« Dans le genre théorétique, supposant vraie la chose en question et regardant comme vraies les conséquences qui s'en déduisent, comme elles le sont en effet d'après l'hypothèse, nous avançons jusqu'à ce que nous parvenions à quelque chose de connu. Si cette chose est vraie, la proposée le sera aussi, et la démonstration se fera en sens inverse de l'analyse. Dans le genre problématique, nous regardons comme exécuté ce qui est proposé, et, en suivant les conséquences qui en résultent, nous tâchons de parvenir à quelque chose qui soit connu. Si cette chose est possible et exécutable, la proposée le sera aussi et la démonstration se fera en sens inverse de l'analyse. ».

« Il est en mathématiques une méthode pour la recherche de la vérité, que Platon passe pour avoir inventée, que Théon a nommée analyse et qu'il a définie ainsi. Regarder la chose cherchée comme si elle était donnée, et marcher, de conséquences en conséquences, jusqu'à ce que l'on reconnaisse comme vraie la chose cherchée. Au contraire la synthèse se définit : Partir d'une chose donnée, pour arriver de conséquences en conséquences à trouver une chose cherchée. »

Descartes ne s'est pas contenté d'amender la théorie de Pappus sur l'analyse, il a voulu faire de l'analyse mathématique la méthode universelle. Sa méthode, il le dit lui-même; ne fait qu' « emprunter tout le meilleur de l'analyse des anciens et de l'algèbre des modernes ». Imbu de l'esprit mathématique, il a voulu le transporter partout. Il a peut-être en tort de vouloir traiter les questions de métaphysique, de physique, de physiologie, de psychologie comme de pures questions de mathématiques, mais il a incontestablement eu raison en donnant pour fondement à toutes les sciences la méthode analytique :

« Diviser chacune des difficultés qu'on examine en autant de parties qu'il est requis pour les mieux résoudre; conduire par ordre ses pensées en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu comme par degrés à la connaissance des plus composés ».

Analyse infinitésimale. 
Aujourd'hui, en mathématiques, lorsqu'on parle d'analyse sans autre précision, c'est le plus souvent à l'analyse infinitésimale que l'on se réfère. Sous ce nom on désigne le calcul différentiel, le calcul intégral et le calcul des variations. L'analyse infinitésimale s'appelle aussi calcul infinitésimal. Le but de l'analyse infinitésimale est l'étude des fonctions (Lagrange a intitulé son traité d'analyse Théorie des fonctions analytiques; Cournot a donné un titre analogue à son traité de calcul différentiel et intégral); le moyen employé, en analyse infinitésimale, est l'application répétée d'un petit nombre de principes fondamentaux sur les limites.

Analyse algébrique.
On donne ce nom à une branche des mathématiques, proche de la précédente, qui tient le milieu entre ce que l'on est convenu d'appeler les éléments d'algèbre et les calculs transcendants. Dans l'ouvrage célèbre de Cauchy, qui est intitulé Analyse algébrique et qui est devenu très rare, on trouve les propriétés élémentaires et générales des fonctions, la théorie des séries simples et doubles et celle des produits infinis; ce que Cauchy appelle analyse algébrique, Euler l'appelait introduction à l'analyse infinitésimale (introductio in analysin infanitorum).

Analyse des courbes. Nom donné quelquefois à la géométrie analytique. 

Analyse numérique.
Cette science, que l'on appelle aussi arithmologie, théorie des nombres (Arithmétique), a pour but l'étude des propriétés des nombres en eux mêmes, indépendamment des opérations que l'on peut effectuer sur ces nombres; elle étudie surtout leur composition, leur décomposition et leur formation; les ouvrages les plus célèbres sur cette branche  sont la Théorie des nombres de Legendre et les Disquisitiones arithmeticae de Gauss. Les théorèmes suivants, par exemple, sont du ressort de l'analyse numérique. « Tout nombre entier est la somme de quatre ou d'un nombre moindre de carrés. » « Si p est un nombre premier qui ne divise pas a^p-1est divisible par p. » etc.

Analyse indéterminée (ou analyse de Diophante). 
L'analyse indéterminée est une branche de l'analyse numérique, qui a pour but la résolution des équations en nombre inférieur aux inconnues en n'acceptant que les solutions en nombres entiers. Cette analyse indéterminée peut être du premier, du second, ... degré, suivant que les équations à résoudre sont du premier, du second, ... degré; l'analyse indéterminée du premier degré ne présénte pas de difficultés, lorsqu'on ne la complique pas de conditions telles que d'exiger, par exemple, que les solutions soient positives, ou comprises entre des limites données, ou soient des nombres premiers, etc...

Une équation du premier degré

à coefficients entiers a, b, c, peut toujours être supposée telle que a, b, c n'aient pas de facteur commun; alors c et b doivent être premiers entre eux, car, s'ils avaient un facteur commun, ce facteur appartiendrait à c. Pour trouver une solution à l'équation (1), on réduit b/a en fraction continue en prenant les fractions intégrantes de la forme 1/n, n désignant un entier positif; en appelant p/q l'avant-dernière réduite, on a :

donc x = ± cp, y =± cq constitue une solution de (1). Appelant y₀, x₀, la solution trouvée, la solution générale est donnée par les formules :

Si l'on avait à résoudre une équation à trois inconnues :

on pourrait la résoudre en nombres entiers comme il suit : soit a le plus petit des coefficients a, b, c, on posera :

b' et c' désignant les restes de la division de b et c par a et (2) deviendra :

posons :

équation plus simple que (2) et que l'on traitera comme (2), jusqu'à ce qu'un des coefficients devienne égal à 0 ou à 1; on sera alors ramené au cas précédent. La même méthode s'applique évidemment au cas d'un plus grand nombre d'inconnues. L'analyse indéterminée du premier degré ne présente plus aujourd'hui de difficultés quand on impose aux inconnues la seule condition d'être entières; l'analyse indéterminée des degrés supérieurs présente, au contraire, de grandes difficultés, et qui ont occupé les plus illustres mathématiciens. Il y a, par exemple, un théorème énoncé par Fermat,en 1630, et qui, en dépit des efforts qui ont été déployés pendant plusieurs siècles, n'a été démontré que très récemment. Ce théorème est le suivant : si m > 2 l'équation indéterminée : x^m + y^m = z^m n'a pas de solutions entières.

Quand m = 2 on résout l'équation : x²+y²=z² en posant :  x= (a -b)/2, z=(a+b)/2, y= racine carrée de ab, et en prenant pour a et b des carrés impairs. Exemples : 

b = 1, a = 9 donne x = 4, z= 5, y= 3, 
b = 1, a = 25 donne x=12, z=13: y = 5, 
b = 9, a = 25 donne x = 4, z =17, y = 15, 
..................................................................

Analyse combinatoire. 
L'analyse combinatoire s'occupe d'étudier les différentes manières différentes de grouper en nombre déterminé des éléments donnés, de façon que tous les mêmes objets ne se trouvent qu'une fois ensemble. Ces concepts centaraux sont les permutations, les arrangement et les combinaisons proprement dites. 

On donne le nom de permutations aux résultats que l'on obtient en disposant les uns à la suite des autres, de toutes les manières possibles, un nombre déterminé d'objets (éléments d'un ensemble fini), de manière que toutes les objets entrent dans chaque résultat et que chacune n'y entre qu'une fois.

• Nombre des permutations de n objets : n objet ne peut donner qu'un résultat; deux objets a et b fournissent les deux permutations ab et ba : ce nombre de permutations peut s'écrire 1 X 2. Soient actuellement trois objets a, b, c, on prendra chaque permutation des deux premiers onjets, et on y intercalera c à toutes les places possibles, ce qui donne trois résultats pour chacun, en tout 1 X2 x 3, qui sont :

abc acb cab bac bca cba.

De même, pour quatre objets, on trouvera que le nombre des permutations est 1 x 2 X3 X 4, et généralement il est 1 X 2 X 3 X ... n, pour n objets.

• Nombre des arrangements de m objets n à n : le nombre des arrangements 1 à 1 est évidemment m. Pour former les arrangements 2 à 2, on pourra écrire à la droite de chacun des arrangements 1 à 1 chacun des m-1 autres objets, ce qui donnera pour chacun m-1 résultats différents, et en tout m(m- 1) arrangements 2 à 2. De même, pour obtenir les arrangements 3 à 3, à droite de chaque arrangement 2 à 2 on écrira successivement chacun des m-2 objets restants, d'où m-2 résultats différents, en tout m(m-1) (m -2) arrangements 3 à 3, et ainsi de suite.

• Nombre des combinaisons de m objets n à n : nous le déduirons de celui des arrangements à l'aide d'une remarque très simple : c'est que chaque combinaison fournirait des arrangements différents en faisant subir aux n objets toutes les permutations possibles. Or, le nombre de ces permutations est 1, 2, 3... Le nombre des combinaisons est donc :

m(m-1) (m-2...) / 1.2.3...