Fermat

Pierre Fermat (1601-1665).
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Tandis que sa carrière de magistrat s'écoulait obscurément, par sa correspondance avec quelques savants de son temps (Roberval, Torricelli, Huygens, etc.) et par la communication en manuscrit de traités composés en latin, il s'acquit, dès 1637, le renom d'un mathématicien hors de pair. Ses principales relations furent d'abord avec Despagnet (le fils), conseiller au parlement de Bordeaux, Carcavi, qui, d'abord son collègue à Toulouse, le mit en rapport, une fois à Paris, avec Beaugrand et Mersenne, et qu'il fit le dépositaire de ses écrits. Le minime fut un des agents les plus considérables de la propagation des travaux de Fermat; il l'engagea en 1637 dans une dispute célèbre avec Descartes sur l'explication de la réfraction, dispute qui s'étendit bientôt à la méthode de maximis et minimis dont Fermat était l'inventeur, et qui se termina par une réconciliation apparente. 

C'est également par Mersenne que Fermat connut Roberval et Frénicle. Plus tard, Carcavi le mit en rapport avec Blaise Pascal et probablement aussi avec Digby, lequel lui donna l'occasion du défi et du procès mathématique dont les pièces sont réunies dans le Commercium epistolicum de Wallis. Fermat, après avoir plusieurs fois entretenu Carcavi du projet de publier ses oeuvres, sans y mettre toutefois son nom, mourut, n'ayant fait imprimer qu une seule dissertation sous les initiales M. P. E. A. S., en 1660 (à la suite du traité de Lalouvère sur la cycloïde), où il démontrait, à la façon d'Archimède, la rectification de courbes géométriques. Pour une de ces courbes, il avait été devancé, sans qu'il le sût, par Neil et Van Heuraet; la rectification d'une autre (développée de l'hyperbole équilatère) lui appartient sans conteste. Son fils Samuel s'occupa de publier les écrits de son père, mais il éprouva les plus grandes difficultés, car, d'un côté, il n'était nullement mathématicien; d'autre part, Fermat n'avait pas l'habitude de conserver de papiers, même de copies de ses travaux, et Carcavi montra une mauvaise volonté peu explicable.

Samuel commença en tous cas par réimprimer, en 1670, l'édition gréco-latine du Diophante de Bachet de Méziriac, en y insérant les célèbres Observations que son père avait consignées en marge de son exemplaire et le Doctrinae analyticae inventum novum, rédigé par le P. de Billy sur les lettres (perdues) que lui avait adressées Fermat à propos des problèmes d'analyse indéterminée. Neuf ans plus tard, Samuel était enfin parvenu à réunir la plupart des écrits latins de son père et un nombre suffisant de lettres inédites; laissant de côté celles qui avaient déjà été publiées par Clerselier dans la correspondance de Descartes, il fit imprimer l'in-folio connu sous le titre de Varia opera.

Le nom du mathématicien de Toulouse est inséparable de la théorie des nombres dont il jeta les fondements en étudiant Diophante. Comme, de son temps, l'attention se portait beaucoup plus sur les solutions de problèmes que sur les théorèmes, et qu'après lui, l'invention du calcul infinitésimal absorba les esprits, ses propositions généralement énoncées sans démonstration dans sa correspondance ou dans les observations sur Diophante, restèrent infécondes jusqu'à Euler, et l'on ne peut être encore assuré d'en savoir sur ce sujet autant que lui. 

Si une de ces propositions (que 2²ⁿ+1 soit un nombre premier) a été reconnue fausse, il en est surtout une autre (que xⁿ+yⁿ = zⁿ soit impossible en nombre entiers, si n >2) qu'on a supposée vraie sans avoir pu, jusqu'en 1994 grâce aux travaux de longue haleine d'Andrew Wiles, la démontrer dans toute sa généralité. Quoiqu'il déclare formellement posséder la démonstration de cette dernière proposition (ce qu'il n'a jamais fait pour la première), eu égard à sa méthode de travail de tête, une erreur de sa part n'est pas impossible (ses écrits, même les plus travaillés, pourraient en donner des preuves). Elle ne diminuerait pas en tout cas la gloire d'un homme qui a le premier abordé des questions de cet ordre et trouvé des méthodes pour les résoudre.

Théorème de Fermat. - Ce théorème fondamental dans la théorie des nombres peut s'énoncer ainsi : si p est un nombre premier qui ne divise pas a, a^p-1-1 est divisible par p; il a été généralisé de plusieurs manières.

Mais ce que l'on néglige d'ordinaire de remarquer, c'est que Fermat partage avec Descartes l'invention de la géométrie analytique; il l'a conçue à la même époque, d'une façon tout indépendante et sous une forme qui se rapproche plus de la classique que celle de Descartes (Isagoge ad locos planos et solidos). Il a corrigé son rival sur un point essentiel, la classification par degrés. Il a d'ailleurs le premier tenté de s'étendre à trois dimensions, dans un essai d'ailleurs malheureux (Isagoge ad locos ad superficiem), où, essayant de classer les surfaces du second degré, il ne reconnaît comme réglés que les cônes et les cylindres. 

En algèbre pure, on lui doit en particulier la première méthode générale d'élimination. Il peut être regardé avec Pascal comme l'inventeur du calcul des probabilités. Enfin, il a laissé, en géométrie ancienne, des travaux remarquables, en particulier une restitution des Lieux plans d'Apollonius. 

En dehors de ses aptitudes mathématiques, Fermat possédait une érudition singulière; la philologie grecque et latine lui doit diverses corrections importantes, et il se plaisait à composer des vers latins. Son caractère, d'après sa correspondance, se montre affable, peu susceptible, sans orgueil, mais avec cette pointe de vanité que Descartes, son contraire à tous égards, caractérisait en disant : « M. de Fermat est Gascon; moi, je ne le suis pas. » (P. Tannery).