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Archimède
est un mathématicien né a Syracuse
vers 287 av. J.-C., mort en 212 Ã la prise de sa ville par les Romains.
Son père, Phidias, dont il parle dans l'Arénaire, s'occupait assez
de mathématiques pour chercher à évaluer
la distance de la Terre
à la Lune .
Archimède paraît cependant avoir étudié à Alexandrie
, où il aurait été l'élève d'Euclide ( École
mathématique et astronomique d'Alexandrie), et aurait commené déjÃ
à se signaler par ses découvertes. Il trouva, dit-on, le moyen de dessécher
les marais de l'Égypte
et raffermit les terres voisines du Nil par des digues inébranlables.
De retour à Syracuse, on sait qu'il se rendit célèbre à la cour par
ses inventions mécaniques, qu'il fut employé par le roi Hiéron comme
ingénieur pour la fabrication d'engins de guerre, et qu'il fut l'âme
de la défense de Syracuse contre les Romains. Il consacra ainsi ses talents
à la défense de sa ville, assiégée par Marcellus, et prolongea trois
ans sa résistance (215-212) : tantôt il élevait les vaisseaux ennemis
dans les airs à l'aide de ses constructions mécaniques, et les laissait
ensuite retomber sur les rochers ou ils se brisaient; tantôt il les incendiait,
paraît-il, avec des miroirs ardents. Enfin pourtant, les Romains pénétrèrent
par surprise dans la ville. Archimède, tout occupé de la solution d'un
problème, aurait trop tardé à suivre un soldat qui venait pour le prendre
: celui-ci, sans vouloir attendre, l'aurait tué aussitôt (212). Marcellus,
qui aurait voulu l'épargner, lui éleva un tombeau.
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Le
levier d'Archimède...
La légende s'est
attachée à ses merveilleuses inventions, comme aussi à l'ardeur avec
laquelle il s'appliquait à ses recherches, sans se laisser distraire par
rien; on en a fait la cause de sa mort, comme on vient de le voir, aussi
bien que le sujet d'anecdotes célèbres. On attribue aussi à Archimède
des phrases dont la paternité pourrait sans doute lui être disputée.
Ainsi, Archimède aurait eu une telle foi dans la puissance du levier qu'il
aurait dit-:
"Donnez-moi
un point d'appui, et je soulèverai le monde."
Et pour exprimer combien
il était enthousiaste de la science, on raconte qu'ayant trouvé, pendant
qu'il était au bain, la solution d'un problème d'aréométrie, il serait
sorti du bain tout nu et courant par la ville en criant :
"Je
l'ai trouvé!" (Eurêka!, en grec).
Quoi qu'il en soit de
ses
trouvailles, Archimède n'écrivit rien sur la mécanique pratique, sauf
un traité perdu, sa Sphéropée (Sphaeropoeïa), où il
décrivait un appareil formé de sphères de verre, emboîtées les unes
dans les autres et mues hydrauliquement, qui représentait le système
du monde, semble-t-il d'après la conception d'Eudoxe.
Cicéron
le regardait comme une des inventions qui font le plus d'honneur à l'esprit
humain, et Claudien
l'a célébré dans des vers (Epigramma LXVIII) souvent cités :
Jupiter,
in parvo quum cerneret aethera vitro,
Risit, et ad superos
talia verba dedit :
Huccine mortalis
progressa potentia curae?
Jam meus in fragili
luditur orbe labor.
C'est peut-être de
cet ouvrage qu'ont été tirés les nombres que lui attribuent Macrobe
et les Philosophumena, comme représentant les distances de la Terre
aux planètes
et aux fixes; ces nombres, d'ailleurs passablement corrompus, n'ont aucune
valeur scientifique.
Il ne nous reste
qu'une partie des écrits théoriques d'Archimède; mais à la différence
de ce qui se présente pour Euclide et Apollonius,
nous ayons certainement la partie la plus considérable et la plus importante
de son oeuvre; de plus, les travaux d'Archimède sont absolument originaux;
il expose toujours des théories nouvelles au lieu d'en remanier d'anciennes,
comme c'est le cas dans les Eléments et dans les Coniques.
Cette circonstance le rehausse singulièrement et ajoute à l'auréole
qui s'est formée autour de son nom. La première édition d'Archimède
a été publiée à Bâle
en 1544; celle de Torelli (Oxford, 1792) a effacé
toutes les précédentes, comme elle a été effacée à son tour par celle
qu'Heiberg a publiée à Leipzig à la fin
du XIXe siècle. Les écrits qu'elle comprend
sont les suivants, d'après l'ordre chronoloqique :
1° Premier
livre de l'Equilibre des plans. Principe
de la composition des forces
parallèles, centre de gravité; principes généraux, application aux
triangles,
aux parallélogrammes, aux trapèzes;
2° Quadrature
de la parabole. Aire d'un segment de parabole,
déduite d'un raisonnement fondé sur les
principes de statique; seconde démonstration
purement géométrique. Archimède n'employait pas au reste le terme de
parabole;
3° Second livre
de l'Équilibre des plans. Centre de gravité du segment de parabole
complet ou tronqué;
4° Sur la sphère
et le cylindre, deux livres. Surfaces des cônes, des cylindres et de la
sphère. Leurs volumes. Zones, secteurs et segments sphériques;
5° Sur les spirales.
Définition de la spirale d'Archimède, tangente
et quadrature;
6° Sur les conoïdes
(paraboloïdes et hyperboloïdes à une nappe
de révolution) et les sphéroïdes (ellipsoïdes de révolution).
Sections planes, plans tangents, cubatures;
7° Mesure du
cercle (paraît un extrait d'un traité plus considérable sur la circonférence
du cercle). Le rapport
de la circonférence au diamètre est compris
entre 3 1/7 et 3 10/71.
8° Arénaire.
Opuscule dédié au fils d'Hiéron, Gélon (mort en 246), et où Archimède
cherche une limite supérieure au nombre des grains de sable contenus dans
une sphère d'un diamètre valant 100 000 000 de fois celui de la Terre ,
c.-à -d. dépassant la grandeur du monde tel que se le figuraient les Anciens
(V. plus bas). Ingénieuse illustration d'un système de numération susceptible
d'être appliqué aux plus grands nombres et qu'Archimède avait exposé
déjà dans un ouvrage perdu, les Principes, dédié à un Zeuxippe.
Les traités numérotés
1, 3, 4, 7 nous sont parvenus accompagnés des commentaires d'Eutocius;
2, 4, 5, 6 sont dédiés à Dosithée, ami du géomètre Conon,
avec lequel il s'était lié à Alexandrie
et auquel il avait envoyé des ouvrages précédents, qui sont perdus;
9° il reste
enfin, seulement en latin, les deux livres Des corps flottants,
où est exposé le principe hydrostatique d'Archimède ,
suivi de recherches sur l'équilibre de segments sphériques et de segments
de paraboloïde de révolution plongés dans l'eau.
La théorie du métacentre s'y trouve de fait. Un recueil de lemmes, traduit
de l'arabe, et joint à ses oeuvres, est certainement apocryphe, mais plusieurs
propositions concernent des travaux perdus d'Archimède.
Les auteurs arabes attribuent
encore à Archimède divers écrits que nous n'avons pas et sur l'authenticité
desquels on ne peut dès lors se prononcer. Pappus
(V) donne assez de détails sur la théorie des treize polyèdres semi
réguliers dont l'invention appartient au géomètre de Syracuse;
enfin on lui attribue une épigramme, proposant un problème dit des boeufs
du Soleil ,
et dont l'authenticité a été vivement contestée. Ce problème se ramène
à la solution en nombres entiers de l'équation indéterminée :
x² - 2.3.7.11.29.353y²
= 1,
où y doit d'ailleurs
être divisible par 2.4657. Le nombre demandé aurait 206,545 figures,
s'il était possible de le calculer. La proposition de problèmes impossibles
paraît d'ailleurs avoir été dans le caractère d'Archimède. Comme écrits
perdus, en outre de ceux déjà indiqués, on peut citer : un Ephodion
commenté par Théodose de Tripoli, et concernant
probablement les méthodes mathématiques; un
livre Sur les leviers, précédant ceux de l'Équilibre des plans;
un ouvrage de Catoptrique, où il parlait de la réfraction
et sans doute aussi des miroirs ardents, ce qui a donné naissance à la
légende sur la flotte romaine
incendiée par de tels miroirs.
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Archimède,
imaginé par J. de Ribera.
Les inventions mécaniques
que lui attribuent les témoignages les plus autorisés sont : la vis dite
d'Archimède, imaginée pour vider la sentine d'un navire monstre construit
pour Hiéron, et qui fut décrit par un auteur nommé Moschion; la vis
sans fin et les moufles, employées, suivant la légende, pour faire conduire
à la mer ce navire par un seul homme. Lui sont également attribuées
les inventions de la poulie mobile et de la vis creuse, qu'il aurait employée
à dessécher les marais du Nil. On l'a fait, dans un tout autre ordre
d'idées, l'inventeur d'un jeu, le loculus Archimedius, analogue
à un casse-tête chinois. II faut remarquer que le second livre des Corps
flottants semble avoir pour but la recherche d'effets paradoxaux obtenus
en immergeant de différentes façons des segments de paraboloïdes.
La fin tragique d'Archimède,
la célébrité de ses engins de guerre et de ses autres inventions, l'ont
rendu le géomètre de l'Antiquité
le plus fameux aux yeux des profanes. Il nous apparaît en tout cas, au
point de vue théorique, comme le créateur de la statique et de l'hydrostatique;
comme le seul Ancien qui ait abordé les questions de quadrature
et de cubature; comme le premier qui ait considéré
les surfaces de révolution du second degré.
Ses connaissances dans la théorie
des nombres paraissent avoir été très étendues,
mais elles restent un mystère pour nous. La découverte géométrique
dont il fut le plus fier semble avoir été son théorème
sur la sphère et le cylindre
circonscrit, théorème dont la figure fut gravée sur son tombeau sans
autre inscription. (Paul Tannery). |
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Archimède,
astronome.
C'est dans son Arénaire
qu'Archimède témoigne surtout de ses connaissances astronomiques. L'auteur
expose, dès le début, l'objet de ce traité :
"Il est,
dit-il, des personnes qui pensent que le nombre des grains de sable est
infini.
Je ne parle point du sable qui est autour de Syracuse,
ni de celui qui est répandu dans le reste de la Sicile ;
je parle du sable qui pourrait se trouver, non seulement dans toutes les
régions habitées, mais encore dans les régions inhabitées. Quelques
un croient que le nombre de grains de sable n'est pas infini, mais qu'il
est impossible d'en donner un nombre plus grand [1].
Si ceux qui pensent ainsi se représentaient un volume de sable qui fût
égal à celui de la Terre ,
qui remplît toutes ses cavités et les abîmes de la mer, et qui s'élevât
jusqu'aux sommets des plus hautes montagnes, il est évident qu'ils seraient
bien moins persuadés qu'il pût exister un nombre qui surpassât celui
des grains de sable. Quant à moi, je vais faire voir par des démonstrations
géométriques que, parmi les nombres dénommés par nous dans les livres
adressés à Zeuxippe, il en est qui excèdent le nombre des grains d'un
volume de sable égal, non seulement à la grandeur de la Terre, mais encore
à celui de l'univers."
Archimède prend ici,
pour point de départ, l'étendue qu'Aristarque
de Samos avait
donnée au monde. Le système qu'il emploie pour exprimer un nombre quelconque
se rapproche beaucoup de la simplicité de notre arithmétique
arabe ou indienne. On a même cru trouver dans ce système la première
idée des logarithmes; mais c'est peut-être
aller trop loin. On voit, il est vrai, dans l'Arénaire, deux progressions,
l'une arithmétique et l'autre géométrique : la première sert à trouver
un terme quelconque de la seconde. Mais c'est une pure spéculation,
ayant pour but de montrer comment on pourrait étendre indéfiniment la
suite des nombres; jamais Archimède n'a songé à s'en servir dans les
calculs
ordinaires pour changer la multiplication
en une addition, et la division
en une soustraction. N'exécutant aucun calcul,
il se borne à indiquer de quel ordre doit être le produit de deux termes
quelconques de sa progression géométrique dont la raison est 10; et,
pour plus de facilité dans ses opérations, il ajoute constamment au résultat
du calcul ce qui lui manque pour être un multiple d'une puissance parfaite
de 10. Quoi qu'il en soit, sa méthode est extrêmement ingénieuse. Et
c'est principalement à son Arénaire, ainsi qu'à son commentateur
Eutocius,
que nous somme redevables de tout ce que nous savons de plus précis sur
l'arithmétique des Grecs.
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[1]
Il
y avait là une sorte de contradiction, car l'infini est précisément
ce qui ne peut être exprimé par aucun nombre, et devant lequel toutes
les quantités déterminées s'évanouissent.
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Il
y a dans l'Arénaire un passage qui contient un procédé pour mesurer
le diamètre apparent du Soleil .
Voici ce passage remarquable :
"J'ai essayé
moi-même, dit Archimède, de prendre avec des instruments l'angle
qui comprend le Soleil et qui a son sommet à l'oeil de l'observateur;
et ensuite un autre angle, qui ne soit pas plus petit que celui qui comprend
le Soleil, et qui a aussi son sommet à l'oeil de l'observateur. [Voici
maintenant la description du procédé :] J'ai placé d'abord, dit l'auteur,
une longue règle sur une surface plane, élevée dans un endroit d'où
l'on pût voir le Soleil levant. Aussitôt après le lever
du Soleil, je posai perpendiculairement sur cette règle un petit cylindre;
puis je dirigeai la règle vers le Soleil, l'oeil étant à l'une de ses
extrémités, et le cylindre étant placé entre le Soleil et l'oeil de
manière qu'il cachât entièrement l'astre. J'éloignai ensuite le cylindre
de l'oeil jusqu'à ce qu'on vît un mince filet de lumière déborder les
côtés du cylindre [...]. Si notre vue (représentée
par l'oeil) n'était qu'un point, il suffirait
de mener, du lieu de la vue, des lignes tangentes
aux côtés du cylindre; l'angle compris entre ces lignes serait un peu
moindre que le diamètre du Soleil. Mais, comme
nos deux yeux ne sont pas un point unique, j'ai pris un autre corps rond,
non moindre que la vue (l'intervalle entre les deux prunelles), puis, mettant
ce corps à la place de la vue au bout de la règle, et menant des lignes
tangentes aux deux corps dont l'un était cylindrique, j'ai pu obtenir
l'angle qui comprend le diamètre du Soleil. Or, voici comment on détermine
le corps qui n'est pas moindre que la vue. On prend deux cylindres égaux,
l'un blanc et l'autre noir. On les place en avant, le blanc plus loin,
l'autre tout près, de manière qu'il touche au visage de l'observateur.
Si ces deux cylindres sont moindres que la vue (l'espace interoculaire),
le cylindre voisin ne cachera pas en entier le cylindre éloigné, et l'on
apercevra des deux côtés quelque partie blanche du cylindre éloigné.
On pourra ainsi, par divers essais, trouver des cylindres de grandeur telle
que l'un soit exactement caché par l'autre. On aura donc la mesure de
notre vue et un angle qui ne soit pas plus petit que le diamètre (apparent)
du Soleil. Ayant enfin porté ces angles sur un quart de cercle, j'ai trouvé
que l'un était moins que 1/164, et l'autre plus que 1/200. Il est donc
démontré que le diamètre (apparent) du Soleil n'est pas moins que 90°/164,
et qu'il est plus que 90°/200."
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Ainsi, d'après Archimède,
le diamètre apparent du Soleil
a moins que 32' 56" et plus que 27' 00, ce qui est parfaitement exact.
Le passage que nous
venons de citer offre un triple intérêt. Premièrement, il montre l'état
de la science au IIIe siècle avant notre
ère : on ne possédait alors aucun instrument capable de donner à cinq
ou six minutes près (limite des résultats présentés) le diamètre apparent
du Soleil. Secondement, il met en relief la rigueur que l'on cherchait
à atteindre en se préoccupant de l'espace interoculaire ou de la différence
des objets vus avec un seul oeil ou avec les deux yeux. Troisièmement,
on y voit les angles observés ou les cordes de ces angles porter sur un
quart
de cercle. Mais Archimède ne parle pas de la division de cet arc;
il donne seulement à entendre que l'une des cordes
y ayant été portée deux cents fois, l'arc se trouvait épuisé, et que
l'autre corde ne pouvait s'y placer que cent soixante-quatre fois. (F.
Hoefer).
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William
Noel, Reviel Netz, Le
codex d'Archimède, JC Lattès, 2008.
- Le 29 octobre 1998, la Une du New York
Times exhibait un livre absolument repoussant
qui avait été vendu 2 000 000 $ chez Christie's. C'était le livre de
prières d'un prêtre médiéval, noirci par le feu, abîmé par l'eau
et rongé par la moisissure. Mais sous les prières était enfoui le manuscrit
unique de l'un des plus grands mathématiciens
qui ait jamais existé : Archimède de Syracuse.
Voici l'histoire du plus grand codex scientifique aujourd'hui en notre
possession : le Palimpseste d'Archimède. Agé de plus de mille
ans, ce codex a bravé toutes les tempêtes. Effacé, réécrit, malmené,
puis laissé à l'abandon dans la bibliothèque
d'un vieux monastère, il a navigué entre
les croisades, les guerres sanguinaires
et franchi les mers et les océans. Découvert en 1906, il fut brièvement
étudié, puis oublié de nouveau pendant presque un siècle avant de réapparaître
à la vente aux enchères de 1998. Ce n'est qu'aujourd'hui que, grâce
à des techniques d'imagerie numériques avancées, les textes cachés
furent enfin mis en lumière, révélant d'étonnantes découvertes qui
ont bouleversé notre compréhension de l'histoire des sciences. Il apparaît
qu'Archimède était en droit de crier «Eurêka !» bien plus souvent
que nous le pensions. Entre l'enquête et l'épopée, la romance et la
science, l'histoire du Palimpseste est
unique. Reviel Netz et William Noël, deux hommes dévoués à son étude
depuis sa vente en 1998, nous racontent l'épopée de ce grand livre et
les bouleversements scientifiques qu'il a provoqués. (couv.). |
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