Limites

C'est sur la théorie des limites que l'on base communément le calcul différentiel, et la considération de cette notion de limite intervient constamment dans toutes les branches des mathématiques. Voici les théorèmes sur les limites dont on fait le plus fréquemment usage. 

Toute quantité croissante (ou décroissante) qui ne peut devenir plus grande (ou plus petite) qu'une quantité donnée fixe, a une limite. 

Deux quantités variables étant égales, si l'une a une limite, l'autre a une limite aussi, et ces limites sont égales. 

La limite d'une somme (ou d'un produit) de quantités variables en nombre déterminé est égale à la somme (ou au produit) des limites de ces quantités. 

La limite d'un quotient est égale au quotient des limites du dividende et du diviseur. 

En général, si f(x, y, z) est une fonction continue de x, y, z, si x, y, z tendent vers a, b, e, respectivement f(x, y, z) aura pour limite f(a, b, c).

Il arrive souvent que des valeurs de certaines fonctions se présentent sous des formes sous lesquelles elles se trouvent mal définies, par exemple la fonction (x² - a²) / (x - a) pour x = a est mal définie puisqu'elle se présente sous la forme 0 / 0 qui n'a aucun sens; la valeur de la fonction pour cette valeur particulière x de la variable peut alors être définie comme la limite vers laquelle tend la fonction, quand la variable tend vers a; on dit quelquefois que cette valeur est la vraie valeur de la fonction pour la valeur a de la variable.

Lorsqu'une expression de la forme f(x) / g(x) devient 0/0 ou  /  pour une valeur particulière a de la variable x, on en trouve souvent la vraie valeur en appliquant une règle due à L'Hôpital et qui consiste à remplacer f(x) et g(x) par leurs dérivées, et, si les dérivées sont encore nulles ou infinies pour x = a par leurs dérivées secondes, et ainsi de suite; mais cette règle de L'Hôpital comporte de nombreuses exceptions, et, entre des mains inexpérimentées, elle peut devenir la source d'erreurs graves. Il paraît d'ailleurs difficile, sinon impossible, de remplacer la règle de L'Hôpital par une autre tout à fait générale, et c'est une longue pratique de l'art analytique qui peut seule enseigner la manière de lever l'indétermination apparente des expressions qui se présentent sous les formes  : 0 / 0,  / , 0 x , etc.

Calcul des limites.
Cauchy a donné le nom de calcul des limites à une partie de l'analyse qu'il a essayé de réduire en algorithme et qui avait pour but de déterminer une valeur maxima du module des valeurs de certaines variables, valeur au delà de laquelle certaines séries, fonctions de ces variables, perdaient leur convergence.

Limite supérieure (inférieure) des racines d'une équation.
Ce sont des nombres au delà et en deçà desquels cette équation ne peut plus avoir de racines. La détermination de ces limites peut se faire de bien des manières. Voici les règles que l'on applique le plus communément pour trouver une limite supérieure des racines positives.

1° Si  [1] A₀x^m + A₁x^m-1 + ... + A_m = 0 est une équation algébrique à coefficients réels et si N est le plus grand des coefficients négatifs A₁/A₀, A²/A₀0, ... Aⁿ/A₀, et si Apxⁱ est le premier terme de signe contraire à A₀,  sera une limite supérieure des racines positives. 

2° Pour calculer la valeur du premier membre de l'équation [1] pour x = a, on forme successivement les quantités A₀, A₀a + A₁, A₀a² + A₁a + A₂ = (A₀a + A₁)a + A₂, A₀a³ + A₁a² + A₂a + A₃, etc... A₀a^m + A₁a^m-1 + ... + A_m;  si toutes ces quantités sont positives, a est une limite supérieure des racines positives.

 3° Soit f(x) le premier membre d'une équation algébrique ou transcendante, toute quantité a, qui rend positif f(x) et ses dérivées jusqu'à l'ordre n inclusivement et telle que la dérivée n de f(x) reste positive pour des valeurs de x supérieures à a, est une limite supérieure des racines positives. Le plus souvent une discussion bien dirigée du premier membre de l'équation fera connaître les limites des racines.

Limites d'une intégrale définie.
En géométrie on considère aussi des limites; ainsi un point variable de position a une position limite, qui est un point fixe dont il peut se rapprocher indéfiniment, de manière que sa distance à ce point puisse devenir moindre que toute ligne donnée.

Une figure quelconque, ligne, surface ou volume variable peut avoir une forme limite qui est une forme fixe qu'elle tend à prendre, de manière à en différer d'aussi peu que l'on veut (Tangente). (H. Laurent).