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Echiquier arithmétique

On donne le nom d'échiquiers arithmétiques à des tableaux numériques, habituellement de forme carrée ou rectangulaire, présentant des cases analogues à celles d'un papier quadrillé. Dans chacune de ces cases est inscrit un nombre qui se forme d'après une loi déterminée.

L'échiquier de Wheat et ses variantes

Le problème de l'échiquier de Wheat.
Un échiquier est, au sens propre, le plateau de 8 x 8 = 64 cases sur lequel se joue le jeu d'échecs. C'est à un tel échiquier que se réfère le problème mathématique classique, dit de l'échiquier de Wheat, et qui illustre la croissance exponentielle. L'énoncé du problème est le suivant :

Si l'on place un grain de blé sur la première case d'un échiquier, puis deux grains sur la deuxième case, quatre grains sur la troisième case, et ainsi de suite en doublant la quantité de grains à chaque case, combien de grains de blé aurons-nous placés sur l'ensemble de l'échiquier à la fin?

Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser une progression géométrique. La quantité de grains de blé sur chaque case est donnée par la formule 2^n-1, où n représente le numéro de la case. En additionnant les quantités de grains de blé sur chaque case, nous obtenons : 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2⁶³. Ce qui équivaut à la somme des puissances de 2 de 0 à 63. La réponse est une quantité astronomique. En effet, la cette somme est égale à 2^{64 - 1}, soit environ 18,446,744,073,709,551,615 grains de blé. Cela signifie que si vous deviez placer autant de grains de blé sur l'échiquier arithmétique, vous auriez besoin d'une quantité de blé dépassant de loin la production mondiale annuelle de cette céréale, et même de toutes les céréales réunies...

Variantes.
Il existe plusieurs variantes du problème classique de l'échiquier de Wheat, dans lesquelles les règles de progression ou de calcul changent. Ces variations d'échiquiers arithmétiques peuvent rendre les calculs plus complexes, mais l'idée de base reste la même : chaque case contient une quantité basée sur une progression arithmétique, géométrique ou une autre séquence mathématique. Voici quelques exemples de différentes sortes d'échiquiers arithmétiques :

• Échiquier de progression arithmétique : Dans ce type d'échiquier, les cases sont remplies en suivant une progression arithmétique. Par exemple, la première case peut contenir le nombre 3, la deuxième case le nombre 6, la troisième case le nombre 9, et ainsi de suite, en ajoutant 3 à chaque case. Cela forme une séquence arithmétique avec une différence constante.
• Échiquier de multiples : Dans cette configuration, les cases sont remplies avec des multiples d'un certain nombre. Par exemple, toutes les cases d'un échiquier peuvent être remplies avec des multiples de 5, où la première case contient 5, la deuxième case 10, la troisième case 15, et ainsi de suite.
• Échiquier quadratique : Dans cette variante, la quantité de chaque case est basée sur une progression quadratique. Par exemple, la première case peut contenir 1, la deuxième case 4, la troisième case 9, et ainsi de suite, en utilisant les carrés parfaits.
• Échiquier cubique : Ici, chaque case contient une quantité basée sur une progression cubique. Par exemple, la première case peut contenir 1, la deuxième case 8, la troisième case 27, en utilisant les cubes parfaits.
Échiquier géométrique avec un facteur différent : Au lieu de doubler la quantité à chaque case, d'autres facteurs peuvent être utilisés pour générer la séquence. Par exemple, un échiquier avec une progression géométrique en utilisant un facteur de 3 aura la première case contenant 1, la deuxième case 3, la troisième case 9, et ainsi de suite.
Échiquier de nombres pairs/impairs : Dans cette variante, les cases d'un échiquier sont alternativement remplies avec des nombres pairs et impairs. Par exemple, la première case peut contenir le nombre 2 (pair), la deuxième case le nombre 1 (impair), la troisième case le nombre 4 (pair), la quatrième case le nombre 3 (impair), et ainsi de suite.

Les généralisations de l'échiquier arithmétique

Il est également possible de donner à l'échiquier arithmétique un nombre quelconque de cases, et même d'en modifier la forme géométrique. Ed. Lucas a montré le premier toute l'utilité d'une telle généralisation dans un grand nombre de recherches arithmétiques, soit pour simplifier des démonstrations de théorèmes connus, soit pour en découvrir de nouveaux, soit pour résoudre certains problèmes; il y a lieu surtout de citer sa théorie des permutations figurées (

Analyse combinatoire). Plus tard, Delannoy imagina de faire varier la forme de l'échiquier; par la considération d'échiquiers triangulaires, pentagonaux, hexagonaux, il parvint à résoudre simplement des problèmes difficiles, et notamment des questions de probabilités. Citons seulement ici quelques exemples :

1° sur un damier dont la largeur présente un nombre donné de cases et dont la longueur est indéfinie, par combien de chemins différents un pion qui ne recule jamais peut-il se rendre d'une case donnée à une autre?
2° problème sur la durée du jeu : Pierre et Paul jouent l'un contre l'autre à chances égales; en entrant au jeu, chacun d'eux possède n €, et, à chaque partie, le perdant donne 1 euro au gagnant. Le jeu se termine dès que l'un des joueurs est ruine. Quelle est la probabilité que le jeu se terminera après la µ^e partie?
3° A et B jouent l'un contre l'autre, avec les probabilités respectives p et q, de sorte que p + q = 1; A possède a € et B possède b € en entrant au jeu; à chaque partie le perdant donne 1 € au gagnant. Quelle est la probabilité que A ruinera B avant la µ^e partie?

Ces questions ont été étudiées par des mathématiciens de grande valeur, parmi lesquels nous pouvons citer Huyghens, Moivre, Laplace, Lagrange, Ampère, Bertrand, Bouché, Hermann Laurent, et conduisent, par les méthodes ordinaires, à des formules extrêmement compliquées, parfois illusoires. L'échiquier, au contraire, donne des solutions presque immédiates et relativement simples.

L'un des exemples les plus simples d'échiquiers arithmétiques est fourni par la table de Pythagore; le triangle arithmétique de Pascal, le carré arithmétique de Fermat sont aussi des échiquiers arithmétiques. Les questions de cette nature tiennent de près à la géométrie des quinconces ou des tissus. Il y a lieu de mentionner aussi l'échiquier anallagmatique de Sylvester; c'est un carré formé de cases noires et blanches, de telle sorte que, pour deux lignes on deux colonnes quelconques, le nombre total des variations de couleur soit toujours égal au nombre des permanences. Ed. Lucas a fait remarquer l'analogie qui existe entre l'échiquier anallagmatique et les formules qui donnent la décomposition du produit de sommes de 2ⁿ carrés. D'un échiquier anallagmatique on peut déduire un grand nombre d'autres :

1° par la permutation des colonnes et des lignes;
2° par le changement des couleurs des cases d'une ligne ou d'une colonne quelconque. (A. Laisant).

Dictionnaire Idées et méthodes