La théorie du chaos traite ainsi de systèmes qui sont  déterministes et non linéaires.

• Déterminisme. - Le comportement futur du système est entièrement déterminé par son état actuel, sans intervention de facteurs aléatoires externes. Les équations qui régissent le système sont fixes.

• Non inéarité. - Les relations entre les variables du système ne sont pas proportionnelles. Une petite variation d'une variable peut entraîner une variation disproportionnée du résultat. C'est la non-linéarité qui est la source essentielle du comportement complexe et chaotique.

Jalons historiques. - A la fin du XIX^e siècle, Henri Poincaré a rencontré des comportements s'apparentant au chaos en étudiant le problème à trois corps en mécanique céleste. Il a noté la complexité des trajectoires et la sensibilité possible aux conditions initiales, mais les outils mathématiques n'étaient pas encore développés pour l'analyser en profondeur. Dans les années 1960, Edward Lorenz, météorologue au MIT (Cambridge, Massachusetts), est l'auteur de travaux qui le font souvent considérer comme le père de la théorie du chaos : il utilise un modèle informatique simplifié de convection atmosphérique. Voulant rejouer une simulation, il entre une valeur intermédiaire avec une précision moindre (0,506 au lieu de 0,506127). À sa grande surprise, les résultats de la simulation divergent complètement et très rapidement de l'originale. C'est cette découverte qui mettra en évidence la sensibilité aux conditions initiales et conduira à l'étude de son système simplifié (les équations de Lorenz) et à la découverte de l'attracteur étrange associé. Lorenz publie ses travaux en 1963, mais ils mettent du temps à être reconnus. Dans les années 1970-1980, cependant, le domaine prend son essor avec les travaux d'autres chercheurs. Mitchell Feigenbaum découvre des constantes universelles liées à la transition vers le chaos par doublement de période. James Yorke popularise le terme "chaos" dans un article important de 1975 Period Three Implies Chaos. Benoît Mandelbrot développe la géométrie fractale, qui fournit les outils pour décrire la structure des attracteurs étranges. Depuis les années 1990, la théorie du chaos est devenue un domaine de recherche majeur, et trouve des applications dans presque toutes les disciplines scientifiques.

Concepts fondamentaux

L'effet papillon est analogie classique de cette sensibilité aux conditions initiales : "Un battement d'ailes de papillon à Nouméa peut-il provoquer une tempête en Bretagne?" L'idée est qu'un événement minuscule (le battement d'ailes, une variation minime de la pression atmosphérique) peut, en se propageant et en s'amplifiant à travers un système complexe (l'atmosphère terrestre), avoir des conséquences majeures et lointaines.

Déterminisme vs. imprévisibilité.
Un système dynamique affectant un comportement chaotique est régi par des règles strictes (déterminisme), donc en principe, si l'on connaissait parfaitement l'état initial et les règles, on pourrait en prédire l'avenir. Cependant, la sensibilité aux conditions initiales rend cette connaissance parfaite impossible en pratique. Même une erreur de mesure infime sur l'état initial, inévitable dans le monde réel, sera amplifiée de manière exponentielle, rendant la prédiction à long terme impossible. C'est une imprévisibilité fondamentale découlant du déterminisme et de la non-linéarité.

Espace des phases.
Pour visualiser le comportement d'un système dynamique, on utilise l'espace des phases où chaque point représente l'état complet du système physique à un instant donné. 

• Dimensions. - L'état du système est défini par l'ensemble de ses variables de position et de ses variables d'impulsion (ou quantité de mouvement). Pour un système ayant N degrés de liberté, l'espace des phases est généralement de dimension 2N (N coordonnées de position et N coordonnées d'impulsion correspondantes).

• Point de l'espace des phases. - Un point unique dans l'espace des phases correspond à un état précis et instantané du système (par exemple, pour une seule particule en 1D, un point est défini par sa position x et son impulsion px à un instant t).

• Trajectoire de l'espace des phase. - L'évolution du système au fil du temps est représentée par une courbe ou une trajectoire continue dans cet espace. Cette trajectoire est déterminée par les équations du mouvement du système (comme les équations de Hamilton en mécanique classique). Dans un système chaotique, les trajectoires partant de points très proches s'éloignent rapidement les unes des autres dans l'espace des phases.

Les systèmes chaotiques tendent vers des attracteurs étranges. Ce sont des attracteurs avec des propriétés particulières. Ils sont :

• Fractals. - Ils ont une structure complexe à toutes les échelles, avec une dimension fractale (non entière). Si l'on zoome sur une partie d'un attracteur étrange, on y retrouve des structures similaires à l'ensemble.

Les fractales, étudiées et popularisées par Benoît Mandelbrot, sont des objets mathématiques qui présentent une auto-similarité : des motifs similaires se répètent à différentes échelles. Cette structure fractale est intrinsèquement liée aux attracteurs étranges et aux propriétés géométriques de l'espace des phases dans les systèmes chaotiques. Elles sont la "signature" visuelle de l'ordre caché dans le chaos. L'ensemble de Mandelbrot lui-même, bien que construit différemment, est l'une des fractales les plus célèbres illustrant cette complexité infinie à petite échelle.

•  Bornés. - La trajectoire reste confinée dans une région limitée de l'espace des phases.

• Non répétitifs. - La trajectoire ne se ferme jamais sur elle-même et ne se répète jamais exactement, même si elle repasse indéfiniment près des mêmes régions.

•  Attirants. - Les trajectoires partant de l'extérieur de l'attracteur sont attirées vers lui.

dx/dt = σ(y - x)
dy/dt = x(ρ - z) - y
dz/dt = xy - βz

Contrairement aux attracteurs "simples" comme un point fixe (le système s'arrête) ou un cycle limite (le système tourne en boucle), l'attracteur de Lorenz a une structure fractale  (il a des détails complexes à toutes les échelles), et les trajectoires qui se déplacent sur cet attracteur sont non périodiques (elles ne se répètent jamais exactement), surtout, présentent une extrême sensibilité aux conditions initiales.

Le système d'équations de Lorenz est déterministe (ses équations sont précises, sans hasard), mais même une différence infime entre deux états de départ peut entraîner des divergences exponentielles des trajectoires sur l'attracteur au bout d'un certain temps, rendant la prédiction à long terme impossible. Les trajectoires restent confinées à l'attracteur, mais leurs positions précises deviennent rapidement imprévisibles.

Les bifurcations, routes vers le chaos.
Dans l'étude des systèmes dynamiques non linéaires, une bifurcation est un changement soudain et qualitatif dans le comportement d'un système lorsque l'un de ses paramètres est lentement modifié. Ces paramètres, dits  paramètres de contrôle, représentent des conditions externes ou des propriétés intrinsèques du système qui peuvent varier (température, pression, taux de croissance, etc.).

Lorsqu'un paramètre franchit une certaine valeur critique, le système peut changer de "régime". Cela se manifeste typiquement par l'apparition, la disparition ou le changement de stabilité de ses attracteurs – les états vers lesquels le système tend à évoluer à long terme (points fixes, cycles limites, attracteurs étranges). Avant une bifurcation, le système peut présenter un comportement simple et stable, convergeant vers un point fixe ou un cycle de période simple. Au moment de la bifurcation, cet attracteur stable peut perdre sa stabilité, et un ou plusieurs nouveaux attracteurs de nature différente (par exemple, un point fixe devient un cycle, ou un cycle de période N devient un cycle de période 2N) peuvent émerger à proximité dans l'espace des phases du système. Dans le contexte de la théorie du chaos, les bifurcations sont particulièrement importantes car elles peuvent constituer le mécanisme par lequel un système passe d'un comportement simple et prévisible à un comportement complexe, apparemment aléatoire et chaotique. 

Une route célèbre vers le chaos est la cascade de doublements de période. Imaginez un système simple dont le comportement à long terme est un état stable unique (un point fixe). Si l'on modifie un paramètre, ce point stable peut perdre sa stabilité par une bifurcation dite "de flip" ou "de doublement de période". Le système ne converge plus vers un point unique, mais oscille entre deux états différents, formant un cycle de période 2. En modifiant davantage le paramètre, ce cycle de période 2 peut à son tour devenir instable par une autre bifurcation de doublement de période, donnant naissance à un cycle de période 4 (le système alterne entre quatre états différents). Ce processus de doublement de période (4 → 8 → 16, etc.) se répète de manière de plus en plus rapide à mesure que le paramètre approche une valeur critique. Au-delà d'une certaine valeur d'accumulation de ces bifurcations de doublement de période (point d'accumulation de Feigenbaum), le comportement du système devient aperiodique et présente les caractéristiques du chaos : sensibilité extrême aux conditions initiales et imprévisibilité à long terme malgré son déterminisme sous-jacent.
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Diagramme de bifurcation (fractale de Feigenbaum).
L'évolution de ce système chaotique repose sur
l'équation logistique : xn+1 = αaxn(1-xn)

D'autres types de bifurcations (comme la bifurcation selle-noeud où deux points fixes apparaissent ou disparaissent, ou la bifurcation de Hopf où un point fixe stable donne naissance à un cycle limite stable) peuvent également jouer un rôle dans la transition vers des comportements complexes ou chaotiques en modifiant la topologie de l'espace des phases et la nature des attracteurs.

Structures dissipatives et chaos déterministe.
Tous les systèmes non linéaires ne sont pas nécessairement chaotiques. C'est le cas, par exemple, de ceux qui mènent à l'apparition de structures dissipatives, et dans lesquels peuvent se manifester un aspect ordonné et un aspect chaotique de façon complémentaire. 

Les structures dissipatives, un concept développé notamment par Ilya Prigogine, sont des phénomènes propres à certains systèmes ouverts qui maintiennent un état d'organisation (ordre) en échangeant constamment énergie et matière avec leur environnement et en dissipant l'entropie qu'ils produisent. Ils sont caractérisés par leur existence loin de l'équilibre thermique et chimique, et la formation de ces structures (comme les cellules de Bénard, structures hexagonales dans un fluide chauffé par le bas), ou les oscillations dans certaines réactions chimiques, comme les réactions de Belousov-Zhabotinsky) est une forme d'auto-organisation émergente. Leur essence, pourrait-on dire, est l'émergence de l'ordre à partir du désordre apparent, permise par le flux d'énergie et de matière.

L'auto-organisation des structures dissipatives peut parfois être comprise comme la sélection d'un attracteur dans l'espace des phases du système, qui peut être simple (point stable, cycle limite) ou complexe (attracteur étrange associé au chaos). Les bifurcations (changements qualitatifs dans le comportement du système lorsque certains paramètres sont modifiés) jouent couramment  un rôle dans la transition d'un état simple (équilibre) à un état plus complexe et structuré (structure dissipative).

De nombreux systèmes qui présentent un chaos déterministe observable (en particulier ceux modélisés par des attracteurs étranges) sont des systèmes dissipatifs. La dissipation (perte d'énergie, de volume dans l'espace des phases) est souvent nécessaire pour qu'un système dynamique converge vers un attracteur étrange borné, qui est la marque d'un comportement chaotique soutenu dans un espace fini. Sans dissipation, les trajectoires dans l'espace des phases d'un système conservatif ne peuvent pas converger (théorème de Liouville), bien que le chaos puisse exister sous d'autres formes (comme l'errance sur une surface d'énergie constante).

Lorsque les paramètres contrôlant  une structure dissipative (par exemple, la différence de température, la concentration des réactifs) dépassent certaines valeurs critiques, la structure organisée peut perdre sa stabilité et le système peut passer à un état de comportement chaotique. Par exemple, les cellules de Bénard peuvent devenir oscillantes puis turbulentes (un état qui peut être décrit comme un chaos déterministe) à mesure que le gradient de température augmente. Une réaction chimique oscillante (une structure dissipative temporelle) peut entrer dans un régime chaotique. Ainsi, le chaos peut être l'une des dynamiques complexes possibles qu'un système capable de former des structures dissipatives peut adopter sous certaines conditions.

Les réactions de Belousov-Zhabotinsky.
Les réactions de Belousov-Zhabotinsky (réactions de BZ) sont un type classique de réactions chimiques oscillantes. Elles ont été découvertes dans les années 1950 par Boris Belousov, mais leur importance n'a été pleinement reconnue qu'après les travaux d'Anatol Zhabotinsky dans les années 1960. Initialement, l'idée d'oscillations chimiques soutenues était accueillie avec scepticisme, car elle semblait contredire les principes d'équilibre. Contrairement à la plupart des réactions chimiques qui évoluent de manière continue vers un état d'équilibre, les réactions de BZ voient les concentrations de certaines espèces chimiques intermédiaires fluctuer de manière cyclique au cours du temps. Cela peut se manifester par un changement de couleur périodique si un indicateur de redox est utilisé. Elles sont un exemple typique de système chimique qui opère loin de l'équilibre thermodynamique. 

Les oscillations ne peuvent exister que tant que le système est approvisionné en réactifs et n'a pas atteint l'équilibre final. Le mécanisme est assez complexe, mais il repose sur une combinaison d'une autocatalyse  (une étape où un produit catalyse sa propre formation, entraînant une augmentation rapide de sa concentration), et d'une rétroaction négative (une autre étape qui produit une substance inhibitrice ou consomme le catalyseur, ralentissant ou arrêtant l'étape autocatalytique) suivies d'une consommation de l'inhibiteur par d'autres réactions, ce qui permet au cycle autocatalytique de redémarrer. Ce cycle production rapide/inhibition/redémarrage entraîne les oscillations.

Une réaction de BZ classique implique généralement : un agent oxydant (souvent des ions bromate, BrO₃⁻); un substrat organique réducteur (par exemple, de l'acide malonique ou citrique), un catalyseur métallique qui peut exister dans plusieurs états d'oxydation (comme le cérium Ce⁴⁺/Ce³⁺ ou la ferroïne Fe³⁺/Fe²⁺), et un milieu acide (comme l'acide sulfurique). Si la réaction n'est pas agitée, les oscillations peuvent se propager sous forme d'ondes chimiques à travers le milieu. On peut observer des motifs fascinants comme des ondes cibles (cercles concentriques) ou des spirales. C'est un bel exemple d'auto-organisation dans les systèmes chimiques.

Exemples de systèmes où l'on observe le chaos

• Physique. - La turbulence est un comportement chaotique (tourbillons imprévisibles dans les liquides ou gaz). Le double pendule (un pendule attaché à l'extrémité d'un autre pendule) présente un mouvement chaotique classique. Autres exemples pourvant manifester un comportement chaotique : les lasers; les systèmes de dynamique des plasmas; certains systèmes mécaniques quantiques (bien que le lien entre chaos classique et quantique soit un domaine complexe). 

• Chimie. - Certaines réactions chimiques (réactions de Belousov-Zhabotinsky, ci-dessus) peuvent montrer des oscillations chaotiques.

•  Météorologie et climatologie. - L'atmosphère est le système chaotique archétypique. La prévision météorologique précise n'est possible que sur une période limitée (quelques jours) à cause de l'effet papillon.

• Écologie. - La dynamique des populations (variation du nombre d'individus dans une population au cours du temps) peut présenter un comportement chaotique.

• Économie et finance. - Les fluctuations des marchés boursiers, bien que difficiles à modéliser précisément, montrent des caractéristiques qui s'apparentent au chaos déterministe.

• Physiologie. - Le rythme cardiaque (arythmies), l'activité cérébrale (épilepsie), la propagation d'épidémies peuvent être sujets à des comportements chaotiques.

Signification et impact

On doit aussi noter que certains systèmes non linéaires atteignent des états stables ou cycliques. L'imprévisibilité concerne le comportement à long terme. Une prédiction à court terme est souvent possible et fiable. Identifier et prouver que le comportement d'un système réel est véritablement chaotique peut être complexe, nécessitant des données suffisantes et des outils d'analyse appropriés.