Les variétés

Variété topologique.
La notion de variété topologique est la plus fondamentale et celle sur laquelle les autres se basent. Une variété topologique est un espace topologique qui ressemble localement à un espace euclidien. 

• Espace topologique. - Un espace topologique est un ensemble muni d'une collection d'ensembles appelés ouverts qui respectent certaines règles (l'union d'ouverts est un ouvert, l'intersection finie d'ouverts est un ouvert, l'ensemble vide et l'ensemble entier sont des ouverts).

• Localement euclidien. - Pour chaque point de la variété, il existe un voisinage de ce point qui est homéomorphe à un ouvert de l'espace euclidien ⁿ (où n est un entier positif appelé la dimension de la variété). Un homéomorphisme est une bijection continue dont la réciproque est également continue, ce qui préserve la structure topologique.

Exemples de variétés topologiques : l'espace euclidien ⁿ lui-même (est localement euclidien par définition), le cercle (S¹) (autour de chaque point du cercle, vous pouvez trouver un petit arc qui ressemble à un intervalle de ¹), la sphère (S²) (autour de chaque point de la sphère, vous pouvez trouver une petite surface qui ressemble à un disque de ²), le tore, les grapphes des fonctions continues, etc..

Ne sont pas des variétés topologiques les espaces avec un point "pointu" ou une "arête": Par exemple, un cône n'est pas une variété topologique car il n'est pas localement euclidien au niveau de sa pointe. Même chose pour deux sphères qui se touchent en un seul point. Ce point serait un problème.

Variété différentiable (ou variété lisse).
Une variété différentiable est une variété topologique avec une structure supplémentaire qui permet de définir des notions de différentiation, de dérivation et de calcul différentiel. Elle conduit à définir les notions suivantes :

 • Cartes locales. - Pour chaque point de la variété, on a une carte (un homéomorphisme) d'un voisinage du point vers un ouvert de ⁿ.

 • Transition lisse. - Lorsque deux cartes se chevauchent, la transition entre elles (c'est-à-dire la composée d'une carte et de l'inverse de l'autre) est une fonction différentiable (de classe Cᵏ, voire C∞).

Exemples de variétés différentiables : tous les exemples de variétés topologiques mentionnés ci-dessus, quand ils sont munis d'une structure différentiable adéquate sont des variétes différentiables. Les surfaces dans ³ qui sont lisses. Les groupes de Lie (groupes qui sont aussi des variétés différentiables).

Variété algébrique.
Dans le cadre de la géométrie algébrique, une variété algébrique est un ensemble de points dans un espace affine ou projectif, qui est le lieu des zéros d'un ensemble de polynômes. Ce sont des objets définis par des équations polynomiales, par opposition aux structures lisses (fonctions infiniment dérivables) des variétés différentielles.

Exemples de variétés algébriques : les courbes et surfaces définies par des équations polynomiales (par ex : paraboles, cercles, hyperboles, etc.); les grassmanniennes et les variétés de drapeaux.

 • Une grassmannienne est un espace qui paramètre les sous-espaces vectoriels d'une dimension fixe dans un espace vectoriel donné. Plus précisément, soit V un espace vectoriel de dimension n sur un corps K, et soit r un entier positif inférieur ou égal à n. La grassmannienne Gr(r, V) est l'ensemble des sous-espaces vectoriels de V de dimension r. La grassmannienne Gr(r, V) peut être munie d'une structure de variété algébrique. Cette structure est définie en utilisant les coordonnées de Plücker, qui sont des fonctions polynomiales sur l'espace des sous-espaces vectoriels. Les grassmanniennes sont notamment utilisées pour décrire les espaces de modules de courbes algébriques, les espaces de configurations de particules en physique et les espaces de données en informatique.

• Une variété de drapeaux est un espace qui paramètre les suites de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel donné. Soit V un espace vectoriel de dimension n sur un corps K, et soit (r1, ..., rk) une suite d'entiers positifs tels que 0 ≤  r1 ≤  ... ≤  rk ≤ n . La variété de drapeaux Fl(r1, ..., rk, V) est l'ensemble des suites de sous-espaces vectoriels (V1, ... , Vk) tels que V1  Vk et Vi = ri pour tout i. La variété de drapeaux Fl(r1, ..., rk, V) peut être munie d'une structure de variété algébrique, définie ici encore en utilisant les coordonnées de Plücker.

 • Les variétés riemanniennes. - Variétés différentiables munies d'une métrique Riemannienne qui permet de mesurer les distances et les angles.

 • Les variétés symplectiques. - Variétés différentiables munies d'une forme symplectique, qui joue un rôle important en mécanique classique.

 • Les variétés complexes. - Analogue des variétés différentiables mais avec une structure de nombres complexes.