Les théories de la relativité

L'idée fondamentale derrière cette notion de relativité est que les équations mathématiques utilisées pour décrire des phénomènes physiques doivent rester invariantes sous différentes transformations de coordonnées. Par exemple, si on choisit des coordonnées cartésiennes pour décrire un système physique, on doit pouvoir passer à des coordonnées polaires, cylindriques, sphériques ou tout autre système de coordonnées sans que les lois physiques fondamentales ne changent. Même chose, lorsqu'on considère des référentiels en translation l'on par rapport à l'autre : les transformations de coordonnées doivent laisser les lois physiques invariantes. 

C'est ce que réalisent les transformations de coordonnées de Galilée dans la mécanique classique (relativité galiléenne), utilisables lorsque les vitesses en jeu sont faibles par rapport à la vitesse de la lumière, et aussi celles de la relativité d'Einstein, nécessaires lorsqu'on étudie des phénomènes impliquant des vitesses proches de celles de la lumière (relativité restreinte), ou encore lorsqu'on considère des phénomènes impliquant des champs de gravitation intenses (relativité générale).

Relativité galiléenne.
Galilée le premier a établi la relativité du mouvement. Une classe particulière de référentiels est définie : les référentiels galiléens, qui sont des systèmes de référence en translation uniforme les uns par rapport aux autres et dans lesquels toutes les lois de la physique ont la même expression (elles sont les mêmes pour un observateur dans un laboratoire en mouvement constant que pour un observateur dans un laboratoire immobile). 

Les équations de transformation de Galilée.
Les équations transformation décrivent comment l'expression des grandeurs physiques, telles que le temps, l'espace, la vitesse, et les énergies, se transforment lorsque l'on passe d'un référentiel à un autre. En mécanique classique, les transformations des coordonnées spatiales et temporelles sont basées sur les équations de transformation de Galilée. 

• Transformation de la position (espace). - L'espace est absolu. Si un observateur A se déplace à une vitesse constante v par rapport à un observateur B, les coordonnées spatiales (x, y, z) et le temps (t) mesurés par A par rapport à B (x', y', z', t') sont donnés par les équations suivantes :

x' = x - vt
y′=y
z′=z

Les coordonnées subissent une translation linéaire le long de l'axe des x en fonction du mouvement relatif de l'observateur A par rapport à B.

• Transformation du temps. - Le temps est absolu et identique dans tous les référentiels. 

t′=t

• Transformation de la vitesse. - Si un observateur A se déplace à une vitesse constante v par rapport à un observateur B, les vitesses des objets mesurées par A par rapport à B (vitesse relative) sont données par la formule suivante :

v' = v - u, 

où  v′ est la vitesse de l'objet par rapport à l'observateur A; v est la vitesse de l'observateur A par rapport à B; u est la vitesse de l'objet par rapport à l'observateur B.

La mécanique classique traite les vitesses comme des grandeurs simplement additives.

Relativité restreinte.
On donne le nom de relativité restreinte à la théorie publiée en 1905 par Albert Einstein. Elle repose notamment sur le pricipe de l'invariance de la vitesse de la lumière dans tous les référentiels galiléens et débouche sur une manière nouvelle (par rapport à la relativité galéléenne) de traiter les effets de la vitesse relative sur la mesure du temps et de l'espace. Le lien particulier qu'elle établit entre l'espace et le temps  conduit à les envisager au sein d'une entité unique, l'espace-temps. On parle de relativité restreinte, car celle-ci ne concerne qu'une classe d'observateurs : les observateurs en translation uniforme.

La relativité restreinte affirme que tous les systèmes galiléens ou inertiels sont équivalents. (Dans un système galiléen s'applique la loi de l'inertie). Les postulats de la théorie sont les suivants :

•  Les lois qui régissent les phénomènes physiques sont les mêmes pour tous les observateurs qui se meuvent à une vitesse constante (en translation uniforme) par rapport à un système de référence arbitraire.

•  La vitesse de la lumière dans le vide est la même pour tous les observateurs; elle est indépendante de la vitesse de la source lumineuse ou de celle de l'observateur. 

Les équations de transformation des coordonnées de Lorentz.
Les équations de Lorentz sont, pour la relativité restreinte, l'analogue de équations de la transformation de Galilée pour la mécanique classique. Elles décrivent la façon dont les mesures de l'espace et du temps se transforment pour un observateur en mouvement par rapport à un autre observateur. Elles garantissent que la vitesse de la lumière est la même pour tous les observateurs, quel que soit leur mouvement relatif.

• Transformation de l'espace. - La relativité restreinte prédit la contraction des longueurs dans la direction (axe des x) du mouvement d'un objet en mouvement relativement à un observateur. Cette contraction est connue sous le nom de contraction de Lorentz.

Où t est le temps dans le référentiel initial; x est la position dans le référentiel initial;   t' est le temps dans le référentiel en mouvement;  x' est la position dans le référentiel en mouvement; v est la vitesse relative entre les deux référentiels; c est la vitesse de la lumière dans le vide.

1) que lorsque v tend vers zéro (vitesses faibles par rapport à celle de la lumière dans le vide), ce facteur tend vers 1. Autrement dit, l'équation de Lorentz donnée ci-dessous tend vers l'équation de Galilée pour l'espace donnée précédemment. On peut donc, comme on l'a dit, utiliser celle-ci pour de faibles vitesses.

2) que lors que v tend vers c, le facteur de Lorentz tend vers l'infini, et, de plus, v ne peut pas être supérieur à c, car la racine carrée n'est pas définie pour un réel inférieur à zéro. Cela pose la vitesse  de la lumière dans le vide comme une limite maximale pour la valeur des vitesses possibles.

• Transformation du temps. -  Selon la relativité restreinte, le temps s'écoule différemment pour des observateurs en mouvement relatif. Cela conduit à l'effet de dilatation du temps, où les horloges se déplaçant à des vitesses élevées ralentissent par rapport à celles au repos.

• Transformation des vitesses . -  La transformation des vitesses est elle aussi est plus complexe que celle de la mécanique classique. Les équations Lorentz pour la transformation des vitesses montrent que les vitesses ne s'additionnent pas simplement en relativité restreinte, comme elles le font en mécanique classique. Au lieu de cela, il y a un facteur de correction qui dépend des vitesses relatives et de la vitesse de la lumière. À des vitesses bien inférieures à celle de la lumière, les équations de Lorentz convergent vers les équations de transformation de Galilée de la mécanique classique :

Où  u′ est la vitesse de l'objet par rapport à l'observateur A (en mouvement) dans son référentiel;  v′ est la vitesse de l'observateur A par rapport à l'observateur B (au repos) dans le référentiel de B;  u est la vitesse de l'objet par rapport à l'observateur B (au repos);  v est la vitesse de l'observateur A par rapport à l'observateur B (au repos);  c est la vitesse de la lumière dans le vide.

Le cône de lumière et la causalité.
La notion de cône de lumière fonde l'ordre causal dans l'univers relativiste. Elle régule ce qui est physiquement possible, ce qui est communicable, et ce qui est irréversiblement passé ou encore potentiellement futur. Le cône de lumière est une représentation géométrique. Chaque événement ponctuel — défini par une position dans l'espace et un instant dans le temps — possède un cône de lumière associé qui délimite les régions de l'espace-temps pouvant l'influencer ou être influencées par lui.

Le cône de lumière est construit à partir de la propagation des signaux lumineux à partir de cet événement. Dans un diagramme d'espace-temps à deux dimensions (un axe pour le temps, un autre pour l'espace), les trajectoires de la lumière forment deux lignes inclinées à 45 degrés (en unités où la vitesse de la lumière c = 1). Ces lignes définissent deux régions :

• Le cône de lumière passé regroupe tous les événements qui peuvent avoir un effet causal sur l'événement central. Tout ce qui s'y trouve a pu envoyer un signal (à vitesse inférieure ou égale à celle de la lumière) vers l'événement.

•  Le cône de lumière futur regroupe tous les événements qui peuvent être causés par l'événement central. Seuls les signaux qui respectent la limite imposée par c peuvent y parvenir.

Cette structure impose une hiérarchie stricte dans l'enchaînement des événements et interdit les effets rétroactifs ou superluminiques. Elle remplace la simultanéité absolue de la mécanique classique par une dépendance au référentiel. Deux observateurs en mouvement relatif peuvent ne pas s'accorder sur l'ordre temporel de deux événements spatialement séparés, mais s'accorderont toujours sur la structure causale définie par les cônes de lumière.

Lorque l'on cherche à préserver l'ordre causal imposé par la relativité restreinte, on en appelle à la notion de causalité locale, qui repose sur l'idée qu'un événement ne peut être influencé que par d'autres événements situés dans son cône de lumière passé, c'est-à-dire que les effets d'une cause ne peuvent se propager plus vite que la lumière. Cela signifie que toute influence physique est transmise localement, à travers des interactions de proche en proche, et non de manière instantanée à distance. Dans la théorie de la relativité restreinte, la causalité locale garantit la cohérence du cadre spatio-temporel. Elle est cruciale dans la formulation des équations de champ relativistes comme celles de l'électrodynamique (équations de Maxwell), où les champs à un point de l'espace-temps ne peuvent être affectés que par des sources dans leur passé causal.

En théorie quantique des champs, la causalité locale est incarnée par la condition de commutation des opérateurs : les champs quantiques associés à des points d'espace-temps séparés par un intervalle de type espace doivent commuter (ou anticommuter dans le cas des fermions), ce qui signifie qu'aucune mesure effectuée en un point ne peut instantanément affecter le résultat d'une mesure en un autre point si ces deux points sont spatialement séparés. Dans les expériences de type EPR et les inégalités de Bell, la causalité locale est précisément la propriété remise en cause. Les résultats expérimentaux montrent des corrélations entre mesures sur des paires intriquées qui ne peuvent s'expliquer par des variables cachées locales. Ainsi, la violation des inégalités de Bell suggère que si des variables cachées existent, elles ne peuvent être à la fois locales et réalistes, remettant en cause le cadre classique de la causalité locale dans les systèmes quantiques. En gravitation quantique, notamment dans les approches comme la gravitation à boucles, on tente de préserver une forme de causalité locale à l'échelle de Planck, bien que la structure même de l'espace-temps devienne alors quantifiée ou discrète.

Les équations de champ d'Einstein.
Les équations de champ d'Einstein sont au coeur de la relativité générale. Ces équations décrivent comment la présence de masse et d'énergie courbe l'espace-temps, créant ainsi la force gravitationnelle. Sous une forme simplifiée, elles se présentent comme suit :

G{μν} = 8πGT{μν}

Où :

• G{μν} est le tenseur de courbure de l'espace-temps (tenseur de Riemann). Il contient des informations sur la manière dont l'espace-temps est plié en raison de la présence de matière et d'énergie.

• T{μν} est le tenseur énergie-impulsion, qui décrit la distribution de la masse et de l'énergiedans l'espace-temps. Il tient compte de la densité de masse, de l'énergie, de la pression, et d'autres propriétés.

• G est la constante gravitationnelle. C'est une constante fondamentale qui relie la courbure de l'espace-temps à la distribution de masse et d'énergie. Elle est responsable de l'intensité de la gravitation.

• μ et ν sont des indices qui varient de 0 à 3, représentant les composantes de l'espace-temps (t, x, y, z).

Les résultats de la relativité générale.
L'une des premières confirmations expérimentales de la relativité générale a été la prédiction réussie de la précession de l'orbite de la planète Mercure. Les prédictions de la relativité générale étaient en accord avec les observations astronomiques, tandis que les prédictions basées sur la gravité newtonienne ne l'étaient pas. La relativité générale prédit également l'effet de lentille gravitationnelle, où la lumière provenant d'objets distants est déviée par la présence de masse devant elle. Cet effet est observé couramment. La relativité générale a également conduit à la prédiction des trous noirs, des régions de l'espace-temps où la courbure est si intense que rien, pas même la lumière, ne peut s'échapper. Les trous noirs ont été observés indirectement à travers leurs effets sur les objets voisins et directement grâce à des observations de la lumière émise à proximité de l'horizon des événements. Ajoutons qur lorsqu'on parle de la courbure de l'espace-temps, on n'entend pas seulement une "déformation" de l'espace, le temps aussi est affecté : dans les régions de forte gravité, le temps s'écoule plus lentement par rapport aux régions de faible gravité (effet de la dilatation temporelle gravitationnelle). Cet effet s'observe notamment au travers du rougissement de la lumière (= allongement de sa longeur d'onde) dans une champ de gravitation. Enfin, notons que la précision requise par les technologies de positionnement par satellite (GPS) demande, pour pallier l'insuffisance de la théorie newtonienne, de recourir aux équations de la relativité générale (en plus de celles de la relativité restreinte). Cette théorie fait donc aujourd'hui partie d'une certaine manière de notre vie quotidienne.

J.-Louis Bobin, E=mc²?, Editions le Pommier, 2010. - E=mc² : une formule magique nimbée de mystère qui enveloppe la théorie de la relativité. Une vague idée, largement popularisée, relie cette équation à l'énergie nucléaire sous toutes ses formes : la bombe comme la centrale, confondues parfois dans un même mouvement de réprobation. Comme toujours, la réalité s'avère bien plus riche que cette vision réductrice. Après nous avoir conduit à nous interroger sur les concepts de masse et d'énergie, Jean-Louis Bobin nous explique pourquoi et comment on en est arrivé à les associer et comment la masse peut se transformer en énergie et inversement. (couv.). Barbara Haworth-Attard , La théorie de la relativité, Thierry Magnier, 2007. Nayla Farouki, la Relativité, Flammarion (Dominos), 1993; Jean-Paul Auffray, L'espace-temps, Flammarion (Dominos), 1996. Plus difficile : Gianni Pascoli, la Gravitation, PUF (QSJ), 1989; En bibliothèque - Marie-Antoinette Tonnelat, Histoire du principe de relativité, Flammarion, 1971. Françoise Balibar, Galilée, Newton, lus par Einstein, PUF,  1984. Paul Couderc, la Relativité, PUF(QSJ), 1941/1977.