Contrairement à l'arithmétique, qui se concentre principalement sur les nombres spécifiques, l'algèbre introduit des variables (souvent représentées par des lettres comme x, y, z) pour généraliser les concepts mathématiques et exprimer des relations. On représente par des caractères particuliers, appelés signes algébriques, les opérations à faire sur ces grandeurs. Cela facilite les raisonnements et les abrège en même temps que cela en augmente la généralité. Les premières lettres de l'alphabet sont réservées aux quantités connues, les dernières lettres x, y, z, aux quantités inconnues. Le signe + indique l'addition de deux nombres et s'énonce plus. Le signe - indique qu'un nombre doit être soustrait d'un autre et s'énonce moins.

Quelques définitions : 

• Les variables représentent des valeurs inconnues ou changeantes, tandis que les constantes sont des valeurs fixes.

• Une expression algébrique combine des variables, des constantes et des opérations (comme l'addition, la soustraction, la multiplication et la division). Par exemple : 3x+5 est une expression algébrique.

• Une équation est une égalité entre deux expressions algébriques. Par exemple : 2x+3=7. Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de la variable qui satisfait cette égalité.

• Une fonction décrit la relation entre deux ensembles de valeurs, où chaque valeur d'entrée (ou x) a une valeur de sortie correspondante (ou y).

« son objet n'est pas de trouver les valeurs mêmes des quantités que l'on cherche, mais le système d'opérations à faire sur les quantités données pour en déduire les valeurs que l'on cherche d'après les conditions du problème; le tableau de ces opérations représentées par les caractères algébriques est ce qu'on appelle une formule ». 

«  l'algèbre, à proprement parler, est l'analyse des équations ».

« l'algèbre on l'analyse consiste dans un traité complet de la science des nombres et dans un examen soigneux des différentes manières de calculer qui peuvent se présenter-». 

« En algèbre, dit Bertrand, on étudie les opérations, indépendamment des nombres sur lesquels elles s'exécutent: c'est là le caractère distinctif de cette science. La ligne de démarcation entre l'algèbre et l'arithmétique est, du reste, en quelque sorte, insaisissable-»

Les principaux thèmes de l'algèbre

Ces matières étaient vers 1900 : le calcul des quantités algébriques, l'analyse combinatoire (Analyse mathématique), les progressions et les logarithmes, enfin la théorie des équations. Les manuels parus au XX^e siècle ont placé les logarithmes dans l'analyse, mais ont rangé dans l'algèbre la théories des ensembles et l'étude des structures, chapitres qui irriguent désormais de leurs concepts la totalité des mathématiques. 

On trouvera ainsi dans l'ouvrage d'Algèbre de Michel Queysanne (1964), destiné aux étudiants de premier cycle, les thèmes suivants :

Théorie des ensembles.
La théorie des ensembles est la base de nombreuses branches des mathématiques, y compris l'algèbre. Elle étudie les collections d'éléments appelées ensembles. En algèbre, elle est utilisée pour définir des concepts tels que les relations, les fonctions, et les structures algébriques. Concepts clés : ensembles, sous-ensembles, union, intersection, complément, relations, applications (ou fonctions).

Entiers naturels et analyse combinatoire
Les entiers naturels () constituent la base de la numérotation et des opérations algébriques élémentaires. L'analyse combinatoire se concentre sur le dénombrement des éléments et l'étude des arrangements, des permutations, des combinaisons, etc. Ces concepts sont cruciaux pour comprendre la structure des ensembles et les relations entre eux.

Structures algébriques.
Les structures algébriques sont des ensembles équipés de lois de composition qui respectent certaines propriétés. 

Une loi de composition est une opération qui associe deux éléments d'un ensemble pour en produire un troisième. Par exemple, l'addition et la multiplication sont des lois de composition sur les entiers.

Groupes.
Un groupe est un ensemble muni d'une loi de composition qui respecte quatre propriétés : fermeture, associativité, élément neutre, et élément inverse. Par exemple, l'ensemble des entiers relatifs avec l'addition forme un groupe.

Anneaux.
Un anneau est une structure avec deux lois de composition (addition et multiplication) où l'addition forme un groupe abélien (commutatif) et la multiplication est associative.

Corps.
Un corps est un anneau où chaque élément non nul a un inverse multiplicatif. Par exemple, l'ensemble des nombres rationnels, réels ou complexes. 

La théorie des corps étudie les propriétés des corps, y compris les extensions de corps et les solutions des équations polynomiales. C'est une base pour la géométrie algébrique et la théorie de Galois.

Algèbre linéaire.
L'algèbre linéaire étudie les espaces vectoriels et les transformations linéaires entre eux. Elle inclut des concepts comme les matrices, les déterminants, les vecteurs propres, et les valeurs propres. Concepts clés : systèmes d'équations linéaires, matrices, espaces vectoriels, transformations linéaires, diagonalisations.

Matrices.
Une matrice est un tableau de nombres organisé en lignes et en colonnes. Les matrices sont utilisées pour représenter des systèmes d'équations linéaires, des transformations linéaires, et pour effectuer des calculs en algèbre linéaire. Concepts clés : addition, multiplication de matrices, matrice inverse, matrice transposée, trace d'une matrice.

Déterminants.
Le déterminant est un nombre calculé à partir d'une matrice carrée qui donne des informations sur ses propriétés. Par exemple, un déterminant non nul indique que la matrice est inversible.

Equations linéaires.
Une équation linéaire est une équation de la forme ax+by+cz=d, où a, b, c, et d sont des constantes, et x, y, z sont des variables. Ces équations sont résolues pour trouver les valeurs des variables. Les systèmes d'équations linéaires consistent en plusieurs équations linéaires simultanées et peuvent être résolus par différentes méthodes comme l'élimination de Gauss, l'inversion de matrices, ou la méthode de Cramer. Concepts clés : résolution de systèmes linéaires, matrices augmentées, méthode du pivot de Gauss, rang d'une matrice.

Polynômes.
Un polynôme est une expression algébrique de la forme anxⁿ + an−1x^n−1 + ... + a1x + a0​,où an, an−1,…,a0 sont des coefficients et x est une variable. Les polynômes jouent un rôle central en algèbre pour modéliser des relations mathématiques. Les opérations sur les polynômes incluent l'addition, la multiplication, la division (avec reste), ainsi que la factorisation. Concepts clés : racines d'un polynôme, théorème fondamental de l'algèbre, factorisation, division euclidienne des polynômes, polynômes irréductibles.

Fractions rationnelles.
Une fraction rationnelle est une expression du type P(x)/Q(x)​, où P(x) et Q(x) sont des polynômes. Les fractions rationnelles généralisent les fractions arithmétiques et sont utilisées dans la résolution d'équations rationnelles et l'analyse des fonctions rationnelles. Les opérations sur les fractions rationnelles incluent l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, et la simplification. Concepts clés : simplification des fractions rationnelles, décomposition en éléments simples, asymptotes verticales et horizontales.

Équations algébriques.
Les équations algébriques sont des équations impliquant des polynômes égaux à zéro, par exemple P(x)=0. Leur résolution consiste à trouver les valeurs des variables qui satisfont l'équation. La résolution des équations algébriques peut inclure des méthodes comme la factorisation, la méthode des racines, ou l'utilisation de formules (comme la formule quadratique pour les polynômes de degré 2). Concepts clés : racines et solutions, multiplicité des racines, théorème de Viète, équations polynomiales de degré 2, 3, 4, équations irrationnelles.