Le moment cinétique

Pour un point matériel (par rapport à un point O).
Soit un point M de masse m, ayant une vitesse v et une quantité de mouvement  p = mv. Son moment cinétique par rapport à un point fixe O est défini par le produit vectoriel : LO = OMΛp, où OM est le vecteur position du point M par rapport à l'origine O; p est le vecteur quantité de mouvement, et Λ est le symbole du produit vectoriel.

Norme : LO = r.p.sinθ  = m.r.v..sinθ, où θ est l'angle entre OM et v. Cette norme est maximale lorsque le mouvement est purement circulaire (θ =π/2). La norme du moment cinétique est proportionnelle à la vitesse aréolaire (la surface balayée par le vecteur position par unité de temps). C'est la deuxième loi de Kepler.

Contrairement au cas du point matériel, L et ω ne sont pas toujours colinéaires pour un solide quelconque. Ils le sont uniquement si l'axe de rotation est un axe de symétrie (axe principal d'inertie).

Théorème fondamental : la relation avec le couple d'une force.
L'équivalent de la loi fondamentale de la dynamique (F = dp/dt​​) pour la rotation est le théorème du moment cinétique.

Énoncé. - La dérivée temporelle du moment cinétique d'un système (par rapport à un point fixe O) est égale à la somme Γo  des couples des forces extérieures appliquées au système (par rapport au même point O) :

dLo/dt = ∑Mo...(Fext) = Γo

La conservation du moment cinétique.
La conservation du moment cinétique est une loi de conservation fondamentale, au même titre que la conservation de l'énergie ou de la quantité de mouvement. Le moment cinétique d'un système est conservé si la somme des moments des forces extérieures est nulle. Toute variation de vitesse ou de distance au centre d'une trajectoire est compensée par une variation inverse de l'autre quantité pour maintenir ce moment constant. Cela arrive principalement dans deux situations :

• Le système est isolé : aucune force extérieure n'agit.

• Les forces extérieures sont toutes des forces centrales : elles sont toutes dirigées vers un point fixe (le centre de force O). Leur moment par rapport à O est alors nul.

Lorsque l'espace est isotrope, il n'existe aucune préférence directionnelle, ce qui signifie que les forces agissant sur un système ne dépendent pas de l'orientation dans l'espace. Par conséquent, aucune composante du moment cinétique ne peut diminuer ou augmenter de manière spontanée sans une interaction extérieure : si un système est isolé et soumis à des forces dont les directions ne privilégient aucune orientation, alors le moment cinétique total du système reste constant.

Cette conservation peut être illustrée par divers exemples classiques. 

• Patineuse sur glace. - On imagine une patineuse sur glace en train de tourner sur elle-même. Lorsqu'elle commence avec ses bras écartés, son moment cinétique global est relativement faible en raison de sa distribution de masse plus éloignée de son axe de rotation. Si elle ramène ses bras vers son corps, sa distribution de masse se concentre davantage autour de son axe, augmentant ainsi sa vitesse de rotation proportionnellement pour conserver le même moment cinétique global. Cette adaptation permet au moment cinétique d'être préservé malgré les changements locaux de configuration. Cette conservation découle directement de l'absence de préférences directionnelles dans les interactions gravitationnelles et autres forces agissant sur ces objets.

• Mouvement des planètes. - Dans le cas des orbites elliptiques des planètes, la conservation du moment cinétique joue aussi un rôle détéerminant. En se déplaçant le long de leur orbite, les planètes accélèrent lorsqu'elles sont proches du Soleil (point de périhélie) et ralentissent lorsque la distance augmente (point d'aphélie). Cependant, malgré ces variations de vitesse, le produit de la masse de la planète, de sa vitesse tangentielle et de la distance radiale au Soleil reste constant. La conservation du moment cinétique explique ainsi la 2^e loi de Kepler (loi des aires). Ici encore, l'isotropie de l'espace garantit que les forces gravitationnelles agissant sur une planète proviennent uniquement de son centre de masse avec le Soleil. Ces forces ne favorisent aucune direction spécifique, ce qui assure la conservation du moment cinétique orbital de la planète. 

• Trous noirs en rotation et pulsars. - Pour les pulsars (étoiles à neutrons) et les trous noirs en rotation, qui représentent des objets extrêmement compacts, la conservation du moment cinétique est encore plus évidente. Ces objets possèdent une masse colossale concentrée dans un espace extrêmement réduit. Leur rotation initiale est amplifiée considérablement après leur formation, car la contraction de leur volume entraîne une augmentation de leur vitesse de rotation pour maintenir le moment cinétique constant. Par exemple, une étoile à neutrons peut tourner plusieurs fois par seconde (certains pulsars ont même une période de rotation excessivement rapide, de l'ordre de la milliseconde), tandis qu'avant son effondrement, elle tournait beaucoup plus lentement (quelques jours à plusieurs semaines). De même, pour les trous noirs, bien que leur masse soit encapsulée dans un rayon d'évaporation très petit, leur moment cinétique initial est conservé, ce qui influence leurs propriétés gravitationnelles et magnétiques. Cette conservation découle directement de l'absence de préférences directionnelles dans les interactions gravitationnelles et autres forces agissant sur ces objets.

En relativité restreinte.
La définition du moment cinétique est modifiée pour être compatible avec les principes de la relativité.  La vitesse de l'objet ne peut plus être simplement multipliée par son moment linéaire (quantité de mouvement), car cette approche ne serait plus valide aux vitesses proches de celle de la lumière. Le moment cinétique relativiste est donné par le produit vectoriel de la position relative et de la quantité de mouvement relativiste. La quantité de mouvement relativiste, p, est définie comme p = γmv, où γ est le facteur de Lorentz, m est la masse invariante de l'objet, et v est sa vitesse. Ainsi, le moment cinétique relativiste L est calculé par L = rΛp.

Cette formulation garantit que le moment cinétique est invariant sous les transformations de Lorentz, c'est-à-dire qu'il conserve la même valeur indépendamment du référentiel choisi, tant que ce référentiel est inertiel. Cela signifie que même si la vitesse de l'objet change de manière significative entre deux référentiels, le moment cinétique reste constant dans chaque référentiel respectivement.

En mécanique quantique.
Le moment cinétique est quantifié  (il ne peut prendre que des valeurs discrètes).

• Le moment cinétique orbital (L) décrit le "mouvement" des électrons autour du noyau. Ses valeurs possibles sont des multiples entiers de  (constante de Planck réduite).

• Spin (S). - C'est un moment cinétique intrinsèque, propre à chaque particule, indépendant de son mouvement. Il n'a pas d'équivalent classique. Le spin des électrons est fondamental pour comprendre le magnétisme et la structure des atomes.

Le moment cinétique quantique joue un rôle central dans la description des propriétés spectroscopiques des atomes et des molécules. Par exemple, il explique les niveaux de transition autorotatoires dans les spectres d'émission ou d'absorption, ainsi que les propriétés magnétiques des particules, telles que le spin. Les valeurs propres de L² sont données par²l(l + 1), où l est un entier non négatif correspondant au nombre quantique orbital, tandis que celles de Lz sont ml, avec ml prenant des valeurs entières allant de −l à +l. Le spin D obéit aux mêmes relations de commutation et possède aussi des valeurs quantifiées S² = ²s(s+1).