Eléments de vocabulaire. - On distingue principalement les équations différentielles ordinaires (EDO), qui impliquent des dérivées par rapport à une seule variable, et les équations aux dérivées partielles (EDP), qui font intervenir des dérivées partielles par rapport à plusieurs variables. Par ailleurs, une équation différentielle est dite linéaire si la fonction inconnue yet ses dérivées apparaissent uniquement à la puissance 1 et ne sont pas multipliées entre elles; une équation où l'inconnue ou ses dérivées apparaissent avec des puissances > 1, dans des produits, ou dans des fonctions non-linéaires (ex. exponentielle, trigonométrique), est dite non-linéaire; une équation linéaire est dite homogène si le second membre (le côté droit) est nul; elle est non-homogène si le second membre est non nul (fonction de x). On définit aussi une équation différentielle par son ordre, qui est le rang le plus élevé de la dérivée qui apparaît dans l'équation.

Résoudre une équation différentielle signifie trouver les fonctions dérivables sur le domaine considéré qui satisfont la relation imposée par l'équation, fréquemment en utilisant des conditions initiales ou aux limites pour préciser une solution unique. Autrement dit, une solution à une équation différentielle est une fonction qui, lorsqu'elle est remplacée dans l'équation avec ses dérivées, rend l'équation vraie. Un telle résolution nécessite souvent des techniques analytiques, et dans les cas compliqués on utilise le calcul numérique.

Exemple : résoudre l'équation y'(x) = 2x (ou, en utilisant une notation équivalente, dy/dx = 2x) revient à chercher les fonctions y(x) dont la dérivée est 2x. La solution est y(x) = x² + C, où C est un nombre réel quelconque, dont la valeur pourra être fixée en définissant des contraintes supplémentaires (conditions initiales, conditions aux limites) afin d'aboutir à une solution unique . 

Fonctions.

• Notation fonctionnelle classique. - On note la fonction inconnue comme une fonction de la (ou des) variable(s) indépendante(s). Dans le cas d'une équation différentielle ordinaires (y = y(x)), la fonction inconnue est y, dépendant de la variable x . Exemple : y′(x) + 2y(x) = sinx. On omet souvent les variables dans l'écriture pour alléger  et on écrit y′ + 2y = sinx  au lieu de y′(x) + 2y(x) = sinx, sous-entendant que y dépend de x.

• Notation fonctionnelle implicite. - La notation fonctionnelle implicite consiste à exprimer une relation entre la fonction inconnue, ses dérivées et les variables indépendantes, souvent sous forme implicite. La forme générale d'une équation différentielle ordinaire (EDO) sera ainsi : F(x, y, y′, y′′ ,…, y⁽ⁿ⁾) = 0. Par exemple, on écrira F(x, y, y') = 0 l'EDO linéaire du premier ordre où  x est la variable indépendante, y(x) est la fonction inconnue que nous cherchons et y'(x) sa dérivée. Cette notation est particulièrement adaptée pour des équations différentielles ordinaires (EDOs) et certaines équations aux dérivées partielles (EDPs) simples. 

• Notation de Leibniz (dérivées explicites). - Très courante en physique et en ingénierie, elle met en évidence la variable par rapport à laquelle on dérive. Pour une fonction y(x) : dy/dx​ , d²y/dx²​ , etc.  Exemple : dy/dx ​= y². Pour une fonction u(x, t) de plusieurs variables (ex. espace x  et temps t)  :  ∂u​/∂t, ∂²u/∂x²​ , etc. Avantages : a) clarté sur la variable de dérivation; b) meilleure vision des procédures impliquées. 

• Notation de Lagrange (ou notation prime '). - Très utilisée en mathématiques pures et en analyse, surtout pour les EDO à une variable. Dérivée première : f′(x)= y′ = dy/dx​; dérivée seconde : f"(x) = y′′ = d²y/dx²​ ; dérivée n-ième : f⁽ⁿ⁾(x) = y⁽ⁿ⁾ = dⁿy/dxⁿ. Exemple : y′′ + 3y′ + 2y = 0.Cette notation permet une écriture synthétique, mais elle devient ambiguë si la fonction dépend de plusieurs variables ou si la variable indépendante change. 

• Notation de Newton (ou notation pointée ·). - Utilisée principalement en mécanique et en physique, surtout lorsque la variable indépendante est le temps t. Dérivée première (vitesse) : ,  = dy/dt = y' ; dérivée seconde (accélération) : ​ , ​ = d²y/dt² = y"​ . Exemple :  + ω²x = 0. La notation de Newton peut être vue comme une "variante dialectale" de la notation de Lagrange.

• Notation opérateur différentiel. - La notation opérateur différentiel utilise des opérateurs mathématiques pour encapsuler les opérations de différentiation. Exemple, l'opérateur de dérivation : D = d/dx, alors  Dy = y′ , D²y = y′′ , etc. On peut rencontrer d'autres opérateurs différentiels comme l'opérateur laplacien ∆, qui est une autre manière d'écrire ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z². Cette approche est utile pour manipuler simplement des équations différentielles sous une forme générale, surtout dans le cadre des EDPs ou des transformations fonctionnelles (de Fourier ou de Laplace). 

Classification et vocabulaire de base

Nombre de variables indépendantes.
Selon la  nature des variables et des dérivées mises en jeu, on distingue dex types d'équation différentielles  :

Les équations différentielles ordinaires.
Dans les équations différentielles ordinaires (EDO), la fonction inconnue ne dépend que d'une seule variable indépendante. Une EDO décrit des phénomènes qui évoluent dans une seule direction (pendant une certaine durée, sur une certaine distance). Toutes les dérivées sont des dérivées ordinaires par rapport à cette seule variable (dy/dx, d²y/dt² ou y', y", etc). Par exemple, dP/dt = kP (croissance exponentielle, où le taux de variation de P dans le temps est proportionnel à P). Les EDO se traitent souvent par intégration directe, changement de variables, ou séries.

Les équations aux dérivées partielles.
Dans une équation aux dérivées partielles (EDP), la fonction inconnue dépend de plusieurs variables indépendantes. Les dérivées qui apparaissent sont alors des dérivées partielles par rapport à chacune de ces variables (∂u/∂t​, ∂²u/∂x²​, ou u'(t), u''(x), etc). Par exemple, ∂u/∂t = α.∂²u/∂x² (équation de la chaleur).  Ici, on doit prendre en compte la variation de la fonction par rapport à plusieurs directions indépendantes, ce qui rend les EDP généralement plus complexes à analyser que les EDO. Les EDP nécessitent des outils plus sophistiqués comme la séparation des variables, les transformées de Fourier, ou encore des méthodes numériques spécifiques.

Ordre.
L'ordre d'une équation différentielle est le rang de la dérivée la plus élevée qui apparaît dans l'équation. Autrement dit, c'est la dérivée la plus élevée (première, seconde, troisième, etc.) de la fonction inconnue par rapport à la ou les variables indépendantes qui figure dans l'équation. 

• Par exemple, si une équation différentielle contient la dérivée première y′  mais aucune dérivée d'ordre supérieur, alors l'équation est d'ordre 1 (par exemple dy/dx + y = 0 est d'ordre 1). 

• Si elle contient la dérivée seconde y′′ , même si elle contient aussi y′  ou y , l'ordre de l'équation est 2, car c'est la dérivée d'ordre le plus élevé qui détermine l'ordre global. Par exemple, md²x/dt² + cdx/dt + kx = 0 est une équation différentielle d'ordre 2. 

• De même, une équation faisant intervenir y⁽⁵⁾  (la dérivée cinquième) est une équation différentielle d'ordre 5, indépendamment de la présence ou non de dérivées d'ordres inférieurs. 

L'ordre d'une équation différentielle a des implications importantes sur la méthode de résolution et sur le nombre de conditions initiales ou aux limites nécessaires pour déterminer une solution unique. En général, une équation différentielle d'ordre n  nécessite n  conditions indépendantes (par exemple, la valeur de la fonction et de ses n-1  premières dérivées en un point donné) pour spécifier une solution particulière parmi la famille des solutions générales. 

Les mêmes critères s'applquent aux équations aux dérivées partielles. L'ordre d'une EDP est l'ordre de la dérivée partielle la plus élevée qui y figure.  Exemples :

Ordre 1 : ∂u/∂x + ∂u/∂y = 0.

Ordre 2 : ∂²u/∂t² - c² ∂²u/∂x² = 0 (Équation des ondes).

Linéarité.
Les équations différentielles ordinaires peuvent être classées en deux grandes catégories : les équations différentielles ordinaires linéaires et les équations différentielles ordinaires non-linéaires. La distinction entre ces deux types repose sur la structure de l'équation : les premières sont linéaires en y et ses dérivées, tandis que les secondes ne le sont pas. Les équations linéaires bénéficient de propriétés analytiques avantageuses, mais les équations non-linéaires peuvent modéliser des comportements plus riches et complexes, nécessitant des approches numériques ou qualitatives pour leur étude.

Équations différentielles ordinaires linéaires.
Une équation différentielle ordinaire linéaire peut être exprimée sous une forme générale où la fonction inconnue y et ses dérivées apparaissent linéairement (la fonction inconnue et toutes ses dérivées sont à la puissance 1 et ne sont pas multipliées entre elles). Autrement dit, chaque occurrence de y ou de ses dérivées est multipliée par une fonction de la variable indépendante t, mais jamais par une autre occurrence de y ou de ses dérivées. Une EDO linéaire d'ordre n s'écrit sous la forme :

où les ai(t) sont des fonctions de t (les coefficients), y^(k) désigne la k-ième dérivée de y par rapport à t, et g(t) est une fonction donnée. 

Si g(t) = 0, on parle d'une équation différentielle homogène linéaire; sinon, elle est dite non-homogène. 

 Propriétés des équations linéaires :

• Superposition. - Les solutions des équations linéaires homogènes vérifient le principe de superposition. Cela signifie que si y1​ et y2​ sont solutions de l'équation homogène associée, alors toute combinaison linéaire c1y1 + c2y2​ (avec c1​ et c2 constantes) est également solution.

• Existence et unicité. - Pour un problème de Cauchy (détermination d'une solution vérifiant certaines conditions initiales), les théorèmes d'existence et d'unicité garantissent qu'il existe une unique solution pourvu que les coefficients ai(t) soient continues dans un intervalle contenant le point initial.

• Méthodes de résolution. - Les équations linéaires ont souvent des méthodes analytiques bien développées pour leur résolution, comme la méthode de variation des constantes, la méthode des coefficients indéterminés, ou encore la transformation en équation différentielle de la fonction génératrice.

• Solutions fondamentales. - Les solutions fondamentales sont des solutions particulières qui forment une base pour l'espace vectoriel des solutions. Dans le cas d'une équation linéaire homogène d'ordre n, il existe n solutions linéairement indépendantes formant une base.

Équation (en notation de Leibniz) : RC.dV/dt​+V = V0​ , où V(t) est la  tension aux bornes du condensateur; R est la résistance, C  est lacapacité, et V0​ est la tension de la source. Solution : V(t) = V0​(1−e^−t/(RC)).

a) Équation (notation de Newton) : m + kx = 0 , ou, en notation de Lagrange : x′′+ ω²x = 0, avec ω = (k/m)^½. Solution :  x(t) = A cos(ωt + φ).

b) Équation : m + c + kx = 0, où c est le coefficient d'amortissement. 

• Absence de superposition. - Contrairement aux équations différentielles linéaires, les solutions des équations non-linéaires ne vérifient pas le principe de superposition. Ainsi, il n'y a pas de méthode générale permettant de combiner des solutions pour obtenir d'autres solutions.

• Difficulté de résolution analytique. - Les équations non-linéaires sont généralement beaucoup plus difficiles à résoudre analytiquement. Seules quelques familles spécifiques d'EDO non-linéaires admettent des solutions explicites, comme les équations de Bernoulli, Riccati, ou certaines équations exactes.

• Existence et unicité. - Les théorèmes d'existence et d'unicité pour les équations non-linéaires sont plus complexes et nécessitent des hypothèses supplémentaires sur la régularité des fonctions impliquées. Par exemple, pour garantir l'existence et l'unicité d'une solution locale pour une EDO non-linéaire du premier ordre, il faut que la fonction f(t, y) réponde à certaines condition de régularité rapport à y.

• Méthodes de résolution. - En l'absence de solution analytique, on recourt habituellement à des méthodes numériques pour approcher les solutions des équations non-linéaires. Ces méthodes recourent à des schémas de discrétisation ou à des méthodes basées sur des algorithmes d'optimisation.

• Stabilité et comportement dynamique. - Les équations non-linéaires peuvent présenter des particularités telles que des points fixes instables, des cycles limites, ou des attracteurs étranges (comme ceux observés dans les systèmes chaotiques). Ces propriétés rendent leur analyse qualitative essentielle pour comprendre leur comportement global.

• Transformation en équations linéaires. - Dans certains cas, il est possible de transformer une équation non-linéaire en une équation linéaire. Par exemple, en utilisant des substitutions appropriées, on peut convertir certaines équations non-linéaires en équations linéaires, ce qui permet de profiter des techniques de résolution des équations linéaires.

Équation :  + (g/L)​sin(θ) = 0, où θ(t) est l'angle du pendule, g est l'accélération de la pesanteur et L est la longueur du fil. Cette équation est non-linéaire à cause de sin(θ). Mais pour de petits angles, on linéarise : sin(θ) ≈ θ, ce qui donne une EDO linéaire. 

Dans une EDP Semi-linéaire, les termes de plus haut ordre sont linéaires, mais les termes d'ordre inférieur peuvent être non linéaires. Exemple : ∂u/∂t = ∂²u/∂x² + u³.

Dans une EDP Non-linéaire, l'inconnue ou ses dérivées apparaissent avec des puissances différentes de 1, ou dans des fonctions non linéaires. Exemple : u ∂u/∂x + ∂u/∂t = 0 (Équation de Burgers, non-linéaire à cause du terme u ∂u/∂x).

Méthodes de résolution pour les EDO (ordre 1 et 2)

• Continuité. - Pour les équations différentielles ordinaires (EDO), les fonctions de droite f(t,y) dans l'équation y′(t) = f(t,y(t)) doivent être continues sur un certain domaine D². La continuité est essentielle pour garantir l'existence locale de solutions. Pour les équations différentielles partielles (EDP), les fonctions de droite doivent être continues dans les variables pertinentes pour que des solutions existent.

• Régularité stricte. - Pour garantir l'unicité de la solution d'une EDO, la fonction f(t,y) doit être lipschitzienne (c'est-à-dire qu'elle obéit à une régularité stricte) par rapport à y sur un certain domaine D. Cela signifie qu'il existe une constante L > 0 telle que : |f(t, y1) − f(t, y2)| ≤ L|y1−y2| pour tous (t, y1), (t, y2)D.

• Dérivabilité. - Si on cherche des solutions régulières (par exemple, C^k pour k≥1, alors la fonction f(t, y) doit être dérivable par rapport à y au moins k−1. Pour les équations linéaires, les coefficients doivent être dérivables (ou au moins localement intégrables).

• Bornage. - Il est souvent utile que f(t, y) soit bornée sur des domaines restreints pour éviter des comportements indésirables (comme des solutions qui tendent vers l'infini pour un t fini)..

• Globalité ou localité. - Dans certains cas, il suffit que les propriétés ci-dessus soient vérifiées localement autour d'un point initial (t0, y0) pour garantir l'existence et l'unicité d'une solution locale. Pour obtenir des solutions globales, il faut que ces propriétés soient vérifiées sur tout le domaine d'intérêt.

• Linéarité. - Pour les équations linéaires, les coefficients doivent être des fonctions continues (et souvent dérivables). Par exemple, pour une différentielle ordinaire linéaire d'ordre n : 

 les coefficients ai(t) doivent être des fonctions continues.

• Condition initiale. - Une condition initiale y(t0) = y0 doit être compatible avec la fonction f(t,y) et les propriétés mentionnées ci-dessus.

• Autres propriétés spécifiques. - Pour certaines classes d'équations aux dérivées partielles, comme les équations hyperboliques, elliptiques ou paraboliques (V. plus loin), des conditions supplémentaires peuvent être requises (par exemple, des conditions aux limites ou des conditions initiales compatibles avec le problème).

Equations différentielles ordinaires d'ordre 1.
Pour une équation du premier ordre, la forme générale est y′(x) = f(x,y). 

EDO à variables séparables.
Si l'équation est à variables séparables, c'est-à-dire que l'on peut écrire dy/dx = g(x)h(y), on sépare les variables x et y de chaque côté de l'équation : dy/h(y) = g(x) dx, puis on intègre des deux côtés (∫dy/h(y) = ∫g(x) dx). Cette intégration donne une relation implicite ou explicite entre x et y.

EDO linéaires d'ordre 1.
Si l'équation est linéaire du premier ordre, elle s'écrit y′+a(x)y = b(x). On utilise le facteur intégrant μ(x) = e^∫a(x)dx. En multipliant toute l'équation par μ(x), le membre de gauche devient la dérivée du produit μ(x)y. On intègre alors (μ(x)y)′ = μ(x)b(x), ce qui conduit à la solution générale.

Equations différentielles d'ordre 2.
Pour les équations différentielles du second ordre, la forme générale est y′′ = f(x, y, y′).
Le cas le plus courant est l'équation linéaire à coefficients constants : ay′′ + by′ + cy = 0. On résout en cherchant une solution de la forme y = e^rx. L'équation caractéristique associée est ar² + br + c = 0. 

• Si elle a deux racines réelles distinctes r1, r2, la solution est y(x) = C1e^r1x + C2e^r2x. 

• Si elle a une racine double r, la solution devient y(x) = (C1 + C2x)e^rx. 

• Si elle a deux racines complexes conjuguées α±iβ, la solution est 
y(x) = e^αx(C1cos⁡(βx)+C2sin⁡(βx)).

D'autres cas particuliers incluent les équations de type oscillateur harmonique, qui se ramènent à des équations linéaires à coefficients constants, ou les équations d'Euler-Cauchy, qui s'écrivent sous la forme ax²y′′+bxy′+cy = 0, et se résolvent en posant y = x^r, ce qui mène à une équation caractéristique semblable à celle du cas à coefficients constants.

Equations non-homogènes.
Si l'équation est non-homogène, ay′′+by′+cy = f(x), la solution générale est la somme de la solution de l'équation homogène et d'une solution particulière. Pour trouver une solution particulière on peut se tourner vers la méthode des coefficients indéterminés si f(x) est de forme polynomiale, exponentielle ou trigonométrique, ou bien la variation des constantes dans les cas plus généraux. La méthode des coefficients indéterminés est pratique pour des second membres simples et des coefficients constants. La méthode de la variation des constantes est plus flexible et s'applique à des coefficients variables ou des second membres plus complexes.

• La méthode des coefficients indéterminés (ou méthode de la forme particulière) est utilisée pour trouver une solution particulière d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Cette méthode est applicable lorsque le second membre de l'équation est une fonction simple, comme un polynôme, une exponentielle, un sinus ou un cosinus, ou une combinaison de ces fonctions. Étape par étape :

1) Résoudre l'équation homogène associée pour obtenir la solution fondamentale yh​.

2) Proposer une forme particulière de la solution yp​ en fonction du second membre, en choisissant des coefficients indéterminés.

3) Remplacer yp dans l'équation différentielle non homogène et déterminer les coefficients indéterminés.

La solution générale est alors donnée par y=yh + yp. Exemple : pour résoudre l'équation y′′−3y′+2y = e^2x, on propose une solution particulière sous la forme yp = Ae^2x. En remplaçant yp​ dans l'équation, on trouve A = 1, donc yp = e^2x.

• La méthode de la variation des constantes est plus générale que celle des coefficients indéterminés. Elle peut être appliquée aux équations différentielles linéaires à coefficients variables. Cette méthode consiste à supposer que les constantes de la solution fondamentale de l'équation homogène dépendent des variables. Étape par étape :

1) Trouver la solution fondamentale yh​ de l'équation homogène.

2) Supposer une solution particulière sous la forme yp = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x), où y1(x) et y2(x) sont des solutions linéairement indépendantes de l'équation homogène, et c1(x) et c2(x) sont des fonctions inconnues de x.

3) Imposer deux conditions pour simplifier le système : c1′(x)y1(x) + c2′(x)y2(x) = 0 et c1′(x)y1′(x) + c2′(x)y2′(x) = g(x), où g(x) est le second membre de l'équation non homogène.

4) Résoudre ce système pour trouver c1(x) et c2(x).

La solution particulière est donnée par yp = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x). Exemple : pour résoudre l'équation y′′+ y = sec⁡(x), on suppose que yp = c1(x)cos⁡(x) + c2(x)sin⁡(x). Avec les conditions c1′(x)cos⁡(x) + c2′(x)sin⁡(x)=0 et −c1′(x)sin⁡(x) + c2′(x)cos⁡(x) = sec⁡(x), on obtient c1(x) et c2(x).

Équations aux dérivées partielles (EDP)

• Δ = 0 :→ l'EDP est dite parabolique. -  Comportement : évolution dans le temps, phénomènes de diffusion, de dissipation. Exemple canonique : équation de la chaleur (diffusion thermique)  : ∂u/∂t = α ∂²u/∂x², où u(x, t) est la température à la position x  et au temps t, et  α est la diffusivité thermique  Ici, a = α, b = 0, c = 0 → Δ = 0² - 4.α.0 = 0. C'est un cas limite parabolique.

• Δ > 0 → l'EDP est dite hyperbolique. - Comportement : propagation d'ondes, d'oscillations. Exemple canonique : équation des ondes (corde vibrante, son)  : ∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x², où u(x, t) est le déplacement de la corde, et c la célérité (vitesse de propagation) de l'onde.  Ici, a = c², b = 0, c = -1 → Δ = 0² - 4.c².(-1) = 4c² > 0.

• Δ < 0 → l'EDP est dite elliptique. - Comportement : équilibre, états stationnaires (indépendants du temps, comme la: distribution de température à l'équilibre, ou un potentiel électrostatique.  Exemple canonique : équation de Laplace : Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0.  Ici, a = 1, b = 0, c = 1 → Δ = 0² - 4.1.1 = -4 < 0.

Pour sélectionner une solution unique parmi l'infinité de solutions possibles (appelée solution générale), on impose des conditions (conditions initiales et conditions aux limites), qui servent à spécifier des informations supplémentaires sur la solution cherchée. Dans un problème elliptique, seules des conditions aux limites sont nécessaires (ex : résoudre l'équation de Laplace sur un carré avec des températures fixées sur les bords). Dans les problèmes paraboliques et hyperboliques, il faut à la fois des conditions initiales et des conditions aux limites.

Conditions Initiales (CI).
Les conditions initiales sont des valeurs spécifiques de la fonction inconnue et/ou de ses dérivées en un point donné, généralement au début du temps ou d'un intervalle considéré. Elles spécifient l'état du système au temps initial t = 0. Par exemple, si on résout une équation différentielle pour modéliser la trajectoire d'un projectile, les conditions initiales peuvent être la position et la vitesse du projectile au moment de son lancement. De façon générale, la définition des conditions initiales est nécessaire pour les problèmes d'évolution (paraboliques et hyperboliques). Exemple (corde vibrante) : Pour l'équation des ondes ∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x², on doit donner : la position initiale : u(x, 0) = f(x) (forme de la corde à t=0) et la vitesse initiale : ∂u/∂t(x, 0) = g(x) (vitesse de chaque point à t=0).

Conditions aux Limites (CL).
Les conditions aux limites, en revanche, imposent des contraintes sur la solution en différents points de l'intervalle spatial ou temporel. Elles ne concernent pas nécessairement un seul point initial, mais plutôt des points situés aux extrémités de la région d'étude. Par exemple, dans un problème de chaleur dans une barre, les conditions aux limites peuvent consister à spécifier la température à chaque extrémité de la barre. Elles sont nécessaires pour tous les types de problèmes (sauf si le domaine est infini).

• Condition de Dirichlet. - On impose la valeur de la solution sur la frontière. Exemple : u(0, t) = T1 et u(L, t) = T2 (les extrémités d'une barre sont maintenues à températures fixes).

 • Condition de Neumann. - On impose la valeur de la dérivée normale (le flux) sur la frontière. Exemple : ∂u/∂x(0, t) = 0 (extrémité isolée thermiquement, flux de chaleur nul).

• Condition de Robin (ou mixte). - Combinaison linéaire de la valeur et de la dérivée. Exemple : ∂u/∂x(0, t) + h u(0, t) = 0 (échange de chaleur avec l'extérieur, loi de Newton).

Séparation des variables.
On suppose ici que la solution peut s'écrire comme un produit de fonctions d'une seule variable. Ex : u(x, t) = X(x). T(t). On transforme l'EDP en un système de deux (ou plus) EDOs, plus faciles à résoudre. La solution générale est une somme infinie (série de Fourier) de ces solutions particulières. C'est une méthode excellente pour les EDP linéaires avec des conditions aux limites simples sur des domaines géométriques simples (rectangle, cercle). 

Exemples d'équations différentielles séparables : a) croissance exponentielle d'une population; b) croissance de population avec ressources limitées :

a) Équation (notation de Leibniz) : dP/dt ​= kP, où  P(t)  est la population et k  est le taux de croissance. Solution : P(t) = P0​e^kt .

b) Équation logistique (non-linéaire, avec saturation) : dP/dt ​ = rP(1−P/K​), où r est le taux de croissance, et K est la capacité environnementale. Solution : courbe en "S" (sigmoïde).

Transformées intégrales (Fourier, Laplace).
On transforme l'EDP (en espaces-temps) en une EDO (en espace des fréquences) qui est plus simple à résoudre. On applique ensuite la transformée inverse pour retrouver la solution dans l'espace original. Applicable aux domaines infinis ou semi-infinis.

Méthodes numériques.
La grande majorité des EDP issues d'applications réelles ne peuvent pas être résolues analytiquement. On a alors recours au calcul numérique.

Méthode des différences finies.
On remplace les dérivées par des approximations utilisant des différences entre les valeurs de la fonction sur une grille discrète. Méhode simple et très utilisée.

Méthode des éléments finis.
On divise le domaine complexe en petits éléments de forme simple (triangles, quadrilatères). On cherche une solution approchée qui est une combinaison de fonctions simples sur chaque élément. Cette méthode est extrêmement puissante pour les géométries complexes.

Méthode des volumes finis.
Méthode particulièrement adaptée aux problèmes de conservation (comme en dynamique des fluides). Elle s'assure que les grandeurs physiques (masse, énergie) sont conservées numériquement.

Equations exactes. 
Dans certains cas, une équation peut être exacte : elle s'écrit sous la forme M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, avec la condition ∂M/∂y = ∂N/∂x. Alors il existe une fonction potentielle  F(x,y) telle que dF= M dx + N dy. On détermine F en intégrant M par rapport à x (ou N par rapport à y et en ajustant l'autre variable. La solution implicite est F(x, y) = C.