Une forme symplectique ω sur une variété différentielle M est une forme différentielle fermée et non dégénérée d'ordre 2, c'est-à-dire que pour tout point p  M, ωp​ est une forme bilinéaire antisymétrique et non singulière sur l'espace tangent TpM. Mathématiquement, ω satisfait dω = 0 (forme fermée) et pour tout vecteur tangent v  TpMv, ωp(v,.) est non nul si v ≠ 0 ( forme non dégénérée). Une variété symplectique est une paire (M,ω) où M est une variété différentielle et ω est une forme symplectique sur M. L'exemple canonique est l'espace cotangent T  Q d'une variété Q, où la forme symplectique naturelle est définie localement comme ∑idpi∧dqi​. Une transformation symplectique Ï• : (M,ω) → (M,ω) est une transformation différentielle qui préserve la forme symplectique, c'est-à-dire Ï•*ω = ω. 

Ces transformations incluent les difféomorphismes qui préservent la structure symplectique et forment un groupe, souvent appelé le groupe symplectique. La cohomologie symplectique est une version adaptée de la cohomologie de de Rham pour les variétés symplectiques. Elle utilise la forme symplectique pour définir des opérations de différentiation et d'intégration adaptées à cette structure géométrique particulière. En mécanique, la géométrie symplectique fournit un cadre mathématique pour la formulation des lois de conservation, des équations de Hamilton et des trajectoires dans les espaces phase. 

La géométrie symplectique intervient en théorie des champs et en physique mathématique, où elle sous-tend la formulation des théories des champs quantiques et des modèles intégrables. La théorie de Floer, qui est un outil important en topologie symplectique, utilise des techniques de géométrie symplectique pour étudier les propriétés topologiques des variétés symplectiques et leurs transformations. Les algorithmes symplectiques sont utilisés en ingénierie pour simuler efficacement le mouvement de particules et d'objets dans des systèmes physiques complexes.