-

La pensée et ses outils > Logique et théorie de la connaissance > Mathématiques > Analyse > Fonctions

Les fonctions sinusoïdales

Les fonctions sinusoïdales, principalement la fonction sinus et la fonction cosinus, proviennent de l'étude du cercle trigonométrique. Si on considère un point M sur un cercle de rayon 1 centré à l'origine, alors : sin⁡(θ) = y et cos⁡(θ) = x où (x, y) sont les coordonnées de M. Ainsi, sin⁡(θ) et cos(θ) décrivent les oscillations liées à une rotation uniforme. Une fonction sinusoïdale s'écrit en général : f(x) = A.sin⁡(ωx + φ) + D ou f(x) = A.cos⁡(ωx + φ) + D, où A est l'amplitude, ω est la pulsation (liée à la fréquence), φ est la phase initiale (décalage horizontal) et D est le décalage vertical.

La période T d'une fonction sinusoïdale est T = 2π/ω; la fréquence est f = 1/T = ω/2π. Un telle fonction oscille entre D − A et D + A. Sinus est une fonction impaire (sin⁡(−x) = −sin⁡(x); cosinus est une fonction paire (cos⁡(−x) = cos⁡(x)). La fonction cosinus est analogue à la fonction sinus décalée d'une phase de φ1 = π/2, soit : cos⁡(θ) = sin⁡(θ + π/2).

Les fonctions sinusoïdales modélisent de nombreux phénomènes physiques : oscillations d'un pendule (approximation), ondes sonores et lumineuses, courant alternatif en électricité, vibrations mécaniques. Les paragraphes qui suivent introduisent des notions couramment utilisées en physique.

Représentations vectorielle et complexe.
La fonction sinus (ou cosinus) dessine une courbe ondulée régulière, répétant un motif sur chaque intervalle de longueur 2π. Les paramètres A, ω, φ et D modifient respectivement : la hauteur, l'étirement horizontal, le décalage latéral, et la position verticale.

Représentation de Fresnel.
La représentation de Fresnel d'une fonction sinusoïdale repose sur l'idée de visualiser une oscillation à l'aide d'un vecteur tournant dans le plan complexe. On associe à une fonction du type f(t) = Asin⁡(ωt + φ) un vecteur de longueur A, qui tourne autour de l'origine avec une vitesse angulaire ω. L'angle entre ce vecteur et l'axe des abscisses au temps t=0 correspond à la phase φ. La projection de ce vecteur tournant sur l'axe vertical donne exactement la valeur instantanée de la fonction sinus.

Ainsi, plutôt que de représenter la sinusoïde directement dans un repère
(t, f(t)), Fresnel propose de représenter le vecteur comme un « générateur » de la sinusoïde. Cette approche rend très claire l'idée de phase, de déphasage et de composition de signaux : deux sinusoïdes de même fréquence correspondent à deux vecteurs tournant à la même vitesse, mais avec des angles initiaux différents. Leur addition revient alors à effectuer une addition vectorielle, ce qui simplifie l'analyse.

Cette représentation est particulièrement utile en physique et en électrotechnique, où les phénomènes oscillatoires sont omniprésents. Elle offre une lecture géométrique intuitive : l'amplitude correspond à la norme du vecteur, la fréquence à sa vitesse de rotation, et la phase à son orientation initiale. On obtient ainsi une image dynamique où la sinusoïde est comprise comme une simple projection d'un mouvement circulaire uniforme.

Représentation complexe.
La représentation complexe d'une fonction sinusoïdale repose sur l'utilisation de la formule d'Euler : e^iθ= cos⁡(θ) + isin⁡(θ). Une sinusoïde réelle, telle que f(t) = Acos⁡(ωt+φ), peut être vue comme la partie réelle de l'exponentielle complexe f(t) = Re{Ae^i(ωt+φ)}. De cette manière, l'oscillation est représentée par un vecteur complexe, appelé phaseur, de module A et d'argument φ, qui tourne à vitesse angulaire ω dans le plan complexe.

L'avantage de cette représentation est qu'elle simplifie les calculs, en particulier lorsqu'il s'agit d'additionner ou de comparer plusieurs fonctions sinusoïdales de même fréquence. Les déphasages et amplitudes sont directement intégrés dans les modules et arguments des nombres complexes. Les opérations qui seraient longues en trigonométrie deviennent alors de simples manipulations algébriques sur les exponentielles complexes. Ainsi, la fonction sinusoïdale réelle est obtenue comme projection (partie réelle ou imaginaire selon le choix) d'un mouvement circulaire uniforme dans le plan complexe, ce qui prolonge la représentation de Fresnel mais dans un cadre analytique plus puissant.

Différence de phase entre deux fonctions sinusoïdales de même période.
Lorsque deux fonctions sinusoïdales de même période sont comparées, leur différence de phase détermine la manière dont elles se superposent. On considère deux fonctions : f1(t) = Asin⁡(ωt) et f2(t) = Asin⁡(ωt + Δφ), où Δφ est la différence de phase. Plusieurs cas pourront alors être distingués :

• En phase (Δφ = 0). - Les deux fonctions évoluent ensemble. Leurs maximums, minimums et zéros coïncident. Graphiquement, les courbes se superposent parfaitement.
• Opposition de phase (Δφ = π). - Lorsque l'une atteint un maximum, l'autre atteint un minimum. Les deux signaux sont symétriques par rapport à l'axe horizontal : on dit qu'ils sont en opposition.
• Quadrature de phase (Δφ = ±π/2) . - L'une des fonctions vaut zéro, tandis que l'autre est à atteint un extrémum.
• Avance de phase (0< Δφ < π). - La seconde fonction atteint ses valeurs caractéristiques (pics et zéros) plus tôt que la première. On dit qu'elle est « en avance » de phase.
• Retard de phase (-π < Δφ < 0). - La seconde fonction atteint ses valeurs caractéristiques plus tard que la première. Elle est donc « en retard » de phase.
• Déphasage partiel. - Dans les cas intermédiaires, les deux sinusoïdes ne coïncident ni totalement ni en opposition complète. Leur superposition dépend de Δφ. C'est ce qui explique, par exemple, les interférences partiellement constructives ou destructives en physique des ondes.

Somme de deux fonctions sinusoïdales de même période.
Méthode de Fresnel.
Lorsqu'on additionne deux fonctions sinusoïdales de même période mais de phases différentes, la méthode de Fresnel fournit une approche géométrique simple grâce à l'utilisation des vecteurs tournants. On considère : f1(t) = A1sin⁡(ωt + φ1) et f2(t) = A2sin⁡(ωt + φ2). Chacune est représentée par un vecteur tournant de modules A1 ou A2, orienté initialement selon les angles φ1 et φ2. Comme ils tournent à la même vitesse angulaire ω, leurs positions relatives restent constantes dans le plan.

La somme des deux sinusoïdes correspond à la projection sur un axe de la somme vectorielle des deux vecteurs tournants de longeur AR et d'angle initial φR. On obtient une seule sinusoïde équivalente : f(t) = f1(t) + f2(t) = ARsin⁡(ωt + φR), où

Notation complexe.
La notation complexe, toujours sur la base de la formule d'Euler, permet de simplifier considérablement l'addition de deux fonctions sinusoïdales de même période. On considère ici encore les deux sinusoïdes : f1(t) = A1sin⁡(ωt + φ1) et f2(t) = A2sin⁡(ωt + φ2). Chacune peut être représentée comme la partie réellle d'une exponentielle complexe : f1(t) = Re{A1e^i(ωt+φ1)} et f2(t) = Re{A2e^i(ωt+φ2)}, ce qui permet de définir les deux phaseurs correspondants : F1 = A1e^iφ1 et F2 = A2e^iφ2. La somme devient alors : f(t) = f1(t) + f2(t) = Re{(F1 + F2)e^iωt}.

Ainsi, le problème se ramène à additionner simplement deux nombres complexes F1 et F2. Leur somme est un nouveau phaseur : FR = F1 + F2 = ARe^iφR. La fonction résultante est donc : f(t) = ARcos⁡(ωt+φR), où l'amplitude AR et la phase φR proviennent directement du module et de l'argument de FR. Cette méthode évite le recours à des développements trigonométriques complexes et permet d'obtenir rapidement l'amplitude et la phase de la sinusoïde résultante, en utilisant uniquement l'algèbre des nombres complexes.

Dictionnaire Idées et méthodes