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La numération

Exprimer les nombres par le langage articulé et par l'écriture, tel est le but de la numération, qu'on distingue pour cette raison en numération parlée et en numération écrite, dans presque tous les traités. Cependant les principes essentiels restent les mêmes. Nous ne pouvons ici ni, expliquer par le détail la numération décimale, aujourd'hui à peu près universellement en usage ni nous livrer à des recherches historiques sur les numérations qui ont été ou qu'on croit avoir été employées successivement par les divers peuples et aux diverses époques.

Toutes les numérations semblent avoir reposé sur le principe uniforme des bases, lequel consiste au fond à mettre un nombre N sous la forme :

N =a0+a1.B +a2.B2+...

B étant la base, et a0, a1, a2,... des coefficients toujours inférieurs à B, qui sont les chiffres, par conséquent toujours inférieurs à B; en y ajoutant le zéro qui sert à marquer la place d'un coefficient nul, cela fait donc B caractères diftérents. 

Dans la numération décimale décimale, la plus usitée aujourd'hui, B =10, et il faut par conséquent 10 caractères pour écrire un nombre entier quelconque. Dans la numération binaire, due à Leibniz, B=2 et on ne se sert que des deux caractère 0 et 1. La numération duodécimale, qui a quelquefois été proposée, exige deux chiffres de plus, représentant les nombres 10 et 11 par un seul caractères. La numération héxadécimale, qui, comme la numération binaire, est utilisée en informatique, exige six chiffres de plus (on utilise les lettres A, B, C, D, E, F, pour les écrire; A correspond  à dix, F à quinze). Il importe, dans l'étude de l'arithmétique, de s'exercer à penser rapidement d'un système de numération à un autre.

Cauchy paraît être le premier qui ait proposé d'employer la numération décimale avec cinq chiffres seulement, 1, 2, 3, 4, 5, plus le zéro, bien entendu, en affectant certains chiffres d'un signe -, placé au-dessus d'eux  (ou, comme on le fera ici en les écrivant en gras) et indiquant que le terme correspond au développement ci-dessus doit être pris négativement. Par exemple, 3687 s'écrirait dans ce système  4343, car 4000 - 300 - 10 - 3 = 3687. Il est possible, avec un peu d'usage, de calculer dans ce système aussi simplement (et peut-être plus simplement) qu'avec là numération décimale ordinaire.

On peut imaginer beaucoup d'autres méthodes de numération, en dehors du principe des bases. Nous indiquons, uniquement à titre d'exemple, dans cet ordre d'idées, la numération factorielle, où les chiffres successifs, de droite à gauche, indiquent les coefficients par lesquels il faut multiplier les factorielles 1! =1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, ... pour obtenir le nombre en ajoutant les produits obtenus. Ainsi, en numération factorielle; le nombre 36259 s'écrirait 7120301. comme il est facile de le vérifier. Dans un tel système, un chiffre est toujours au plus égal à son rang à partir de la droite; mais le nombre des chiffres à employer est illimité quand les nombres à représenter deviennent très grands, ce qui rend cette numération, pour ainsi dire, impraticable au point de vue des calculs ordinaires. Elle n'en est pas moins précieuse pour certaines questions purement mathématiques.

Dans tout ce qui précède; il ne s'agit que des nombres entiers. Nous rappelons seulement que l'usage de la virgule, et des chiffres décimaux écrits à la suite, permet d'écrire toutes les fractions décimales d'après un principe analogue à celui qui préside à la numération des entiers. Ainsi 37,568 représente 3.10 +7 + 5/10 + 6/102 + 8/103. (C.-A. Laisant).

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