Un objet fractal ( =  une fractale) est un objet géométrique qui présente des motifs similaires à toutes les échelles d'observation. En d'autres termes, si l'on zoome sur une partie d'un fractal, on retrouvera un motif similaire, quel que soit le niveau de zoom. Par exemple, dans une branche d'arbre fractale, chaque petite branche ressemble à l'arbre entier. C'est cette propriété que l'on appelle l'auto-similarité.

La frontière entre l'objet et son environnement devient floue, et les fractales peuvent avoir une dimension dite "fractionnaire" (d'où le terme "fractal"), ce qui signifie qu'elles ne sont pas nécessairement de dimension entière comme les lignes, surfaces ou volumes. 

La dimension fractale mesure la complexité de l'objet, qui peut être une dimension non entière. Elle reflète le fait qu'un fractal peut être "plus qu'une ligne" (1D) mais sans atteindre une surface pleine (2D). Ces notions peuvent être généralisées à des objets appartenant à des espaces d'une dimension quelconque.

Exemples de fractales.
Dans la nature.
De nombreux objets naturels possèdent des motifs qui les distinguent des formes géométriques traditionnelles et qui les rapprochent des objets fractals, bien qu'ils ne soient pas exactement auto-similaires à toutes les échelles :

• Les rivières et les montagnes, les arbres et les nuages présentent des courbes et contours irréguliers qui suivent des structures fractales. 

• Les systèmes pulmonaires et les réseaux de vaisseaux sanguins suivent des motifs qui se ramifient comme des fractales pour maximiser la surface dans un espace réduit, optimisant ainsi l'échange d'oxygène et de nutriments.

• L'ensemble de Mandelbrot  est une figure fractale par accumulation, constituée de points c du plan complexe pour lesquels la suite zn+1=zn²+c reste bornée. Il montre un motif répétitif à l'infini et présente une frontière infiniment détaillée.

• Les ensembles de Julia et de Fatou sont des fractales similaires à l'ensemble deMandelbrot, mais qui incluent de petites variationspour chaque point de départ.

• La courbe de Koch ( flocon de Koch) est formée en ajoutant , à chaque itération, des triangles à chaque segment d'une ligne, elle a une longueur infinie tout en délimitant une aire finie.

• L'arbre de Pythagore est une structure qui ressemble à un arbre, où chaque branche se divise en deux branches plus petites à chaque étape.

La dimension fractale exprime le taux auquel les détails d'un objet fractal augmentent lorsqu'on change d'échelle. Plus un objet présente de détails à des échelles fines, plus sa dimension fractale est élevée.  Une courbe fractale (à l'image du dessin des côtes de la Bretagne)peut avoir une dimension entre 1 (une ligne classique) et 2 (une surface). Une surface fractale, comme certaines formes géométriques en 3D (à l'image d'une éponge), peut avoir une dimension comprise entre 2 et 3.

Méthodes pour calculer la dimension fractale.
Il existe plusieurs manières de définir la dimension fractale d'un objet. Les méthodes les plus courantes sont la dimension de Hausdorff et la dimension de similarité. Ces méthodes sont souvent calculées de manière algorithmique pour des objets théoriques et appliquées dans des domaines comme la géométrie, la physique, et l'analyse des structures naturelles.

• La dimension de Hausdorff est l'une des définitions les plus rigoureuses de la dimension fractale. Elle repose sur une mesure mathématique appelée la mesure de Hausdorff, qui quantifie le nombre de boules (généralisation de la notion d'intervalle) nécessaires pour couvrir l'ensemble en fonction de leur taille. En pratique, la dimension de Hausdorff d'un objet est difficile à calculer directement et n'est souvent utilisée que pour des définitions théoriques.

• La dimension de similarité est plus simple à comprendre et est utilisée pour les fractales auto-similaires, c'est-à-dire les objets qui se répètent à différentes échelles. On la définit généralement par la formule suivante :

D=log⁡(N)/log⁡(S)

où  : N est le nombre de sous-parties identiques qui composent la figure lorsqu'elle est agrandie ou réduite; S est le facteur de réduction nécessaire pour obtenir ces sous-parties. Par exemple, pour le flocon de Koch, on commence avec un segment, puis on le divise en 4 segments plus petits à chaque itération, chaque segment étant 1/3​ de la longueur de l'original.  En appliquant la formule, on obtient : 

D=log⁡(4)/log⁡(3) ≈ 1,2619

Cela montre que le flocon de Koch a une dimension fractale d'environ 1,26, ce qui signifie qu'il est plus complexe qu'une simple ligne (dimension 1), mais sans couvrir complètement une surface (dimension 2). On peut montrer de la même façon que la frontière de l'ensemble de Mandelbrot (qui est une ligne) a une dimension de 2 (comme une surface), du fait de sa complexité infinie.

Au XIX^e siècle, des géographes et des mathématiciens ont souligné que la longueur des côtes (comme celles de la Bretagne, par exemple) dépendait de la précision de la mesure, augmentant à mesure que la résolution s'affinait. Cette observation, qui montre que la longueur de certaines frontières tend vers l'infini à mesure que la précision de la mesure augmente, sera un précurseur de la géométrie fractale. Georg Cantor, à la fin du XIX^e siècle, a introduit ce qu'on appelé l'ensemble de Cantor, une construction simple mais qui présente des caractéristiques fractales, en se divisant de manière infinie et en produisant un ensemble denses de points. Karl Weierstrass, en 1872, a présenté une fonction mathématique qui est continue partout mais nulle part dérivable. Cette fonction irrégulière, qui ne peut pas être représentée par une ligne lisse, possède des propriétés similaires aux fractales.Pour leur part, Giuseppe Peano et David Hilbert ont décrit, des courbes continues  (courbe de Peano, courbe de Hilbert), qui remplissent des surfaces. Ces courbes montrent comment une ligne peut occuper une surface entière, anticipant le concept de dimension fractale. Helge von Koch , en 1904, a développé une courbe dite courbe de Koch ou flocon de Koch, qui se répète en motifs auto-similaires et qui possède une longueur infinie tout en délimitant une aire finie. Elle est un des premiers exemples explicites d'objet fractal.

Il faut donc attendre les travaux de Benoît Mandelbrot, dans les années 1970, pour que  que la géométrie fractale devienne une discipline mathématique à part entière. Dans son livre Les Objets Fractals : forme, hasard et dimension (1975), Mandelbrot introduit le terme de "fractal", dérivé du latin fractus, qui signifie "brisé" ou "irrégulier", pour décrire ces formes complexes qui échappent aux dimensions entières de la géométrie classique. En éudiant les fractales sur ordinateur, Mandelbrot découvre ce qu'on appelle aujourd'hui l'ensemble de Mandelbrot en 1980, un objet visuellement captivant et complexe qui représente une fractale emblématique. L'ensemble de Mandelbrot est devenu l'image emblématique de la géométrie fractale. Mandelbrot a aussi montré que la géométrie fractale pouvait décrire des phénomènes naturels comme les côtes, les montagnes, les nuages, les systèmes vasculaires, et bien d'autres structures complexes, mettant ainsi en évidence la capacité des fractales à modéliser des phénomènes du monde réel.

L'essor de l'informatique a ensuite joué un rôle crucial dans le développement de la géométrie fractale, car ces formes complexes nécessitent souvent des calculs itératifs longs et répétés qui sont facilités par les ordinateurs. Avec l'aide des ordinateurs, les scientifiques et artistes ont pu visualiser des objets fractals en réalisant des itérations répétées de formules simples, comme dans l'ensemble de Mandelbrot et l'ensemble de Julia, une autre figure construite selon le même mode. Dans les années 1980 et 1990, la géométrie fractale a commencé à être appliquée dans divers domaines scientifiques, notamment la physique, la biologie, la météorologie, et la finance. Elle a permis d'analyser et de modéliser des structures et des phénomènes complexes, tels que les turbulences de fluides, la croissance des populations bactériennes, et les fluctuations des marchés financiers. Aujourd'hui, la géométrie fractale est reconnue comme un outil puissant pour étudier et modéliser des systèmes complexes. On trouve parmi les applications modernes de la géométrie fractale :

• Graphisme et imagerie numérique. - Les fractales sont largement utilisées dans la création de paysages, de montagnes, de nuages et d'autres effets visuels réalistes dans les jeux vidéo, les films, et la réalité virtuelle.

• Compression d'image. - Les algorithmes de compression d'image utilisent des modèles fractals pour réduire la taille des fichiers tout en préservant les détails, grâce à la répétition des motifs à différentes échelles.

• Analyse de données et intelligence artificielle. - La géométrie fractale est utilisée pour analyser des données non linéaires, par exemple dans l'analyse des structures de réseaux neuronaux et des systèmes de reconnaissance de motifs.

• Physique et sciences naturelles. - La géométrie fractale peut être utilisée pour étudier des structures naturelles comme les côtes, les nuages, lles turbulences, la géométrie des côtes, les structures de cristaux, ou même la dynamique des populations. 

• Biomédecine et biologie. -La géométrie fractale permet de mieux comprendre la structure de systèmes biologiques qui suivent des motifs de ramification fractale pour optimiser leur efficacité.

• Finance. - Certains chercheurs utilisent les fractales pour analyser les fluctuations (dont les graphiques présentent parfois des motifs auto-similaires) et la volatilité des marchés.