Forme symplectique.
Une forme symplectique ω sur une variété différentielle M est une forme différentielle fermée et non dégénérée d'ordre 2, c'est-à-dire que pour tout point p  M, ωp​ est une forme bilinéaire antisymétrique et non singulière sur l'espace tangent TpM. 

Mathématiquement, ω satisfait dω = 0 (forme fermée) et pour tout vecteur tangent v  TpMv, ωp(v,.) est non nul si v ≠ 0 ( forme non dégénérée). Une variété symplectique est une paire (M,ω) où M est une variété différentielle et ω est une forme symplectique sur M. L'exemple canonique est l'espace cotangent T  Q d'une variété Q, où la forme symplectique naturelle est définie localement comme ∑idpi∧dqi​. Une transformation symplectique Ï• : (M,ω) → (M,ω) est une transformation différentielle qui préserve la forme symplectique, c'est-à-dire Ï•*ω = ω. 

Ces transformations incluent les difféomorphismes qui préservent la structure symplectique et forment un groupe, souvent appelé le groupe symplectique. La cohomologie symplectique est une version adaptée de la cohomologie de de Rham pour les variétés symplectiques. Elle utilise la forme symplectique pour définir des opérations de différentiation et d'intégration adaptées à cette structure géométrique particulière. En mécanique, la géométrie symplectique fournit un cadre mathématique pour la formulation des lois de conservation, des équations de Hamilton et des trajectoires dans les espaces phase. 

Structure symplectique.
Une structure symplectique est l'ensemble des données d'une variété différentielle M munie d'une forme symplectique ω. Autrement dit, une structure symplectique désigne une variété équipée d'une forme symplectique. Cela signifie qu'on ne parle pas simplement de la forme ω en elle-même, mais de la paire (M,ω), où MMM est une variété différentielle et ω une forme symplectique définie sur M.