Euler

Leonhard Euler (1707-1783).

Après avoir vainement tenté de se faire une place à l'université de Bâle, Euler partit à vingt ans pour la Russie ; il avait déjà fait imprimer une Dissertatio physica de sono (Bâle, 1727, in-4). Nommé dès l'abord membre adjoint de l'Académie de Saint-Pétersbourg pour les hautes mathématiques, il fut chargé en 1730 de la chaire de physique théorétique et expérimentale, puis en 1733 de celle de haute mathématique, où il remplaça Daniel Bernoulli, qui retournait à Bâle. La même année, il épousait une de ses compatriotes, Mlle Gsell, fille d'un peintre amené en Russie par Pierre le Grand. Deux ans après, il perdait un oeil à la suite d'une maladie. Appelé à Berlin par Frédéric II, qui lui offrait une chaire de mathématiques, il s'y rendit en 1741, avec un congé du gouvernement russe qui continua de lui payer ses honoraires d'académicien. On connaît sa réponse à la reine-mère de Prusse, qui, lorsqu'il lui fut présenté, s'étonnait de ne tirer de lui que des monosyllabes : 

« Madame, je viens d'un pays où, quand on parle, on est pendu. » 

Notons que ses Lettres à la princesse d'Anhalt-Dessau obtinrent un grand succès, dû surtout à leur clarté, car leur style laisse à désirer, Euler ne maniant qu'imparfaitement la langue française. On y trouve une heureuse exposition des conceptions physiques du XVIII^e siècle avec des incursions sur le terrain propre de la philosophie. La plus remarquable consiste dans une représentation géométrique des figures du syllogisme; en métaphysique, Euler combat le système de Leibniz (des wolfiens) sans d'ailleurs faire preuve réelle d'originalité. Cet ouvrage a été plusieurs fois réimprimé, notamment à Paris en 1787, par les soins de Condorcet, qui eu a retranché les passages antiphilosophiques; par Labey en 1812, par Cournot en 1842, par  Saisset en 1843.
-

Les Lettres à une princesse d'Allemagne, d'Euler.

Profondément religieux, pratiquant rigide, il défendit la révélation contre les libres penseurs et prétendit démontrer en forme l'immatérialité de l'âme. Mais il appartenait à un âge où le même homme ne pouvait plus, comme aux temps de Descartes et de Leibniz, atteindre à la fois le premier rang en philosophie et en mathématiques. L'étendue et la variété des travaux d'Euler rendent difficile de caractériser dans tous ses détails l'importance du rôle qu'il a joué dans l'intervalle qui sépare les Bernoulli de Lagrange. Avant l'apparition de ce dernier auquel il a préparé l'invention du calcul des variations, il n'a de rival que d'Alembert, auquel il dispute celle du calcul aux différentielles partielles (Le Calcul différentiel).

Euler se montre surtout analyste, substitue de plus en plus le symbolisme algébrique aux considérations géométriques, et en s'occupant de démontrer les propositions de Fermat sur la théorie des nombres, ouvre un nouveau domaine des mathématiques pures. 

Dans les applications à la physique, il est moins heureux et semble chercher souvent des occasions de calcul à la suite d'hypothèses précaires; il défendra, par exemple, le principe de la moindre action de Maupertuis, au moyen de développements qui n'ont d'intérêt qu'au point de vue analytique.

Comme homme, Euler montra un caractère des plus estimables; simple de moeurs, exempt de toute jalousie, fuyant les disputes scientifiques, il termina sa vie en véritable patriarche, entouré et admiré de ses élèves et de sa famille. Son caractère était gai et tourné à la plaisanterie; on dit qu'il se délassait des ses travaux en assistant au spectacle des marionnettes, avec le même plaisir qu'un enfant. (T.).
-

Leonhard Euler, par Emanuel Handmann.

Euler dans le texte.
Le nom d'Euler reste attaché à un grand nombre de formules et de théories mathématiques; nous allons passer en revue les principales.

Constante d'Euler. 
Ce nombre célèbre, aussi appelé constante d'Euler-Mascheroni (à ne pas confondre avec le nombre d'Euler e = 2,71828..., qui est la base du logarithme naturel), est la limite vers laquelle tend la différence :

augmente indéfiniment. On le représente généralement par  (gamma). Euler a donné la valeur : 

= 0,5772156649015325

Plus tard, le calcul de  a été poussé par Mascheroni  juqu'à la 32^e décimale (mais avec une erreur à partir de la 20^e), et par Shanks jusqu'à la 80^e décimale, qui a montré notamment que la dernière décimale, 5, de la valeur trouvée par Euler, doit être remplacée par un 8.

Méthode d'Euler  pour l'intégration des équations sans second membre et à coefficients constants.
Etant donné le système 

Les constantes , , ,... se trouvent alors déterminées par un système d'équations du premier degré. Cette méthode fait connaître autant de solutions particulières qu'il y a de valeurs distinctes de

Transformation d'Euler. 
Étant donnée l'équation aux dérivées partielles :

dans laquelle ,  désignent des fonctions quelconques, si l'on change de variables en formant les intégrales 

dy + dx = 0, dy + dx = 0, 

et, prenant ,  pour nouvelles variables, l'équation se ramène à la forme :

Formule sommatoire d'Euler. 
Étant donnée une fonction f(x), si l'on veut trouver une autre fonction F(x) qui admette f(x) pour différence finie, c.-à-d. qui s'accroisse de f(x) lorsque x éprouve l'accroissement arbitraire x, il suffit de former l'expression :
-

x₀ désignant une valeur initiale arbitraire de x. La solution générale du problème s'obtient en ajoutant à F(x) une fonction de x assujettie seulement à admettre la période x. Les coefficients de x, x³, x⁵, etc., respectivement multipliés par 1. 2, par 1. 2. 3. 4, par 1. 2. 3. 4. 5. 6, etc., fournissent les nombres de Bernoulli.

Equation d'Euler. 
Euler, le premier, a donné l'intégrale algébrique de l'équation

Droite d'Euler.
C'est la droite joignant, dans un triangle quelconque, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et le point de concours des hauteurs.

Transformation des coordonnées. 
Euler a établi des formules classiques qui fixent la position de trois axes de coordonnées rectangulaires O x' y' z' par rapport à trois axes semblables O x y z ayant même origine O. Dans ces formules figurent trois éléments indépendants, qui sont, d'une part les angles  et  formés avec ox' et avec ox par l'intersection des plans x'oy' et xoy, d'autre part l'angle  des droites oz, oz'. En appelant a, b, c les cosinus des angles que forme ox' avec ox, oy, oz; a', b', c' et a", b", c" les cosinus analogues relatifs à oy' et oz', les formules d'Euler sont :

Ces formules s'établissent facilement en remarquant que trois rotations successives, l'une, égale à , autour de oz; la seconde, égale à , autour de ox; la dernière, égale à , autour de oz', amènent la coïncidence des deux systèmes d'axes.

Courbure des surfaces.
On doit à Euler la formule fondamentale :

qui exprime la courbure 1/R d'une section normale en fonction des deux courbures principales 1/R₁, 1/R₂ et de l'angle  formé par la tangente à cette section normale avec l'une des directions principales. (L. Lecornu).

En librairie. - Euler a composé, en outre de ses ouvrages imprimés à part, 473 mémoires dans les Comment. Acad. Petro. de 1729 à 1747, dans les Nova Comment. Petrop. de 1750 à 1776, dans les Nova Act. Petrop. de 1777 à 1780, dans les Misceli. Berol. de 1743, dans les Mémoires de Berlin, de 1745 à 1776, dans les Mém. Par. de 1765 et 1778, dans les pièces couronnées par l'Académie de Paris de 1738 à 1772, dans les Miscell. Taurin. (1760-1765), dans les Acta Erudit. (1738 à 1773); 200 autres ont été publiés depuis sa mort dans les Act. Petrop. de 1783 à 1802 et dans les Mémoires de l'Académie de Saint-Pétersbourg de 1809 à 1830. Il en restait encore 61 inédits, dont la publication a été commencée en 1849 par P.-H. et N. Fuss (Commentationes arithmeticae collectae).  Le premier, secrétaire perpétuel de l'Académie de Saint Pétersbourg,  a également publié  : Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIe siècle, précédée d'une notice sur les travaux de Léonard Euler tant imprimés qu'inédits (SaintPétersbourg, 1843).  Les ouvrages parus à part sont, en dehors de ceux que nous avons déjà cité : Tentamen novae théoriae musicae (Petrograd, 1729, in-4, rééd., 1734 et 1739); Mechanica sive motus scientia analytice exposita (Petrop., 1736, 2 vol, in-4; rééd. 1742); Einleitung in die Arithmetik (Saint-Pétersbourg, 2 vol. in-8); Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, seu solutio problematis isoperimetrici, latissimo sensu accepti (Lausanne, 1744, in-4); Theoria motuum planetarum et cometarum (Berlin,1744, in-4) Beantwortung verschiedene Fragen über der Beschaffenheit, Bewegung and Wirkung der Cometen, (Berlin, 1744, 2 vol. in-8); une traduction allemande avec commentaire, des Nouveaux Principes d'artillerie de l'Anglais Robins (1745, in-8;) en français dans l'édition de Lombard (Dijon, 1883); Opuscule varii argumenti (Berlin, 1766, 3 vol. in-4); Gedanken von den Elementen der Körper (1746, in-4); Rettung der gottlichen Offenbarung gegen der Freygeister (1747, in-8); Introductio in analysin infinitorum (Lausanne, 1748, 2 vol., in-4) ; Scientia navalis sou tractatus de construendis et dirigendis navibus (Petrop., 1749, 2 vol. in-4) ; Theoria motus lunaris (Berlin, 1753, in-4) ; Dissertatio de principio minimae actionis una cum examine objectionum cl. pr. Koenigii (1753, in-8); Institutions calculi differentialis (1755, in-4); Constructio lentium objectivarum (Petrop., 1762); Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Rostock, 1765, in-4); Institutiones calculi integralis (Petrop., 1768-1770, 3 vol., in-4; les éditions ultérieures, contiennent d'importants suppléments); Lettres à une princesse d'Allemagne sur quelques sujets de physique et de philosophie (Saint-Pétersbourg, 1768-1772, 3 vol. in-8); Vollstündige Anleitung zur Algebra (1770, 2 vol.); Dioptrica (1770-1770-1771, 3 vol. in-4); Novae Tabulae lunares (1772, in-4) Theoria motuum lunae nova methodo pertracta (1772, in-4); Théorie complète de la construction et de la manoeuvre des vaisseaux (1773, in-8); Opuscula anatytica (1783 et 1785, 2 vol. in-4); Arithmétique raisonnée et démontrée (posthume; Berlin, 1792).

Il a collaboré à différents des derniers travaux de son père et à la Théorie de la lune de Krafft et Lexell. Il a laissé en outre une trentaine de mémoires, insérés dans les Mém. Berlin (1755 à 1766), les recueils de l'Académie de Bavière (1764-1768), de Saint-Pétersbourg (1755-1775), etc. Cinq ont été couronnés par la société de Goettingen, l'Académie de Saint-Pétersbourg, et celle de Paris (Sur l'Arrimage des vaisseaux, en 1761). (GE).