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La multiplication

La multiplication a pour but, étant donnés deux nombres appelés, le premier multiplicande, et le deuxième multiplicateur, de trouver un troisième nombre, appelé produit, qui soit formé avec le premier comme le deuxième est formé avec l'unité. Par conséquent, multiplier 20 par 5, c'est chercher un nombre qui renferme 5 fois le multiplicande 20 puisque le multiplicateur 5 est formé de 5 fois l'unité. La multiplication n'est donc autre chose qu'une addition dans laquelle les nombres à ajouter sont égaux entre eux. C'est pourquoi on peut dire qu'elle consiste à répéter le multiplicande autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicateur. Le multiplicande et le multiplicateur prennent la dénomination générale de facteurs du produit.

Le signe de la multiplication est X ou un simple point. Ainsi 45X3 ou 45.3 s'énonce 45 multiplié par 3. Quand le produit se compose de plusieurs facteurs, comme l'expression 2X3X4X5, on l'énonce 2 multiplié par 3, multiplié par 4, etc.; ce qui signifie qu'après avoir multiplié 2 par 3, on devra multiplier par 4 le produit obtenu, puis multiplier ce nouveau produit par 5. II peut arriver que tous les facteurs d'un produit soient égaux entre eux, comme 5X5X5X5. Dans ce cas particulier, le produit prend le nom de puissance de 5. Le nombre des facteurs égaux se nomme le degré ou l'exposant de la puissance, et, par abréviation, on écrit 5 puis4, au lieu de 5X5X5X5.

Preuve de la multiplication - En général, pour vérifier si une multiplication a été bien faite, on intervertit l'ordre des facteurs; le produit doit être le même dans ce deuxième cas que dans le premier. Cependant, comme un peut commettre dans les deux opérations des erreurs de même nature, cette preuve ne donne pas la certitude absolue que le produit est exact. En traitant des caractères de divisibilité des nombres, nous en avons donné une qui doit mériter un plus grand degré de confiance.
La multiplication comprend plusieurs cas que nous examinerons successivement.
Multiplication d'un nombre d'un seul chiffre par un autre nombre d'un seul chiffre. - Ce cas est le plus simple de tous. On pourrait le résoudre en faisant une addition; mais il est préférable et plus rapide d'apprendre par coeur tous les produits composés de deux facteurs d'un seul chiffre. Tous ces produits sont réunis dans la table ci-jointe, qu'on appelle Table de multiplication ou Table de Pythagore, du nom du philosophe auquel est attribuée son invention.

Pour trouver, à l'aide de celle table, le produit de deux nombres d'un seul chiffre, on suit la colonne verticale qui commence par l'un des deux facteurs, et l'on s'arrête au nombre qui se trouve dans la colonne horizontale commençant par l'autre facteur. Ainsi, par exemple, si l'on me demande le produit de 7 par 5, je trouve dans la 7e colonne verticale le nombre 35 qui correspond au chiffre 5 de la colonne horizontale.
Mais je remarque que j'obtiens le même nombre lorsque je veux multiplier 5 par 7 ou 7 par 5. Il est donc évident que je puis prendre à volonté l'un quelconque des deux nombres donnés soit pour multiplicande, soit pour multiplicateur. Cette conclusion toutefois ne s'applique pas seulement aux nombres formés d'un seul chiffre, elle est exacte leur tous les nombres quelconques qu'on peut se proposer de multiplier; d'où le théorème général, qu'il est facile de vérifier par l'expérience : un produit ne change pas quand on intervertit l'ordre de ses facteurs.

 Multiplication d'un nombre de plusieurs chiffres par un nombre d'un seul chiffre. - Soit à multiplier 486 par 3. Le produit cherché doit être la somme de 3 nombres égaux à 486. On écrit le multiplicateur au-dessous du multiplicande et l'on souligne.

Alors on répète 3 fois chacune des unités d'espèce différente dont se compose le multiplicande, en disant : 3 fois 6 unités font 18 unités, et l'on écrit 8 unités sous la colonne des unités, en retenant 4 dizaine; 3 fois 8 dizaines font 24 dizaines, et 1 dizaine retenue font 25 dizaines, et l'on écrit 5 dizaines sous la colonne des dizaines, en retenant 2 centaines; 3 fois 4 centaines font 12 centaines, et 9 centaines retenues font 14 centaines, et l'on écrit 4 centaines et 1 mille. Le produit est 1458.
Règle : Pour multiplier un nombre quelconque par un nombre d'un chiffre, on multiplie successivement, en allant de droite à gauche, chacun des chiffres du multiplicande par le multiplicateur; on écrit le chiffre des unités de chaque produit partiel, et l'on retient les dizaines pour les ajouter au produit suivant. On commence l'opération par la droite; la raison en est la même que pour l'addition.


Multiplication d'un nombre par un autre nombre composé d'un chiffre suivi d'un ou de plusieurs zéros. - Si l'on demande de multiplier 825 par 10, il suffira de se rappeler que, dans notre système de numération, un chiffre prend une valeur 10 fois plus grande à mesure qu' on l'avance vers la gauche, pour voir que l'on aura le produit cherché en plaçant un zéro à la droite du multiplicande, 8250. Par là, en effet, on rend 10 fois plus grande chacune des collections d'unités dont il est composé, c'est-à-dire on change ses en dizaines, ses dizaines en centaines, etc. Par la même raison, on multipliera par 100, par 1000. etc., un nombre quelconque, en plaçant à sa droite 2 zéros, 3 zéros, etc. Soit maintenant à multiplier 874 par 400. Ici le chiffre significatif du multiplicateur étant différent de l'unité, l'opération se décompose en deux autres. On multiplie d'abord le multiplicande par le chiffre significatif 4, d'après la règle du paragraphe B, et ensuite on multiplie le produit obtenu par 100, comme il vient d'être dit, en écrivant 2 zéros à sa droite.

Règle : Pour multiplier un nombre par un nombre formé d'un chiffre quelconque suivi d'un ou de plusieurs zéros, on multiplie le multiplicande par le chiffre donné, et l'on ajoute à la droite du produit autant de zéros qu'il y en a dans le multiplicateur. 874 X 400 = 349600.
Multiplication de deux nombres quelconques. - On propose de multiplier 4352 par 763. Après avoir écrit le multiplicateur au-dessous du multiplicande, nous remarquons qu'il s'agit tout simplement de répéter le multiplicande 763 fois, ce qui peut se faire en le répétant 3 fois, 60 fois, plus 700 fois. La première de ces opérations donne le produit partiel 13056, que nous écrivons au-dessous du trait horizontal. Pour répéter le multiplicande 60 fois, il suffit de le multiplier par 6, ce qui donne 26112; puis d'ajouter un zéro, ce qui revient à considérer le produit partiel comme exprimant des dizaines. On l'écrit donc de manière que son premier chiffre 2 se trouve placé dans la colonne des dizaines. Enfin, pour répéter le multiplicande 700 fois, on le multiplie de même par 7, ce qui donne le produit 30464, et l'on fait exprimer des centaines au produit obtenu en plaçant son premier chiffre 4 dans la colonne des centaines. L'addition de ces trois produits partiels donne le produit cherché 3 329 576.
Règle : Pour multiplier deux nombres quelconques, on multiplie le multiplicande successivement par chacun des chiffres du multiplicateur, en ayant soin d'écrire le premier chiffre de chaque produit partiel sous le chiffre du multiplicateur qui l'a fourni; enfin on fait la somme des produits partiels.
Lorsqu'il y a des zéros entre les chiffres significatifs du multiplicateur, comme ils ne donnent aucun produit, on les passe, en observant de placer dans le rang qui leur convient les unités du produit résultant du chiffre significatif écrit à la gauche de ces zéros.

Multiplication de nombres terminés l'un et l'autre par des zéros. - Soit à multiplier 46000 par 5400. Je remarque que 46000 = 46X1000 et que 5400 = 54X100; donc le produit sera égal à 46X54X1000X100. D'après cela il suffira de multiplier 46 par 54, ce qui me donnera pour produit 2484, puis d'ajouter d'abord 3 zéros au produit pour le multiplier par 1000, et enfin d'ajouter 2 autres zéros à ce nouveau produit pour avoir le produit total demandé, 248 400 000. 

De là la règle : Lorsque le multiplicande et le multiplicateur sont terminés par des zéros, on multiplie les chiffres significatifs les uns par les autres sans avoir égard aux zéros, puis on ajoute à la droite du produit autant de zéros qu'il y en a tant dans le multiplicande que dans le multiplicateur.
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