0,+∞[.

Dérivée.
La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée : 

Primitive.
De même, sa primitive est elle-même :

Valeur en x = 0.
La valeur de la fonction en x = 0 est 1 : e⁰ = 1.

Croissance.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur . Plus x devient grand, plus e^x grandit rapidement.

Comportement asymptotique.
 Quand x tend vers l'infini positif (x → +∞), e^x tend également vers l'infini positif (e^x → +∞). Quand x tend vers l'infini négatif (x → -∞), e^x tend vers 0 (e^x → 0). L'axe des abscisses (x) est une asymptote horizontale pour la fonction exponentielle quand x tend vers -∞.

Propriétés algébriques.
La fonction exponentielle suit les règles habituelles des exposants :

e^a+b = e^a.e^b

e^a−b = e^a / e^b

(ea)^b = e^ab

Cette série converge pour tout réel x.

Représentation graphique.
La courbe représentative de e^x reste toujours au-dessus de l'axe des abscisses (strictement positive). Elle passe par le point (0,1) et est strictement croissante. 

La fonction exponentielle et les équations différentielles.
La fonction exponentielle intervientdans la résolution des équations différentielles linéaires, qui apparaissent dans de nombreux domaines scientifiques comme la physique, la biologie, l'économie ou l'ingénierie. Elle est la solution générale de l'équation différentielle :  y′ = ky, où k est une constante.

Équation différentielle linéaire à coefficients constants.
L'une des formes les plus courantes d'équation différentielle est :

où  y est la fonction inconnue dépendant d'une variable xx, y′ représente la dérivée de y et k est une constante réelle.

Résolution de l'équation y′=ky.
Pour résoudre cette équation, on cherche une solution de la forme y(x) = Ce^kx où C est une constante à déterminer.

1) En dérivant cette expression :  .

2) En remplaçant dans l'équation y′ = ky.

Exemple de résolution avec condition initiale.
Considérons l'équation différentielle suivante : y′=3y, avec la condition initiale y(0)=2.    La solution générale est y(x)=Ce3^x. Pour déterminer C, on utilise la condition initiale y(0)=2y(0)=2 : y(0)=Ce^3.0 = C.1 = 2  C=2.  La solution particulière est donc : y(x)=2e^3x.

Cas d'une équation différentielle d'ordre supérieur.
Les équations différentielles linéaires d'ordre supérieur font également intervenir la fonction exponentielle.

Exemple : équation différentielle homogène d'ordre 2 :

Soit l'équation : y′′−4y′+4y = 0 (y" étant la dérivée seconde de y). On suppose une solution de la forme y(x) = e^λx où λ est un paramètre à déterminer.

En dérivant : y′(x) = λe^λx , y′′(x) = λ²e^λx.

En remplaçant dans l'équation :  λ2eλx−4λeλx+4eλx=0.

Résolvons l'équation caractéristique : (λ−2)² = 0  λ = 2.

La solution générale de l'équation différentielle est alors : y(x) = (C1+C2x)e^2x, où C1​ et C² sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales.

Applications dans les sciences.
Les équations différentielles impliquant la fonction exponentielle modélisent une variété de phénomènes dans les sciences :

• Croissance exponentielle (biologie, économie). - Les modèles de croissance exponentielle décrivent des phénomènes tels que la croissance des populations, les intérêts composés ou l'accroissement des infections dans une épidémie. y′=ky  y(t) = y0e^kt. Si k > 0 : croissance (population, intérêts composés). Si k < 0 : décroissance (radioactivité, refroidissement, élimination de médicaments dans l'organisme), etc..

• Décroissance radioactive (physique) . - La loi de désintégration radioactive est donnée par : N(t)=N0.e^−λt où N0​ est la quantité initiale et λ>0 est la constante de désintégration.

• Circuit électrique (RC). - Dans un circuit avec une résistance R et un condensateur C, la charge q(t) du condensateur satisfait :

• Refroidissement de Newton (thermodynamique). - La température d'un objet refroidissant suit : T(t) = Tenv + (T0−Tenv)e^−kt,  où Tenv​ est la température ambiante.

La fonction exponentielle complexe

La fonction exponentielle complexe est une extension naturelle de la fonction exponentielle réelle à l'ensemble  des nombres complexes et est intimement liée aux fonctions trigonométriques grâce à la formule d'Euler. Elle permet de décrire des rotations et des dilatations dans le plan complexe et intervient en analyse complexe dans l'étude des fonctions analytiques.

Définition de l'exponentielle complexe.
Soit un nombre complexe z défini par : z = x + iy,ou x  et y . La fonction exponentielle complexe e^z est définie par la formule suivante : 

Ici :

• e^x est la partie réelle qui agit comme un facteur d'amplitude (un facteur d'échelle),

• e^iy est la partie purement imaginaire, qui représente une rotation dans le plan complexe.

• Le terme e^x donne, ici encore, un facteur d'amplitude (lié au module),

• Le terme cos⁡(y) + i.sin⁡(y) décrit une rotation d'angle y dans le plan complexe.

Le module de e^z est |e^z| = e^x.

L'argument de e^z est y.

Si x=0 (c'est-à-dire z = iy), alors e^iy représente une rotation sur le cercle unité d'angle y.

Propriétés de l'exponentielle complexe.
Continuité et dérivation.
La fonction exponentielle complexe est analytique sur , et sa dérivée est donnée par 

Multiplication des exposants :

Lien avec les puissances et séries.
La fonction exponentielle complexe est définie par sa série de Taylor pour tout z :

Exponentielle purement imaginaire.
Si z=iy, alors :  e^iy = cos⁡(y) + i.sin⁡(y). Autrement dit, l'exponentielle purement imaginaire est une combinaison de rotations trigonométriques.

Exemple numérique.
Soit z = 1+iπ. Calculons e^z :

1)  Appliquons la formule :  e^z = e^1+iπ = e¹.e^iπ.

2) On sait que e^iπ = cos⁡(π) + i.sin⁡(π) = −1.

3) Donc :  e^z = e¹⋅(−1) = −e.