Cette théorie a révolutionné notre compréhension de nombreux phénomènes dans la nature et la technologie. Elle a montré que même des systèmes déterministes simples peuvent exhiber des comportements extraordinairement complexes et imprévisibles. Elle fournit un cadre unifié pour modéliser et analyser des systèmes dans des domaines très variés, révélant des similitudes structurelles dans la dynamique de systèmes physiques, biologiques, économiques, etc., apparemment sans rapport.

Définition d'un système dynamique.
Un système dynamique est généralement défini par :

Un espace d'états (ou espace des phases).
L'espace des phases est l'ensemble de toutes les configurations possibles du système à un instant donné. Chaque point de cet espace représente un état unique du système. Par exemple, pour un pendule simple, l'état pourrait être défini par son angle et sa vitesse angulaire.

Une règle d'évolution.
On appelle règle d'évolution la loi qui détermine comment l'état du système change au cours du temps. Cette règle est déterministe, ce qui signifie que si l'on connaît l'état présent, l'état futur est parfaitement déterminé (sans aléatoire intrinsèque, bien que l'imprévisibilité puisse émerger).

Une temporalité.
Le temps peut être continu (par exemple, le temps s'écoule de manière fluide, décrit par des équations différentielles) ou discret (le système évolue par "étapes", décrit par des équations aux différences ou des itérations de fonctions).

Formulation Mathématique.
En temps continu, le système est peut ordinairement être décrit par un ensemble d'équations différentielles ordinaires du premier ordre : dx/dt = f(x),  où x est un vecteur représentant l'état du système dans l'espace des phases, et f est une fonction vectorielle décrivant la règle d'évolution.

En temps discret, le système est décrit par une application (ou une carte) qui transforme l'état à l'instant n en l'état à l'instant n+1 :  x{n+1} = F(xn),  où xn est l'état à l'étape n, et F est la fonction de transition.

Objectif de l'Étude.
L'étude d'un système dynamique vise à comprendre les aspects suivants :

Trajectoires (ou orbites).
Comment l'état du système évolue-t-il au fil du temps à partir d'un état initial donné? Une trajectoire est la suite des états parcourus dans l'espace des phases.

Comportement à long terme.
Vers quoi le système tend-il après un temps très long? Atteint-il un état stable, oscille-t-il, a-t-il un comportement plus complexe?

Stabilité.
Le comportement du système est-il sensible aux petites perturbations de l'état initial? De la règle d'évolution?

Dépendance aux paramètres.
Comment le comportement du système change-t-il si les paramètres de la règle d'évolution varient?

Concepts clés et phénomènes.
Points d'équilibre.
On appelle points d'équilibre ou points fixes des états x* tels que si le système atteint cet état, il y reste indéfiniment (f(x*) = 0 pour le temps continu, F(x*) = x* pour le temps discret). Ils peuvent être stables, instables ou semi-stables.

Cycles limites.
Les cycles limites ou orbites périodiques sont des trajectoires fermées dans l'espace des phases, représentant un comportement oscillatoire qui se répète exactement au bout d'une certaine période. Ils peuvent aussi être stables (attracteurs) ou instables.

Attracteurs.
Les attracteurs sont des sous-ensembles de l'espace des phases vers lesquels les trajectoires convergent à long terme, pour une large gamme de conditions initiales dans leur bassin d'attraction. Les points fixes et les cycles limites stables sont des exemples d'attracteurs "simples".

Répulseurs.
Les répulseurs sont des sous-ensembles d'où les trajectoires s'éloignent.

Bifurcations.
Les bifurcations sont des changements qualitatifs soudains dans le comportement du système (par exemple, un point d'équilibre stable devient instable et donne naissance à un cycle limite) lorsque l'on fait varier un paramètre du système. L'étude des bifurcations est importante pour comprendre comment des comportements complexes peuvent émerger progressivement.

Chaos.
On désigne sous le nom de chaos un comportement dynamique qui est :

• Déterministe : l'évolution est entièrement déterminée par les lois du système et l'état initial.

• Apériodique : le système ne se répète jamais exactement.

• Sensible aux conditions initiales : de très petites différences dans l'état initial conduisent à des trajectoires qui divergent exponentiellement avec le temps. Cette sensibilité rend le comportement à long terme intrinsèquement imprévisible en pratique, même si le système est déterministe en théorie, car on ne peut jamais connaître l'état initial avec une précision infinie.

Méthodes d'étude.

• Méthodes analytiques : résolution des équations (rarement possible pour les systèmes non-linéaires complexes). Analyse de la stabilité linéaire autour des points d'équilibre. Analyse des bifurcations par des techniques analytiques.

• Méthodes géométriques et topologiques: étude de la forme des trajectoires et des attracteurs dans l'espace des phases. Utilisation de sections de Poincaré pour réduire la dimension et visualiser les trajectoires pour les systèmes continus.

• Méthodes numériques : simulation des systèmes sur ordinateur pour obtenir des approximations des trajectoires et visualiser le comportement à long terme. Calcul de la sensibilité aux conditions initiales (exposants de Lyapunov). Analyse des données issues d'expériences ou de simulations.