La question fondatrice peut s'énoncer simplement : est-il possible d'associer à tout sous-ensemble de la droite réelle un nombre positif ou nul représentant sa "longueur", de façon cohérente avec l'intuition géométrique et stable par les opérations ensemblistes usuelles? La réponse, comme le montre le fameux exemple de Vitali, est négative si l'on ne restreint pas la classe des ensembles considérés. C'est cette restriction, loin d'être un aveu d'échec, qui constitue le coeur de la théorie.

Tribus et espaces mesurables.
La première notion fondamentale est celle de tribu, encore appelée σ-algèbre. Étant donné un ensemble X quelconque, une tribu A sur X est une collection de sous-ensembles de X qui contient l'ensemble vide, est stable par complémentation, et est stable par réunion dénombrable. Cette dernière condition, qui distingue la tribu d'une simple algèbre d'ensembles, est cruciale pour développer une théorie suffisamment riche. La paire (X, A) est alors appelée espace mesurable, et les éléments de A sont les ensembles mesurables.

L'exemple central est la tribu borélienne sur , qui est la plus petite tribu contenant tous les ouverts de la topologie usuelle. Elle contient ainsi tous les intervalles, tous les fermés, toutes les réunions et intersections dénombrables de tels ensembles. Bien que l'on puisse démontrer l'existence d'ensembles non boréliens (et a fortiori non mesurables au sens de Lebesgue) ces derniers sont construits à partir de l'axiome du choix et ne peuvent jamais s'exhiber concrètement. En pratique, tout ensemble rencontré en analyse est mesurable.

Mesures et espaces mesurés.
Une mesure sur un espace mesurable (X, A) est une application μ : A → [0, +∞] satisfaisant deux conditions : μ() = 0, et la σ-additivité, c'est-à-dire que pour toute suite dénombrable d'ensembles deux à deux disjoints dans A, la mesure de leur réunion est égale à la somme de leurs mesures individuelles. La triplet (X, A, μ) constitue un espace mesuré.

La σ-additivité est une condition de régularité infinitésimale essentielle. Elle entraîne immédiatement la continuité croissante des mesures : si une suite d'ensembles mesurables est croissante pour l'inclusion, alors la mesure de leur réunion est la limite des mesures. De même, pour des suites décroissantes, sous une condition d'intégrabilité, la mesure de l'intersection est la limite des mesures. Ces propriétés de continuité sont le fondement des théorèmes de convergence qui font la puissance de la théorie.

Parmi les exemples fondamentaux, la mesure de Lebesgue sur  généralise la notion de longueur : elle attribue à tout intervalle sa longueur usuelle, et s'étend de façon unique à la tribu borélienne complétée. La mesure de Dirac en un point x0 attribue la valeur 1 à tout ensemble contenant x0 et 0 sinon (elle modélise une masse concentrée en un point). Les mesures de comptage, qui attribuent à chaque ensemble son cardinal, sont à la base de la théorie des séries.

Fonctions mesurables et intégrale de Lebesgue.
Une fonction f : (X, A) → (Y, B) entre deux espaces mesurables est dite mesurable si l'image réciproque de tout ensemble mesurable de Y est mesurable dans X. Cette condition est l'analogue mesurable de la continuité en topologie. Elle garantit que la fonction est suffisamment régulière pour être intégrée. Toute fonction continue entre espaces topologiques munis de leurs tribus boréliennes est mesurable, mais la réciproque est loin d'être vraie.

L'intégrale de Lebesgue se construit en trois étapes. Pour les fonctions indicatrices d'ensembles mesurables, l'intégrale est définie comme la mesure de l'ensemble. Pour les fonctions étagées (combinaisons linéaires finies de fonctions indicatrices à coefficients positifs) l'intégrale est la combinaison linéaire correspondante des mesures. Enfin, pour une fonction mesurable positive générale, l'intégrale est définie comme la borne supérieure des intégrales des fonctions étagées qui lui sont inférieures. Cette construction par approximation depuis le bas est la clé de toute la théorie.

Le premier grand théorème est celui de convergence monotone de Beppo Levi : si une suite croissante de fonctions mesurables positives converge simplement vers une fonction f, alors les intégrales convergent vers l'intégrale de f. Ce résultat, qui échange limite et intégrale sans aucune condition d'intégrabilité uniforme, n'a pas d'équivalent dans la théorie de Riemann. Il en découle le lemme de Fatou et, pour les fonctions intégrables, le théorème de convergence dominée de Lebesgue : si une suite de fonctions mesurables converge simplement et est dominée en valeur absolue par une fonction intégrable, alors la limite des intégrales est l'intégrale de la limite.

Espaces L^p et complétude.
Pour tout réel p ≥ 1, l'espace L^p(X, μ) est l'ensemble des classes d'équivalence de fonctions mesurables dont la puissance p-ième est intégrable, deux fonctions étant identifiées lorsqu'elles coïncident en dehors d'un ensemble de mesure nulle. La norme ‖f‖p = (∫|f|^p dμ)^{1/p} munit cet espace d'une structure d'espace de Banach. Pour p = 2, le produit scalaire naturel <f, g> = ∫fg dμ fait de L² un espace de Hilbert, structure fondamentale en mécanique quantique et en traitement du signal.

L'inégalité de Hölder, qui généralise l'inégalité de Cauchy-Schwarz, établit que le produit d'une fonction L^p et d'une fonction Lq est une fonction L¹, dès lors que 1/p + 1/q = 1. Cette dualité entre exposants conjugués structure profondément la théorie des espaces fonctionnels. La complétude des espaces L^p, résultat du théorème de Riesz-Fischer, assure que toute suite de Cauchy converge, une propriété qui fait défaut pour les fonctions continues munies de la norme L^p, et qui justifie pleinement le passage au cadre lebesgusien.

Mesures sur les espaces produits et théorème de Fubini.
Soient deux espaces mesurés (X, A, μ) et (Y, B, ν), il existe une unique mesure μ ν sur l'espace produit X × Y (muni de la tribu produit engendrée par les rectangles mesurables) telle que (μ  ν)(A × B) = μ(A) · ν(B) pour tous ensembles mesurables A et B. Cette construction, généralisable à tout produit fini ou même infini dénombrable d'espaces de probabilité, est à la base de la modélisation des expériences aléatoires indépendantes.

Le théorème de Fubini-Tonelli est l'un des résultats les plus utilisés en analyse : il affirme que pour une fonction mesurable positive, ou pour une fonction intégrable sur l'espace produit, le calcul de l'intégrale double peut être effectué par intégrations itérées dans n'importe quel ordre, les deux donnant le même résultat. Ce théorème, qui simplifie considérablement les calculs pratiques, est un exemple typique de la supériorité de l'intégrale de Lebesgue sur celle de Riemann, pour laquelle des résultats analogues requièrent des hypothèses beaucoup plus restrictives.

 Décompositions et théorème de Radon-Nikodym.
L'une des questions centrales de la théorie est de comprendre les relations entre deux mesures définies sur le même espace mesurable. On dit qu'une mesure ν est absolument continue par rapport à μ (et l'on note ν << μ) si tout ensemble de mesure nulle pour μ est de mesure nulle pour ν. Deux mesures sont dites mutuellement singulières si elles sont concentrées sur des parties disjointes de l'espace.

Le théorème de Lebesgue-Radon-Nikodym établit que toute mesure σ-finie peut se décomposer de façon unique en une partie absolument continue et une partie singulière par rapport à une mesure de référence σ-finie. De plus, la partie absolument continue s'écrit ν(A) = ∫A f dμ pour une certaine fonction mesurable positive f, la dérivée de Radon-Nikodym de ν par rapport à μ, notée dν/dμ. Cette dérivée joue en théorie de la mesure le rôle que joue la dérivée ordinaire en analyse classique, et fonde rigoureusement la notion de densité de probabilité.

Applications et prolongements.
La théorie de la mesure n'est est le langage naturel des probabilités modernes. L'axiomatisation des probabilités par Kolmogorov en 1933 repose entièrement sur cette théorie : un espace de probabilité est un espace mesuré de masse totale 1, les événements sont les ensembles mesurables, et les variables aléatoires sont des fonctions mesurables. L'espérance n'est autre qu'une intégrale de Lebesgue, et tous les grands théorèmes (loi des grands nombres, théorème central limite, théorème de convergence des martingales) sont des applications directes des résultats de la théorie.

En analyse harmonique, la mesure de Haar sur un groupe topologique localement compact généralise simultanément la mesure de Lebesgue sur  et la mesure de comptage sur un groupe discret, permettant un traitement unifié de la transformation de Fourier. En géométrie, la théorie de Hausdorff introduit des mesures adaptées aux ensembles fractals, dont la dimension (non nécessairement entière ) mesure la complexité géométrique. Ces prolongements témoignent de la profondeur et de l'universalité de la théorie fondée par Lebesgue, dont l'influence continue de structurer les mathématiques contemporaines.