Suites (mathématiques)

a₁, a₂... a_p étant des coefficients donnés constants, on dit que cette suite est récurrente. La relation [1] est appelée relation de récurrence ou échelle de récurrence de la suite, et celle-ci est dite de l'ordre p. Sous une forme symbolique, la relation [1] peut s'écrire :

la relation de récurrence devient u_nf(u) = 0. L'échelle de récurrence est alors f(u)=0, et peut être multipliée par u_n, quel que soit l'entier n, toujours sous forme symbolique, les exposants des lettres u devant être transformés en indices.

Une série récurrente du premier ordre n'est autre qu'une progression par quotient, puisque u_n+1  = a₁u_n,. Une série récurrente d'ordre 2 est définie par :

c.-à-d. que son échelle de récurrence est :

Toute suite récurrente d'ordre p n'est complètement définie que si l'on donne ses p premiers termes, en dehors de son échelle. Par exemple, la suite du 2^e ordre la plus 
connue et la plus étudiée, celle de Fibonacci, est définie par ses deux premiers termes 0, 1, et par son échelle de récurrence  u² - u - 1 = 0.. C'est donc 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...

Les suites récurrentes jouissent de propriétés importantes et ont fait l'objet de nombreux travaux. Elles intéressent à la fois l'arithmétique et l'algèbre. On peut les étendre aux quantités imaginaires. 

Nous nous bornerons ici, à titre d'exemple, à indiquer l'intéressante proposition que voici : lorsque le rapport (u_n+1)/u_n tend vers une limite, n augmentant indéfiniment, cette limite n'est autre que la racine de plus grand module de l'équation f (x) =0, f (u) = 0 étant l'échelle de récurrence. Ainsi, pour la série de Fibonacci, l'échelle de récurrence conduit à l'équation x² - x - 1 = 0, dont les racines sont réelles, et la plus grande est :