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Les sections coniques

Les mathématiciens grecs se sont beaucoup occupés des sections déterminées dans un cône à base circulaire par des plans de direction quelconque, et ils ont réuni ces courbes planes sous le nom de sections coniques (ou, simplement, de coniques). Suivant que le plan sécant rencontre une seule nappe du cône, ou les deux nappes, on obtient l'ellipse ou l'hyperbole; comme cas intermédiaire, le plan sécant peut être parallèle à une génératrice du cône et la section est alors une parabole. La théorie des coniques a été fondée principalement par Apollonius de Perge, qui a laissé son nom aux théorèmes concernant les longueurs des diamètres conjugués. Avant lui on ne considérait que les sections des cônes de révolution par des plans perpendiculaires à une génératrice, et, pour obtenir les trois genres de coniques, ou était obligé d'employer trois genres de cônes.

Apollonius se plaça à un point de vue plus général : il étudia les sections planes quelconques des cônes, droits ou obliques à base circulaire et put ainsi établir la liaison intime des trois coniques. Son Traité des coniques nous montre l'auteur en possession des propriétés les plus remarquables de ces courbes : mais, pas plus que ses prédécesseurs, il n'eut l'idée de les définir sans faire intervenir un cône, de regarder, par exemple, une conique comme le lieu des points d'un plan pour lesquels le rapport des distances à un point et à une droite de ce plan est constant. Voici quelques-uns des théorèmes énoncés sous une forme plus ou moins compliquée, par Apollonius :

« La polaire d'un point est une droite passant, si le point est extérieur [c'est le seul cas dont s'occupe le géomètre grec], par les points de contact des tangentes menées du point à la conique. Si le pôle s'éloigne à l'infini, la polaire devient le lieu des milieux des cordes paralèles à une même direction : cette droite est un diamètre de la conique. Tous les diamètres passent par un même point, le centre (qui dans le cas de la parabole se trouve rejeté à l'infini), et s'y coupent en parties égales. Si un diamètre partage par moitié une série de cordes parallèles entre elles, réciproquement, les parallèles au diamètre, sont divisées en parties égales par le diamètre parallèle aux cordes. Ces deux diamètres sont dits conjugués. Il existe deux diamètres conjugués perpendiculaires l'un à l'autre : ce sont les deux axes de symétrie de la conique. »

Dans la géométrie analytique, créée par Descartes, le mot de conique est devenu synonyme de celui de courbe du second degré. On démontre, en effet, que toute conique rapportée à des axes de coordonnées rectangulaires on obliques peut être représentée par une équation du second degré entre l'ordonnée et l'abscisse, et que, réciproquement, toute courbe du second degré est une conique. On démontre aussi que tout cône sur lequel peut être placée une courbe du second degré est lui-même du second degré et coupé par un plan quelconque suivant une conique. Descartes a même fait voir qu'un tel cône peut toujours être coupé suivant un cercle, et ne diffère pas dès lors du cône d'Apollonius.

L'équation la plus générale des courbes du second degré est : Ax²+2Bxy+Cy² + 2Dx+2Ey + F =0. Elle représente une ellipse, une parabole, ou une hyperbole suivant que le discriminant B²-AC est négatif, nul ou positif. Le centre est déterminé par l'intersection des deux droites qui ont pour équations Ax+By+D=0, Bx+Cy+E=0. Dans le cas de la parabole, ces deux droites sont parallèles et le centre disparaît à l'infini. Il y a deux asymptotes passant par le centre. Leurs directions sont parallèles à celles des deux droites représentées par l'équation homogène du second degré Ax²+ 2Bxy+ Cyz = 0. Ces directions sont réelles dans le cas de l'hyperbole, confondues dans le cas de la parabole, imaginaires dans le cas de l'ellipse. Enfin, si les axes de coordonnées sont rectangulaires, il suffit, pour les rendre parallèles aux axes de symétrie de la courbe, de les faire tourner d'un angle q vérifiant la formule : tg2q = 2B / (A-C).

La géométrie analytique a permis de simplifier et de généraliser les théories d'Apollonius, principalement en transportant dans le domaine de la géométrie la notion des solutions infinies ou imaginaires qui se présente si naturellement en algèbre. C'est ainsi qu'une droite est considérée comme rencontrant toujours une conique en deux points, qui peuvent être réels, confondus on imaginaires, à distance finie ou infinie; c'est ainsi encore qu'au lieu de dire, avec Apollonius :

« Deux coniques ne peuvent se couper en plus de quatre points »,

on dit aujourd'hui :

« Deux coniques se coupent toujours en quatre points, réels ou imaginaires, qui peuvent être en tout ou partie rejetés à l'infini. »

Ce qui précède se rapporte aux systèmes de coordonnées ponctuels, c.-à.d. dans lesquels deux coordonnées représentent un point du plan. Au point de vue des systèmes de coordonnées tangentielles dans lesquels deux coordonnées représentent une droite, les coniques sont des courbes de deuxième classe, c. -à-d. que par

« un point du plan passent deux tangentes à une conique quelconque ».

Ce sont les seules courbes générales dont la classe soit égale au degré, et cette réciprocité, inconnue des anciens, constitue l'une de leurs plus importantes propriétés.

Parallèlement à la méthode analytique s'est développée, dans la géométrie moderne, une méthode synthétique pour l'étude des coniques. Le germe de cette méthode peut-être aperçu dans le célèbre Théorème de Pascal sur l'hexagramme mystique (Pascal, Essai sur les coniques, 1630), théorème en vertu duquel

« les côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une conique se coupent en trois points d'une même droite ».

Cette propriété est évidemment projective, c.-à-d. que si elle est vraie pour une conique particulière, un cercle par exemple, elle subsiste pour toutes les coniques qui se déduisent de celle-là par perspective. Poncelet, dans son Traité des Propriétés projectives des figures (1822), a établi pour les coniques, par un procédé uniforme, un grand nombre de théorèmes qui possèdent le même caractère. Dans le même ouvrage apparaît cette définition féconde des foyers :

« Les foyers d'une conique sont les points de rencontre des tangentes menées à la conique par les deux points imaginaires d'un cercle situés à l'infini »;

ou bien encore :

« Les foyers d'une conique sont des points qu'on peut considérer comme des cercles de rayon nul ayant un double contact avec la conique».

C'est également dans le Traité des propriétés projectives que se trouve le beau théorème qui a conservé le nom de Poncelet, et d'après lequel :

« S'il existe un polygone de m côtés inscrit dans une conique et circonscrit à une autre, il existera une infinité de polygones de m côtés jouissant de la même propriété.»

La théorie des figures homologiques et celle des polaires réciproques forment la base des travaux de Poncelet; Chasles est allé plus avant dans la même voie, en introduisant définitivement la notion de la dualité et celle de l'homographie. Son Traité des sections coniques (1865) montre toute la fécondité des nouvelles méthodes, appliquées à l'étude des coniques. L'auteur établit que

« six points étant pris sur une conique, les deux faisceaux de quatre droites menées de quatre de ces points aux deux autres ont le même rapport anharmonique »,

et que :

« si l'on mène six tangentes à une conique les deux séries de quatre points dans lesquels quatre de ces tangentes rencontrent les deux autres ont le même rapport anharmonique ».

Ces deux théorèmes qui se correspondent par dualité, découlent d'une même proposition fondamentale, savoir :

« Les droites menées de quatre points a, b, c, d, d'une conique à un cinquième point quelconque, ont un rapport anharmonique égal à celui des quatre points de rencontre des tangentes en a, b, c, et avec une cinquième tangente quelconque. »

Sur cette double base, s'édifie une théorie complète et géométrique des coniques, absolument comme de l'équation du second degré, ponctuelle ou tangentielle, découlent analytiquement toutes les propriétés des mêmes courbes.

Conique osculatrice. L'équation la plus générale des coniques renfermant linéairement cinq paramètres, savoir les rapports de cinq coefficients au sixième, cinq points du plan déterminent une conique et une seule. Si l'on suppose que ces points soient situés sur une courbe donnée et se rapprochent indéfiniment, suivant une loi quelconque, d'un même point M de cette courbe, la limite de la conique est appelée conique osculatrice de la courbe donnée au point M. Les quatre premières dérivées de l'ordonnée par rapport à l'abscisse sont les mêmes pour la conique osculatrice que pour la courbe, et si l'on prend sur la courbe un second point M', tel que MM' soit infiniment petit du premier ordre, la distance du point M' à la conique osculatrice en M est infiniment petite du cinquième ordre. Comme le cercle osculateur, la conique osculatrice traverse la courbe. En appelant axe de déviation en M la position limite de la droite qui joint le point M au milieu du segment déterminé par la courbe sur une droite parallèle à la tangente et infiniment voisine de celle-ci, on voit sans peine que
« la conique osculatrice a son centre au point de concours de deux axes de déviation infiniment voisins ».

Pour achever de déterminer la conique, il suffit de remarquer qu'elle a, au point M, même rayon de courbure que la courbe. La conique osculatrice est une ellipse quand le point de concours de deux axes de déviation consécutifs est du même côté que le centre de courbure; c'est une hyperbole dans le cas contraire. On obtient une parabobe si deux axes de déviation consécutifs sont parallèles.
Coniques homofocales. Si l'on considère le système de coniques représenté, en coordonnées cartésiennes rectangulaires, par l'équation x²/(a²-l)+y²/(b²-l) =1, où a, b sont des constantes, et l un paramètre arbitraire, il est aisé de reconnaître que ces coniques ont les mêmes foyers. Si a est plus grand que b, deux de ces foyers sont réels et situés sur l'axe des x, les deux autres sont imaginaires et situés sur l'axe des y. Par chaque point du plan passent deux coniques du système; l'une d'elles est une ellipse, l'autre est une hyperbole. Ces deux coniques se coupent à angle droit. Le système complet se compose donc d'une famille d'ellipses et d'une famille d'hyperboles, qui dessinent sur le plan un réseau orthogonal. On démontre en outre que ce réseau est isotherme, c. -à-d. qu'il peut être considéré comme formé de carrés ifiniments petits. Un foyer est le point de concours de deux tangentes passant par les points circulaires à l'infini : d'après cela,
« les coniques homofocales sont toutes inscrites dans un même quadrilatère imaginaire »
et elles jouissent nécessairement de toutes les propriétés des coniques inscrites dans un même quadrilatère. Elles possèdent encore bien d'autres propriétés remarquables; nous citerons seulement les suivantes, dues à Chasles :
« Si l'on a deux coniques homofocales de même espèce, et que de chaque point de la conique externe on mène les deux tangentes à la conique interne, la somme des deux tangentes moins l'arc compris entre les points de contact est une quantité constante. »

« Les tangentes menées de deux points d'une conique à une conique homofocale forment un quadrilatère circonscriptible au cercle. » « Un polygone de périmètre maximum inscrit à une conique a ses côtés tangents à une conique homofocale. »

Coniques sphériques. - Une conique sphérique est la courbe d'intersection d'un cône du second degré avec une sphère ayant son centre au sommet du cône. Toute surface du second ordre est coupée par une sphère concentrique suivant une courbe qui appartient à un cône également concentrique, et qui est par conséquent une conique sphérique. Une courbe de ce genre a trois plans de symétrie, qui sont les plans de symétrie du cône sur lequel elle est placée. Sur chacun de ces plans, elle se projette suivant une courbe du second degré, et par conséquent elle peut, de trois manières différentes, être considérée comme placée sur un cylindre du second degré. L'un de ces cylindres est hyperbolique, les deux autres sont elliptiques et traversent la sphère l'un par arrachement, l'autre par pénétration. Il résulte de là qu'on n'a pas à distinguer, dans la théorie des coniques sphériques, des espèces distinctes comme pour les coniques planes.

Si un grand cercle de la sphère ne rencontre pas la conique, il sépare deux hémisphères dont chacun renferme une moitié de la conique sphérique, analogue à l'ellipse plane ; si un grand cercle rencontre la conique sphérique, il sépare deux hémisphères dont chacun renferme une moitié de la conique sphérique, analogue à l'hyperbole plane. Le grand cercle arbitraire que nous considérons ici loue dans tous les cas le même rôle que la droite de l'infini dans la théorie des coniques planes. La théorie des coniques sphériques est naturellement une généralisation de celle des coniques planes, et la comprend comme cas particulier. On appelle arcs cycliques les grands cercles déterminés sur la sphère par les plans centraux parallèles aux sections circulaires du cône, et l'on reconnaît que ces arcs correspondent aux asymptotes de l'hyperbole. C'est ainsi que

« la produit des sinus des perpendiculaires sphériques menées d'un point d'une conique aux ares cycliques est constant; si un grand cercle rencontre une conique aux deux points P et Q et les arcs cycliques aux points A, B, on a AB = PQ ; la portion d'une tangente limitée aux ares cycliques a son milieu au point de contact; une tangente mobile forme avec les arcs cycliques un triangle d'aire constante, etc.. »

Chaque propriété de la conique sphérique entraîne une propriété corrélative, grâce à la considération du cône supplémentaire, c.-à-d. du cône enveloppé par les plans normaux aux génératrices et passant par le sommet du cône donné : absolument comme la notion des triangles supplémentaires permet de doubler toutes les formules de trigonométrie sphérique. Aux plans cycliques d'un cône correspondent les lignes focales du cône supplémentaire, c.-à-d. les droites issues du sommet et passant chacune parmi foyer des sections normales à ces lignes. Les traces des lignes focales d'un cône sur la sphère sont les foyers de la conique sphérique correspondante. Partant de là, les théorèmes précédemment énoncés au sujet des arcs cycliques entraînent les suivants, relatifs aux foyers :

« Le produit des sinus des perpendiculaires abaissées d'un foyer sur une tangente est constant; les deux tangentes menées d'un point à une conique forment des angles égaux avec les arcs qui les joignent aux deux foyers; les lignes joignant un point aux deux foyers forment des angles égaux avec la tangente; la somme des ares joignant les deux foyers à un point de la conique est constante. »

Ce dernier théorème se généralise de la manière suivante :

« Une conique sphérique peut être considérée d'une infinité de manières comme le heu des points tels que la somme ou la différence des ares de grands cercles menés de ces points tangentiellement à deux petits cercles fixes soit constante. »

Voici enfin un élégant théorème dû à Chasles :

« Si l'on mène les quatre arcs de grand cercle tangents à une conique sphérique et à un petit cercle, les sommets opposés du quadrilatère formé par ces arcs tangents sont sur une conique homofocale à la première.»
(L. Lecornu).

Dictionnaire Idées et méthodes