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Les groupes de Lie

Les groupes de Lie sont des objets mathématiques qui combinent la structure algébrique d'un groupe avec la structure géométrique d'une variété différentielle lisse. Plus précisément , un groupe de Lie est un groupe qui est aussi une variété différentielle lisse, et dont les opérations de groupe (multiplication et inversion) sont des applications lisses (c'est-à-dire, infiniment différentiables). Cela signifie que :

• Structure de groupe. - Il possède une opération de groupe (souvent notée par multiplication) qui est associative, possède un élément neutre, et chaque élément possède un inverse.
• Structure de variété différentielle. - Il est une variété différentielle, c'est-à-dire un espace qui localement ressemble à un espace euclidien () et qui est muni d'une structure différentiable permettant de définir des fonctions lisses (infiniment dérivables).

L'opération de groupe et son inverse sont des applications lisses de la variété dans elle-même. Cela veut dire que si on prend deux points "proches" sur la variété, leurs produits et inverses seront aussi "proches" l'un de l'autre. La "proximité" est définie par la structure différentiable. Soit, par exemple, un groupe de transformations (rotations, translations, etc.) d'un espace. Si cet ensemble de transformations peut être décrit comme une surface lisse (une variété) et si la composition de deux transformations (leur produit dans le groupe) et l'inversion d'une transformation sont des opérations "lisses" sur cette surface, alors on a un groupe de Lie. Exemples :

• Le groupe des nombres réels avec l'addition (,+). - L'ensemble des nombres réels est un groupe pour l'addition et est aussi une variété (une droite).

• SO(n). - Le groupe des matrices orthogonales spéciales de dimension n (matrices de rotation en n dimensions). C'est une variété lisse et la multiplication matricielle est une opération lisse.

+ Le groupe des rotations en 2D (SO(2)). - Ce sont les matrices de rotation 2x2. C'est aussi un cercle.
+ Le groupe des rotations en 3D (SO(3)). - Ce sont les matrices de rotation 3x3. C'est un groupe de Lie plus complexe, une variété de dimension 3.
• SU(n). - Le groupe des matrices unitaires spéciales de dimension n. Similaire à SO(n).
• Le cercle unité U(1) ou S¹. - C'est un groupe sous la multiplication complexe, et c'est aussi une variété (un cercle).
• Le groupe des matrices inversibles (GL(n, ) ou GL(n, )). - L'ensemble des matrices carrées de taille n × n inversibles, avec la multiplication matricielle comme opération. C'est une variété ouverte dans l'espace des matrices n × n.
• Le groupe des translations de ⁿ. - C'est ⁿ lui-même avec l'addition comme opération de groupe.
• Le groupe des transformations euclidiennes (SE(n)). - C'est le groupe des transformations qui préservent les distances dans l'espace euclidien (combinaison de rotations et de translations).

Les groupes de Lie sont un outil puissant pour décrire les symétries et les transformations et sont omniprésents en mathématiques et en physique. On les rencontre en physique des particules (les symétries des interactions fondamentales peuvent être décrites par des groupes de Lie), en mécanique classique et quantique (les groupes de Lie sont utilisés pour décrire les symétries des systèmes physiques) en géométrie différentielle (où ils sont intimement liés à la théorie des connexions et des courbures), dans la théorie des représentations, etc. L'étude des groupes de Lie demande une base solide en algèbre linéaire, en calcul différentiel et en topologie.

Dictionnaire Idées et méthodes