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Surface

Surface (géométrie). - Une surface est la figure qui forme la limite d'un corps défini géométriquement. On peut dire aussi que c'est, dans l'espace le lieu géométrique engendré par une ligne variable. Une surface peut être limitée ou infinie. Pour qu'une surface puisse être étudiée au point de vue géométrique, il est nécessaire qu'elle soit définie d'une façon précise. Analytiquement, une surface est représentée par une équation à trois variables f (x, y, z) = 0, en coordonnées rectilignes. Cette équation se détermine d'après la définition de la surface considérée. La théorie des surfaces, c.-à-d. l'étude de leurs propriétés, de leurs singularités, forme l'un des chapitres les plus importants de l'ensemble des mathématiques. Elle a fait l'objet de travaux et d'ouvrages fort nombreux, et au cours dest XIXe et XXe siècles elle a reçu de grands perfectionnements; cependant, malgré les progrès accomplis, il reste encore dans cette voie un bien large champ de recherches ouvert aux mathématiciens. 

Cette théorie des surfaces est l'une de celles où la géométrie et l'analyse se prêtent le plus heureux concours mutuel. Elle offre, même dans sa partie élémentaire, l'un des meilleurs exemples de l'applicalion du calcul infinitésimal. Les propriétés des équations différentielles s'y rattachent étroitement. On pourrait même dire que certains chapitres de l'analyse, et notamment les équations aux dérivées partielles, sont sortis de l'étude des surfaces. On y a été amené par la nécessité de résoudre certains problèmes, contre lesquels venaient échouer les efforts de la géométrie pure. Nous ne saurions entrer ici dans aucune considération sur la classification des surfaces, qui peut être envisagée à bien dés points de vue différents, ni même indiquer les études relatives aux surfaces des espaces à plus de deux dimensions, qu'il nous suffit de mentionner. Ces recherches, en dépit de la terminologie géométrique qu'on y emploie, relèvent surtout de l'analyse. (C.-A. Laisant).

Surface (mécanique). - Un point matériel assujetti à demeurer sur une surface parfaitement polie est en équilibre quand la résultante de toutes les forces qui le sollicitent est normale à cette surface. S'il s'agit d'une surface dépolie, autrement dit s'il y a frottement, l'équilibre exige simplement que la résultante des forces fasse avec la normale à la surface un angle inférieur à l'angle de frottement. Pour trouver le mouvement d'un point sur une surface polie, on considère le point comme libre en adjoignant aux forces réellement appliquées la réaction normale de la surface, et l'on écrit les trois équations ordinaires du mouvement d'un point entièrement libre. La grandeur de la réaction n'est pas connue a priori; on introduit donc, de cette manière, une inconnue supplémentaire ; mais, en revanche, l'équation de la surface fournit une équation entre les trois coordonnées du point, et l'on dispose par conséquent de quatre équations entre quatre inconnues, de sorte que le problème est théoriquement résolu. 

Dans le cas particulier où il n'y a pas de forces directement appliquées, la trajectoire du point sur la surface est une ligne géodésique parcourue avec une vitesse constante. Le mouvement d'un point sur une surface dépolie est plus difficile à étudier : il faut écrire que la réaction tangen-tielle est égale, à chaque instant, à la réaction normale multipliée par le coefficient de frottement, et que cette réaction tangentielle est directement opposée à la vitesse du point. Un autre problème important de mécanique est celui de l'équilibre et du mouvement d'une surface, extensible ou inextensible, soumise à des forces données. Le mot surface signifie alors une membrane d'épaisseur infiniment petite. Ce problème conduit à des équations aux dérivées partielles dont il est très difficile de tirer parti. (L. Lecornu).

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