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Les morphismes

Les morphismes sont des applications qui préservent la structure d'un objet mathématique. En d'autres termes, un morphisme est une application entre deux objets d'une même catégorie (groupe, espace vectoriel, graphe, etc.) qui respecte les opérations ou relations définissant ces objets. Les propriétés spécifiques des morphismes dépendent de la catégorie dans laquelle ils sont définis.

Concepts généraux.
Homomorphisme.
Le terme "morphisme" est souvent utilisé de manière interchangeable avec "homomorphisme", en particulier dans des contextes algébriques (groupes, anneaux, modules, etc.). Il met l'accent sur la préservation des opérations.

Domaine et codomaine.
Un morphisme f : A → B est une application où A est le domaine (ou source) du morphisme, et B est le codomaine (ou cible) du morphisme.

Composition.
Les morphismes peuvent être composés. Si nous avons f : A → B et g : B → C, alors la composition g o f : A → C est également un morphisme. La composition est généralement associative : h o (g o f) = (h o g) o f.

Morphismes spéciaux.
Il existe plusieurs types de morphismes avec des propriétés particulières :

• Monomorphisme (injection). - Un morphisme f : A → B est un monomorphisme si f(x) = f(y) implique x = y pour tous x, y A. En d'autres termes, c'est une application injective.
• Épimorphisme (surjection). - Un morphisme f : A → B est un épimorphisme si pour tout b B, il existe un a A tel que f(a) = b. En d'autres termes, c'est une application surjective.
• Isomorphisme (bijection). - Un morphisme f : A → B est un isomorphisme s'il est à la fois un monomorphisme et un épimorphisme. Il existe alors un morphisme inverse f⁻¹ : B → A tel que f o f⁻¹ = idB et f⁻¹ o f = idA, où id est le morphisme identité.
• Endomorphisme. - Un morphisme dont le domaine et le codomaine sont identiques : f : A → A.
• Automorphisme. - Un endomorphisme qui est également un isomorphisme : f : A → A, où f est bijective.
• Morphismes divers. - Morphisme nul (morphisme qui envoie tout élément de l'ensemble de départ sur l'élément nul de l'ensemble d'arrivée). Morphisme identité (morphisme qui envoie chaque élément de l'ensemble de départ sur lui-même). Morphisme composé (morphisme qui est la composition de deux ou plusieurs morphismes). Morphisme inverse (morphisme qui est l'inverse d'un morphisme bijectif).

Morphismes associés à des catégories particulières.
Le type spécifique de morphisme dépend de la structure de l'objet que l'on considère. Voici quelques exemples courants :

Morphismes de groupes (homomorphismes de groupes).
Une application φ: G → H entre deux groupes (G, *) et (H, o) est un morphisme de groupes si pour tout a, b dans G, on a: φ(a * b) = φ(a) o φ(b). Exemple: L'application φ : (ℤ, +) → (ℤ/nℤ, +) définie par φ(a) = a mod n est un morphisme de groupes.

Morphismes d'anneaux.
Un morphisme d'anneaux est une fonction qui préserve les opérations d'addition et de multiplication, c'est-à-dire que si f : A → B est un morphisme d'anneaux, alors pour tout a, b dans A, on a f(a + b) = f(a) + f(b) et f(a × b) = f(a) × f(b).

Morphismes d'espaces vectoriels (applications linéaires):
Un morphisme d'espaces vectoriels est une fonction qui préserve les opérations d'addition et de multiplication scalaire, c'est-à-dire que si f : V → W est un morphisme d'espaces vectoriels, alors pour tout v, w dans V et tout scalaire λ, on a f(v + w) = f(v) + f(w) et f(λv) = λf(v). Exemple: L'application de ² vers ² définie par f(x, y) = (2x + y, x - y) est une application linéaire.

Morphismes de graphes (homomorphismes de graphes).
Une application f: G → H entre deux graphes G = (V, E) et H = (V', E') est un morphisme de graphes si pour toute arête (u, v) dans E, (f(u), f(v)) est une arête dans E'. Préservation des relations d'adjacence (les arêtes). Exemple: Si on a un graphe G avec les sommets {1, 2, 3} et les arêtes {(1, 2), (2, 3)}, et un graphe H avec les sommets {a, b, c} et les arêtes {(a, b), (b, c)}, l'application f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c est un morphisme de graphes.

Noyau et image.
Pour certains morphismes, en particulier les homomorphismes de groupes, d'anneaux, ou les applications linéaires, on définit le noyau et l'image, qui sont des sous-objets (sous-groupes, sous-anneaux, sous-espaces vectoriels).

• Noyau d'un morphisme. - Le noyau d'un morphisme f : A → B est l'ensemble des éléments de A qui sont envoyés sur l'élément neutre de B. Il est noté Ker(f) ou N(f). En d'autres termes, le noyau d'un morphisme est l'ensemble des éléments de l'ensemble de départ qui sont "annulés" par le morphisme.
• Image d'un morphisme. - L'image d'un morphisme f : A → B est l'ensemble des éléments de B qui sont atteints par le morphisme. Il est noté Im(f) ou f(A). Autrement dit, l'image d'un morphisme est l'ensemble des éléments de l'ensemble d'arrivée qui sont "atteints" par le morphisme.

Le noyau d'un morphisme est un sous-ensemble de l'ensemble de départ. C'est un idéal de l'ensemble de départ si l'ensemble de départ est un anneau.L'image d'un morphisme est un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée. C'est un sous-module de l'ensemble d'arrivée si l'ensemble d'arrivée est un module. Si f est un morphisme injectif, alors Ker(f) = {0}. Si f est un morphisme surjectif, alors Im(f) = B.

Exemples :

Soit f : → /2 le morphisme qui envoie chaque entier sur son reste modulo 2. Alors Ker(f) = 2 et Im(f) = /2.
Soit f : → le morphisme qui envoie chaque réel sur son carré. Alors Ker(f) = {0} et Im(f) = ⁺.

Théorèmes d'Isomorphisme.
Les théorèmes d'isomorphisme, qui existent dans plusieurs catégories, relient le noyau et l'image d'un morphisme à la structure des objets impliqués. Par exemple, dans les groupes, le premier théorème d'isomorphisme dit que le quotient du domaine par son noyau est isomorphe à l'image du morphisme. En algèbre linéaire (espaces vectoriels), le théorème du rang donne une relation importante entre les dimensions du noyau, de l'image et de l'espace de départ.

Dictionnaire Idées et méthodes