Lois de Kepler

Les lois de Kepler sont trois lois relatives aux mouvements des planètes. Elles ont été énoncées au début du XVII^e siècle par Johannes Kepler, dans une perspective purement cinématique, puis reformulées dans le cadre de la dynamique classique par Isaac Newton, où elles apparaissent comme une conséquence de la loi d'attraction universelle. Les lois de Kepler s'appliquent non seulement aux planètes du Système solaire, et aux autres objets célestes tels que les comètes, les astéroïdes et les satellites naturels qui orbitent autour des planètes, mais aussi à tout objets  celestes en orbite autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.

• Première loi de Kepler ( = loi des orbites). - Les planètes décrivent autour du Soleil des orbites elliptiques dont le Soleil occupe l'un des foyers. En d'autres termes, l'orbite d'une planète n'est pas un cercle parfait, mais une ellipse où le Soleil n'est pas situé au centre exact de l'ellipse, mais légèrement décalé vers l'un des foyers. Il s'ensuit que la distance entre la planète et le Soleil varie au cours de son orbite. À certains moments, la planète est plus proche du Soleil (périhélie), tandis qu'à d'autres moments, elle est plus éloignée (aphélie).

• Deuxième loi de Kepler (= loi des aires). - Les mouvements d'une planète sont tels que les aires balayées par son rayon vecteur (segment qui la joint au Soleil) dans des intervalles de temps égaux sont égales.  Lorsqu'une planète se rapproche du Soleil et se déplace plus rapidement, elle balaye une aire plus grande dans un intervalle de temps donné. Lorsqu'elle s'éloigne du Soleil, elle se déplace plus lentement et balaye une aire plus petite dans le même intervalle de temps. Cela implique que la vitesse orbitale d'une planète varie en fonction de sa position par rapport au Soleil. Elle est plus élevée lorsque la planète est proche du Soleil (périhélie) et plus basse lorsqu'elle est éloignée du Soleil (aphélie).

• Troisième loi de Kepler ( = loi des périodes). - Les carrés des temps de révolution des planètes sont proportionnels au cube des demi-grand axes des ellipses que tracent leurs orbites.
Mathématiquement, cela peut être exprimé comme suit :

T² = k . a³

où T représente la période orbitale de la planète (le temps nécessaire pour accomplir une orbite complète), a représente la distance moyenne de la planète par rapport au Soleil, et k est une constante de proportionnalité.

Autrement dit, plus une planète est éloignée du Soleil, plus sa période orbitale est longue. 

L'histoire de la découverte des lois s'étend sur des décennies, et mêle  observation méticuleuse, mathématiques ardentes et une détermination hors du commun face à l'échec et aux idées préconçues. Au coeur de cette histoire se trouve Johannes Kepler, mais son travail n'aurait jamais été possible sans les données exceptionnelles collectées par son prédécesseur, l'astronome danois Tycho Brahe.

Avant Kepler et Tycho, l'astronomie occidentale était dominée par le modèle géocentrique de Ptolémée, vieux de plus de mille ans, qui plaçait la Terre immobile au centre de l'univers, avec le Soleil, la Lune et les planètes qui étaient supposés décrire des orbites complexes (des épicycles sur des déférents) autour d'elle. Au XVI^e siècle, Nicolas Copernic avait proposé un modèle héliocentrique, qui plaçait le Soleil au centre, mais qui conservait l'idée ancienne que les orbites devaient être des cercles parfaits, ce qui l'obligeait encore à utiliser des épicycles pour faire correspondre son modèle aux observations, bien qu'en réduisant leur nombre et leur complexité par rapport au système de Ptolémée. Le système copernicien, bien que plus simple philosophiquement à certains égards, n'était pas significativement plus précis pour prédire les positions planétaires que le modèle de Ptolémée à l'époque, et il allait à l'encontre du bon sens (si la Terre bouge, pourquoi ne ressentons-nous pas ce mouvement ?).

C'est dans ce contexte que Tycho Brahe entre en scène. Sans télescope (qui n'avait pas encore été inventé pour l'astronomie par Galilée à cette échelle), Tycho a passé plus de vingt ans à collecter les données d'observation les plus précises jamais réalisées à l'oeil nu sur les positions des étoiles et des planètes. Il avait une confiance inébranlable en la précision de ses mesures (une précision d'environ une minute d'arc). Tycho ne croyait pas entièrement au modèle copernicien pur; il proposa son propre système, un compromis géo-héliocentrique, où la Terre restait au centre, le Soleil tournait autour de la Terre, et toutes les autres planètes tournaient autour du Soleil.

En 1600, Johannes Kepler, fasciné par l'harmonie cosmique et fervent partisan du modèle copernicien (il avait même tenté, sans succès, de construire un modèle de l'univers basé sur les cinq solides de Platon dans son Mysterium Cosmographicum), rejoignit Tycho Brahe près de Prague. Kepler était renommé pour ses compétences mathématiques et son désir d'utiliser des données précises pour valider ou réfuter les théories. La relation entre les deux hommes était tendue; Tycho était jaloux de ses précieuses données et ne les partageait qu'avec parcimonie avec Kepler, le gardant principalement occupé par des calculs sur l'orbite de Mars, connue pour être particulièrement problématique à modéliser avec des cercles.

Tycho Brahe mourut subitement en 1601. Sur son lit de mort, il aurait imploré Kepler de ne pas laisser son travail avoir été vain et de déduire un système de l'univers à partir de ses observations. Kepler hérita ainsi de l'intégralité des données de Tycho, un trésor d'une valeur inestimable. Il se consacra alors à l'étude de ces données, en particulier celles concernant Mars, qui, en raison de l'excentricité relativement élevée de son orbite, présentait les écarts les plus significatifs par rapport à une orbite circulaire centrée sur le Soleil ou même légèrement décalée.

Kepler passa les années suivantes dans une lutte acharnée pour faire correspondre les données de Tycho avec un modèle mathématique cohérent. Il commença par tenter d'adapter l'orbite de Mars à un cercle, même en autorisant un décalage du centre (un excentrique) et une vitesse variable selon l'approche utilisée (par exemple, la loi des aires qu'il soupçonnait déjà sous une forme primitive). Après d'innombrables calculs et hypothèses, il se retrouva face à une contradiction persistante. Ses meilleures tentatives pour modéliser l'orbite de Mars avec un cercle ne parvenaient pas à reproduire certaines des positions observées par Tycho avec une précision suffisante. Il y avait un écart d'environ 8 minutes d'arc pour certaines positions, une valeur que Kepler, conscient de la précision sans précédent des mesures de Tycho, savait ne pas pouvoir ignorer comme une simple erreur d'observation. Ces "8 minutes d'arc" devinrent la clé qui força Kepler à abandonner l'idée sacrée des orbites circulaires parfaites.

C'est cette impasse qui le poussa à explorer d'autres formes géométriques pour l'orbite. Après avoir essayé diverses courbes, il finit par tester l'ellipse. C'était la solution! L'ellipse, avec le Soleil placé à l'un des deux foyers, correspondait parfaitement aux données de Tycho. Ce fut la découverte de sa première loi : L'orbite de chaque planète est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers. Cette simple phrase, fruit d'années de travail acharné et d'un courage intellectuel immense (celui d'abandonner le cercle, symbole de perfection depuis l'Antiquité), a révolutionné notre compréhension du mouvement planétaire.

Parallèlement à la forme de l'orbite, Kepler s'était attaqué au problème de la vitesse variable des planètes. Il était clair à partir des données de Tycho que les planètes ne se déplaçaient pas à vitesse constante le long de leur orbite. Kepler cherchait une loi mathématique qui décrive précisément comment leur vitesse changeait. Après de nombreux essais et erreurs, il découvrit que le segment de droite reliant la planète au Soleil balayait des aires égales en des intervalles de temps égaux. Autrement dit, la planète se déplace plus vite lorsqu'elle est plus proche du Soleil et plus lentement lorsqu'elle en est plus éloignée. Ce fut sa deuxième loi : Le segment de droite reliant une planète au Soleil balaye des aires égales pendant des intervalles de temps égaux. Ces deux premières lois furent publiées en 1609 dans son ouvrage monumental Astronomia Nova (Nouvelle Astronomie), un livre qui non seulement présentait ses découvertes, mais décrivait aussi de manière très honnête et détaillée son long et tortueux cheminement intellectuel, à commencer par ses échecs et ses fausses pistes.

Kepler était un esprit curieux et, on l'a dit, un fervent croyant en l'harmonie du cosmos. Après avoir découvert les lois décrivant l'orbite individuelle d'une planète (Lois 1 et 2), il chercha une loi qui relierait les mouvements des différentes planètes entre elles, une sorte d'harmonie mathématique qui régirait l'ensemble du Système solaire. Il passa encore dix ans à rechercher cette relation. Finalement, en 1619, il publia sa troisième loi (la loi harmonique) : Le carré de la période orbitale (le temps que met une planète pour faire le tour du Soleil) est directement proportionnel au cube du demi-grand axe (la distance moyenne de la planète au Soleil). Autrement dit, P² ∝ a³. Cette loi montrait qu'il existait une relation mathématique universelle régissant les mouvements de toutes les planètes connues autour du Soleil, unifiant apparemment les observations de Tycho en un système cohérent. Il publia cette loi dans un livre très différent de l'Astronomia Nova, intitulé Harmonices Mundi (Les Harmonies du Monde), qui abordait les relations entre l'astronomie, la musique et la géométrie, et reflétait sa vision profondément pythagoricienne et mystique de l'univers.

Les lois de Kepler ont fourni la première description mathématiquement précise du mouvement planétaire. Mais elles étaient purement descriptives; Kepler ne comprenait pas pourquoi les planètes suivaient des orbites elliptiques ou pourquoi leur vitesse variait de cette manière. Il a fallu attendre l'oeuvre d'Isaac Newton, près de 70 ans plus tard, qui, en formulant sa loi de l'attraction universelle, a pu expliquer les causes physiques sous-jacentes aux lois de Kepler, en démontrant qu'elles découlaient naturellement de la force d'attraction entre le Soleil et les planètes.