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L'histoire des mathématiques
Les mathématiques au Moyen âge

Aperçu 

La tradition  mathématique orientale

L'histoire des mathématiques médiévales, celles de l'Europe latine (= la partie de l'Europe où s'était étendu l'Empire romain d'Occident), est intiment liée à celle des mathématiques arabes, qui ont aussi de liens avec les mathématiques indiennes, elles-mêmes soumises à l'influence des mathématiques chinoises. Aussi faut-il dire en préambules quelques mots de ces deux dernières traditions orientales.

Les mathématiques chinoises.
Le Yijing  (Yi-king ou Y-king), vieil ouvrage chinois de philosophie ne contient que des notions mathématiques assez sommaires : on y manipule, avec les trigrammes, la notion de permutation (Analyse combinatoire), mais sans la théoriser explicitement; on y trouve aussi une forme de numération binaire (sur la base du yin et du yang), mais qui est également très implicite. 

Le Zhoubi Suanjing (Chou Peï Suan  king), aussi d'une grande ancienneté (comme le précédent il est difficile a dater, mais il a probablement été composé dans le courant du premier  millénaire avant notre ère), est plus spécialement consacré à l'arithmétique et aux calculs astronomiques. On y décrit les propriétés des triangles rectangles (avec une démonstration illustrée par un graphique du théorème de Pythagore), et les fractions sont utilisées. 

Le Suàn shù shu (Ecrits sur le calcul) et le Jiuzhâng Suànshù (Les Neufs sections - ou Neuf chapitres - sur les procédures mathématiques) dont des ouvrages plus récents (le dernier a été achevé vers le tout début de notre ère). On trouve notamment dans le premier une méthode de calcul des racines carrées. Quant au second, il aborde de façon plus systématique (et pédagogique)  tous les domaines où les mathématiques interviennent. On y traite notamment de la résolution des systèmes d'équations linéaires, ou encore de la résolution d'équations du second degré.

A partir du IIIe siècle, plusieurs noms de mathématiciens nous sont connus. On peut mentionner : Liu Hui (Liou Houi), commentateur des Neuf sections, et qui, vers 263, déduit de l'étude d'un polygone à 172 côtés une approximation de  égale à 3.14159; Zu Chongzhi (Tsu Ch'ung-Chih, 430-501), qui parvient pour sa part à l'encadrement 3.1415926 <  <3.1415927; et surtout Zhu Shijie (Chou Chi-kié, 1280-1303), auteur du Miroir précieux des quatre éléments. Cet ouvrage contient un triangle arithmétique (ou «triangle de Pascal »), déjà connu depuis plus d'un siècle, mais où cette fois les coefficients du binôme sont disposés jusqu'à la puissance 8. Une méthode de résolution d'équations (jusqu'au 14e degré) est également présentée. Elle est équivalente, mais antérieure de cinq siècles, à celle que proposera Horner.

Les contacts très anciens des Chinois avec les Grecs, et ceux plus étroits et continus avec les Indiens, permettent de penser que l'influence des  mathématiques chinoises sur les Grecs a pu exister, et qu'elle a pu jouer un rôle notable sur l'évolution des mathématiques indiennes. Quoi qu'il en soit, à partir du XVe siècle, les influences extérieures, à commencer par celle de l'Occident, ont joué massivement dans le sens contraire, et les mathématiques chinoises ont fini par perdre leur caractère propre.

Les mathématiques indiennes.
Bien que le rôle joué par les mathématiques indiennes dans le développement des mathématiques arabes soit bien connu, leur évaluation, l'appréciation de leur mérite ou de leur orginalité, reste difficile, tant par la difficulté de dater presque toute la littérature indienne que par la forme même prise par les textes mathématiques. Ceux-ci sont écrits en vers et mélangent souvent confusément les questions astronomiques, astrologiques et mystiques. Les démonstrations sont absentes et seuls des exemples numériques semblent en tenir lieu. L'algèbre des Indiens est généralement rhétorique, c'est-à-dire sans symboles ni abréviations, même si dans les œuvres plus récentes certaines symboliques et l'usage d'initiales font leur apparition, qui lui donnent l'aspect d'une algèbre syncopée (étape intermédiaire entre la rhétorique algébrique et le symbolique actuel). 

Les connaissances les plus anciennes attribuées aux mathématiciens indiens concernent la géométrie. Elles s'insèrent dans des préoccupations d'ordre cultuel (comment construire un temple, un autel?) et débouchent sur l'énoncé de règles pour la construction de carrés et de rectangles. Mais leurs contributions les plus importantes concernent l'arithmétique, l'algèbre et la trigonométrie. C'est ce que l'on observera entre le  IVe et le XIIe siècles de notre ère. Au début de cette période, plutôt tournée vers l'astronomie, l'influence grecque est discernable. Mais l'émancipation est rapide et de nouveaux concepts sont développés. Les grandes innovations, que les Arabes sauront faire fructifier, seront sans doute ici le système de numération positionnelle de base dix et l'invention des fonctions trigonométriques.

Le principe de la représentation décimale des nombres s'est répandu rapidement. Un manuscrit écrit en Syrie en 662 traite de la nouvelle méthode de calcul, et il existe des preuves que le système décimal a été utilisé au Cambodge et dans d'autres pays asiatiques peu de temps après. Au IXe siècle, le système décimal était d'usage courant dans le monde arabo-musulman, et de là il sera rapidement transmis à l'Europe latine. 
Parmi les autres innovations que présentent les mathématiques indiennes, mentionnons l'emploi de syllabes différentes pour indiquer différentes inconnues (procédé que ne connaissait pas Diophante) et la distinction entre nombres positifs et négatifs, qui étaient interprétés comme des crédits et des débits et qui étaient différenciés symboliquement.

Les mathématiciens indiens ont également clarifié les règles standard des exposants et manipulé les exposants d'une manière qui suggère aujourd'hui qu'ils étaient également familiers avec les principes de base des logarithmes. 

Au XIVe siècle, Mhadava de Sangamagramma  a fait des progrès significatifs dans l'analyse. Il a produit les développements en série infinie des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses (aujourd'hui série de Taylor), a découvert le Théorème binomial et a même produit la série de Gregory, qu'il a utilisée pour approximer la valeur de  avec une très grande précision.

Parmi les mathématiciens indiens les plus influents au Moyen âge, il convient de citer Aryabhatta, Brahmagupta et Bhâskara.

Aryabhatta.
Aryabhatta  (né en 476)  a dirigé un premier centre de recherches à Kusumapura dans le nord-est du sous-continent indien. Il traitait des questions d'arithmétique et surtout d'"analyse indéterminée" dans un sens différent de celui de Diophante et plus proche de celui actuel. On lui doit aussi l'introduction des sinus, qui remplacent avantageusement les cordes utilisées par les Grecs.

Brahmagupta.
Un deuxième centre existait aussi à Ujjain, également dans le nord. Il a d'abord été dirigé par  le mathématicien Varahamihira, qui a également contribué à l'astronomie et à la trigonométrie, et fut bientôt remplacé, au VIIe siècle par Brahmagupta, l'auteur d'un traité très important intitulé Brahmasphutasiddhânta ( = L'ouverture de l'univers) ou simplement Siddhânta. Brahmagupta introduisit et expliqua l'arithmétique des nombres non positifs et fut le premier mathématicien de l'histoire à donner à zéro le statut d'un nombre, le définissant comme le résultat de la soustraction d'une quantité à elle-même (il utilise le zéro, non seulement comme chiffre numérique, mais aussi comme symbole opératoire). Le mathématicien a aussi établi une formule (aujourd'hui appelée la formule de Brahmagupta) pour l'aire d'un quadrilatère cyclique en termes de ses côtés. On lui doit encore des techniques d'interpolation sophistiquées pour le calcul des valeurs de sinus en trigonométrie et des  méthodes pour résoudre des équations linéaires et quadratiques, ainsi que des systèmes d'équations. 

Bhâskara.
Au cours des 200 années suivantes, les érudits indiens ont travaillé à affiner de nouvelles méthodes de trigonométrie et des techniques de calcul astronomique. Le mathématicien Bhâskara (XIIe siècle) fait des progrès dans la théorie des nombres, l'algèbre, la combinatoire et l'astronomie. Il a écrit un texte complet résumant l'état des mathématiques et de l'astronomie en Inde à son époque. Peu de temps après Bhaskara, d'autres érudits indiens ont approfondi ces idées. 

Les mathématiques arabes

Environ un siècle après l'Hégire (622), c'est-à-dire dès le VIIIe siècle, les Arabes ont étendu leur empire du Pamir aux Pyrénées. Ce vaste espace défini par une religion, l'Islam, et par des échanges commerciaux intenses plus que par une véritable unité politique, a été un lieu de rencontre, peut-être sans équivalent dans l'histoire, avec de multiples traditions qui ont donné à la civilisation arabo-musulmane son originalité. Les mathématiques elles-mêmes, en puisant à diverses sources, ont bénéficié de ce contexte. 

Les érudits arabes (ou, pour mieux dire, arabo-musulmans) ont ainsi maintenu un vif intérêt pour le travail des mathématiciens indiens pendant les siècles qui ont suivi et ont joué un rôle actif dans la préservation et la traduction de nombreux textes indiens. Les mathématiciens arabes leur doivent leur système de numération, leur trigonométrie, et aussi la forme  « rhétorique » de leur algèbre.

Dans un deuxième temps (vers le IXe siècle), ils faisaient traduire les ouvrages grecs. Parmi ceux-là citons ceux d'Euclide, d'Archimède, d'Apollonius, de Héron, de Ptoléme, de Pappus, de Diophante. Leurs problématiques se sont vite fait une place dans les spéculations des mathématiciens arabes.

L'apogée des mathématiques arabes.
On place l'apogée des mathématiques arabes entre le IXe et le XIe siècles. Et l'on peut mentionner pendant cette période les nom suivants :

Khwârizmî.
Abou-'Abdallah el-Kwhârizmî, natif du Khorassan, bibliothécaire du calife Al-Mammoun, composa (vers 820), par ordre de ce calife, des Eléments d'algèbre, Al-gebr we'l mukabala.  Comme c'était le premier livre offrant un pareil système de notation, il reçut le nom d'Algorisme, c'est-à-dire l'art d'Al-khwârizmi.

Le mot arabe al-gebr (de gabar =  rétablir) signifie compléter une négation, c'est-à-dire le transport d'un terme négatif d'un membre de l'équation dans l'autre membre; le mot al-mukabala  = opposition, confrontation, signifie la réunion de plusieurs termes homogènes des deux côtés.
L'Algèbre de Khwârizmî traite de l'addition, de la soustraction et de la multiplication des expressions qui contiennent la quantité inconnue, ou son carré ou sa racine carrée. L'inconnue y est appelée s'aï, c'est-à-dire chose, res, ou encore gidr, racine, radia : le mot gidr dérive de gadr, qui signifie la racine d'une plante. C'est donc aux Arabes que l'on doit le nom de racine, que les Grecs désignaientpar le mot côté, pleura (d'un carré). Comme les Indiens, il emploie des considérations géométriques afin d'affirmer la certitude des opérations. Sa méthode lui sert ensuite à résoudre l'équation du second degré.

Dans la résolution des équations quadratiques ou du second degré, toujours écrites en termes positifs, l'auteur distingue ces trois cas : x² + bx = a, x² + a = bx, x² = bx + a. Les racines positives de l'équation sont seules prises en considération. Viennent ensuite quelques exemples comme éclaircissement. Soit, par exemple, x² +10x = 39. A travers des explications prolixes, propres à obscurcir plutôt qu'à éclaircir la question, l'auteur arrive à construire géométriquement le carré 5²= (10/2)² , qui, ajouté au gnomon 39, donne le carré 8². Le carré de la différence 8 - 5 (racines des deux carrés construits) donne la valeur de x² = 3². En effet, 3²  + 10 X 3 = 39. Les autres cas sont à peu près traités de la même manière.

Cependant son livre est moins complet que les traités indiens. Ainsi il ne parle pas des équations indéterminées du second ni du premier degré, mais l'auteur a soin de nous prévenir que c'est un simple résumé destiné à faciliter les opérations les plus usuelles, et non un cours complet comme les Arabes en possédaient déjà.

Le Traité d'algèbre de Khwârizmî est le plus ancien ouvrage arabe que nous possédions sur ce sujet. C'est grâce à lui Léonard de Pise, qui avait été s'instruire près des Arabes, put, en le traduisant, doter l'Europe de cette branche des mathématiques. Cette algèbre, considérée comme élémentaire par un savant de Bagdad du XIe siècle, devint le vade-mecum des Occidentaux sept cents ans après, et servit de base à leurs études scientifiques jusqu'à Viète.

On doit au même auteur les Tables astronomiques, connues sous le nom de Sind-Hind et un livre sur l'Arithmétique, mais ils ont moins de valeur.

Les Banu Musa.
Les trois frères Banu Musa ( = les fils de Musa bin Shakir, un astronome de bagdad originaire du Khorasan), contemporains Khwârizmî, se montrèrent de remarquables mathématiciens. Mohammed, le plus célèbre des trois, exécuta une des premières opérations géodésiques exactes. Il mesura un degré de méridien dans la plaine de Sindjar. Il calcula aussi des tables astronomiques, et composa un Traité des mouvements célestes assez curieux. Ahmed écrivit sur Les Machines, et Hasen s'occupa de la Trisection de l'angle. Enfin les trois frères composèrent ensemble une Géométrie où se rencontre la démonstration de la formule exprimant la surface d'un triangle en fonction des trois côtés.

Chargés d'une mission en Asie Mineure, en Perse, en Égypte et en Grèce, afin d'y recueillir les meilleurs manuscrits scientifigues, Ahmed et Hasen rencontrèrent à Harran en Mésopotamie; un astronome de talent, Thabit ibn Qurra, qu'ils emmenèrent avec eux à Bagdad. 

Thabit ibn-Qurrah.
Parmi les écrits laissés par Thabit ibn-Qurrah (mort en 900 de notre ère), qui paraît s'être le premier aperçu de la variabilité de l'obliquité de l'écliptique, il en est un qui a pour titre : de Problematibus algebricis geometricis ratione comprobandis. C'est sans doute le titre de cet ouvrage qui a fait dire à Montucla que

« [Thabit ibn-Qurra] a écrit sur la certitude du calcul algébrique, ce qui pourrait donner lieu de penser que les Arabes eurent aussi l'heureuse idée d'appliquer l'algèbre à la géométrie. »
Cette conjecture a été confirmée par la publication du fragment d'algèbre que A. Sédillot a extrait du manuscrit arabe n° 1104, fol. 28, de la Bibliothèque nationale. Dans cet ouvrage, dont l'auteur ne se nomme pas, les équations cubiques sont résolues géométriquement. L'algèbre y est définie comme 
« un art savant, qui traite des nombres absolus et des grandeurs d'une manière telle, que les quantités inconnues, étant jointes à une chose connue, peuvent être déterminées, la chose connue étant une quantité ou un rapport. »
L'auteur ajoute ensuite, comme Khwârizmî, que, dans leur art, les algébristes ont coutume de nommer chose, s'aï (res des Latins, cosa des Italiens), l'inconnue à déterminer; de nommer produit ou carré (census des Latins, censo des Italiens) la chose multipliée par elle-même. Le cube était ainsi le produit du census par la chose (racine); le carré-carré, le produit du census par lui-même; le carré-cube, le produit du census par le cube; le cube-cube, le produit du cube par lui-même. Ces dénominations des puissances étaient déjà connues des Grecs, ce qui contredit l'opinion de Wallis, prétendant que les Arabes avaient adopté, dans leur nomenclature, un système différent de celui de Diophante.

Thabit ibn-Qurrah avait aussi publié des traductions d'Euclide, d'Archimède et d'Apollonius très estimées dans tout l'Orient. Un autre de ses livres, sa dissertation sur les « nombres amiables », dont chacun est la somme des facteurs des autres, est une des premières découvertes originales des Arabes, et prouve que l'arithmétique de Pythagore n'y était pas délaissée.

El-Battânî.
El-Battânî, l'Albategnius des Latins (né à Baten en 877, mort à Bagdad en 929 de J. C.) , surnommé le Ptolémée Aarabe, fit - une innovation importante (dont on a voulu lui contester la priorité), en substituant les sinus aux cordes. Le passage qui s'y rapporte est tiré de son traité de la Science des astres, qui parut en latin, avec le commentaire de Regiomontanus, à Bologne, en 1537. Il divise, comme Ptolémée, le diamètre en 120 parties, conséquemment le rayon en 60 parties. Puis il détermine la corde de 120°, la corde du supplément d'un arc quelconque dont la corde est déjà connue, les cordes de 90°, de 36° et de 72°; enfin il emprunte à Ptolémée les théorèmes suivants :

« Si l'on a les cordes de deux arcs, on aura aussi celles de leur somme et de leur différence; - si l'on connaît la corde d'un arc, on aura aussi celle de sa moitié; - si les arcs sont petits, leurs cordes seront entre elles à très peu près comme les arcs. »
(Regiomontanus ajoute ici une démonstration, assez obscure, du procédé qui sert à trouver la corde de la moitié de l'arc).

Mais dans l'exposition de ce qui suit, l'auteur arabe cesse de copier Ptolémée.

« Le diamètre EC qui divise, dit-il, en deux arcs égaux l'arc AB, divise pareillement la corde AB en deux parties égales, AD et DB, qui sont les moitiés de la corde de l'arc double AB. Or, la corde est au demi-diamètre (rayon) comme la demi-corde est au rayon. Ainsi, quand on a un arc AC, au lieu de le doubler pour en chercher la corde AB, on peut s'en tenir à l'arc simple AC et considérer la demicorde AD ou DB, qui sont de part et d'autre du diamètre. C'est de ces demi-cordes que nous entendons nous servir dans nos calculs, où il est bien inutile de doubler les arcs. Ptolémée ne se servait de cordes entières que pour la facilité des démonstrations; mais nous, nous avons pris ces moitiés des cordes des arcs doubles dans toute l'étendue du quart de cercle, et nous avons écrit ces demi-cordes directement à côté de chacun des arcs, depuis 0° jusqu'à 900, de demi-degré en demi-degré; ainsi, la moitié de la corde de 60° se trouve vis-à-vis de 30°; la moitié de la corde de 120° vis-à-vis de 60°, et la moitié de la corde de 180°, ou le rayon, vis-à-vis de l'arc de 90°, et ainsi des autres; en sorte que, quand nous parlerons de corde, il faudra entendre la demi-corde de l'arc doublé, à moins que le contraire ne soit expressément déclaré. »
Il est assez étonnant que cette simplification donnée par Al-Battânî n'ait pas été faite par Ptolémée, lui qui, dans son Analemme, n'employait déjà que les demi-cordes au lieu des cordes entières.

La demi-corde de l'arc double est exprimée en arabe par le mot djib, qui signifie pli; c'est la corde pliée en deux, comme pourrait l'être le pli d'une robe, qui se dit sinus, en latin : c'est de là que vient, suivant quelques-uns, le mot de sinus, appliqué à la demi-corde. Mais d'autres le font venir de l'abréviation latine s. ins., pour semis inscripta, le mot inscripta étant le nom de la corde entière, et semis inscripta celui de la demi-corde.

Abu Al-Wafa.
Abu Al-Wafa, qui florissait à Bagdad dans la seconde moitié du Xe siècle, a écrit, suivant Aboul-faradje, sur l'arithmétique de Diophante. Il a connu les formules des tangentes et des cotangentes, et même celles des sécantes et des cosécantes, dont aucun auteur n'avait encore parlé. Il a calculé seulement des tables de tangentes et cotangentes; il s'en est servi pour simplifier le calcul des formules connues, mais il n'a past trouvé les formules qui manquaient encore à la trigonométrie des Grecs et des Arabes.

Ibn al Haytham.
Hassan Ibn al-Haytham, connu en Occident sous le nom de Alhazen, a publié un Traité des connues géométriques, aux environs de l'an 1010. Cet opuscule donne une idée assez exacte des considérations métaphysiques répandues chez les géomètres arabes. Des deux parties qui le composent, la première et la plus originale renferme des questions de lieux, la seconde comprend une suite de propositions dans le genre de celles traitées dans les Data d'Euclide. Elles sont cependant différentes de ces dernières et souvent assez difficiles. Pour en donner une idée, citons les deux suivantes :.

• Quand on a un triangle dont les côtés et les angles sont déterminés, et qu'on mène une ligne du sommet à la base, si le rapport du carré de la droite au rectangle formé sur les deux segments de la base est connu, la ligne sera donnée de position.

• Lorsqu'on a deux cercles connus de grandeur et de position, et qu'on trace une droite tangente aux deux cercles, cette droite est déterminée en grandeur et en position.

Al-Haytham est aussi l'auteur d'un célèbre traité d'optique. Ce traité, traduit en 1270 par Vitellio, servit beaucoup à Kepler pour son propre Traité d'optique. On y trouve résolue la question connue sous le nom de problème d'Alhazen, à savoir en quel point d'un miroir concave doit tomber la lumière, venant d'un endroit donné, pour qu'elle se réfléchisse dans un autre point. Cette question conduit à une équation  du quatrème degré qu'Al-Haytham résolut à partir de l'étude de l'intersection d'une circonférence avec une hyperbole. Le même ouvrage d'Al-Haytham fut traduit, au XIVe siècle, en italien.

Les derniers mathématiciens arabo-musulmans.
A partir du XIIe siècle, la culture arabo-musulmane décline, en même temps que ces centres se déportent de l'Orient la Péninsule ibérique ou le Maroc. Entre le XIIe et le XVe siècle, les mathématiciens arabes notables sont rares et leurs apports restent modestes. C'est à peine si on encore nommer Nasir al-Din qui vivait au XIIIe siècle, à l'époque de la domination mongole. Al-Din a traduit des mathématiciens grecs et a cru pouvoir donner une "démonstration" du postulat d'Euclide. D'autres auteurs s'intéressent à la formation des triangles rectangles en nombres entiers, notamment Abou-Djafar Mohammed Ibn- Al-Hoçaïn. Son traité (sur la Formation des triangles rectangles ayant les côtés rationnels) renferme une importante donnée historique. On y voit qu'Abou-Mohammed Al-Khodjandj avait déjà démontré que la somme de deux cubes n'est jamais un cube. Citons encore Jabir Ibn-Aflah, qui se consacre à la trigonométrie sphérique, Ibn-Khaldoun (1332-1406), qui fait le lien entre l'Orient et l'Occident, entre Le Caire et Fès, et s'est intéressé à l'arithmétique, à la sommation de séries de cubes, etc.,  et, plus intéressant peut-être, Ibn al-Bannaâ :

Ibn al-Bannâ, etc.
Dans un ouvrage intitulé leTalkhys, Ibn Al-Bannâ, qui professait, en 1222, les mathématiques et l'astronomie au Maroc, a exposé lui-même son objectif en ces termes :

 « Le but, dans la composition de ce traité, est d'analyser succinctement les opérations du calcul, d'en rendre plus accessibles les portes et les vestibules, et d'en établir solidement les fondements et la bâtisse. Il comprend deux parties, la première sur les opérations du nombre connu, la seconde sur les règles qui permettent d'arriver à connaître l'inconnue demandée, à l'aide des connues, s'il existe entre elles la liaison que cela exige. »
Le Talkhys ou Traité d'arithmétique d'Ibn Al-Bannâ fut aussi commenté par Al-Kalçadi, Arabe espagnol, contemporain d'Ibn-Almadjdi (du milieu du XVe siècle).

Les Latins

Le haut Moyen-âge.
Boèce
Boèce consacrait tous ses moments à l'étude de la philosophie et des mathématiques, et passait pour habile à fabriquer des clepsydres et des gnomons. Ses connaissances, de beaucoup supérieures à celles de ses contemporains, le rendirent bientôt suspect auprès de son souverain. Accusé de conspirer avec l'empereur grec (Justinien) pour délivrer Rome du joug des Ostrogoths, Boèce fut jeté, comme traître et magicien, dans un cachot, à Ticinium (Pavie). Ce fut dans la prison, où il mourut étranglé, qu'il écrivit son beau livre de Consolatione philosophiae, dialogue animé entre l'auteur et la philosophie, qui lui apparaît sous les traits d'une femme. 

Boèce révéla à ses contemporains les oeuvres d'Aristote; pendant des siècles, on continua d'enseigner la philosophie péripatéticienne d'après les commentaires de Boèce sur les Catégories, les Analytiques, les Topiques, etc., d'Aristote. C'est lui encore qui fit connaître à ses contemporains  les principaux astronomes et mathématiciens de l'Antiquité. Son Arithmétique peut être considérée comme une traduction libre deNicomaque, comme la Géométrie qu'on lui attribue, et qui parait être d'un auteur postérieur à Boèce, est une traduction abrégée d'Euclide.

Les écrits mathématiques de Boèce, comprenant deux livres sur l'arithmétique (de Institutione arithmetica libri Il), cinq livres sur la musique.

Isidore de Séville.
Isidore de Séville,évêque wisigoth de Séville, qui vécut un siècle après Boèce, a laissé, sous le titre Origines ou Etymologia, une sorte d'encyclopédie en vingt livres, résumant les connaissances de son temps. Les treize premiers chapitres du IIIe livre sont consacrés à l'arithmétique et à la géométrie. L'auteur fait venir le nom de numerus, nombre, de nummus, pièce de monnaie; decem, dix, du grec desmos, lien, parce qu'il lie entre eux les nombres qui lui sont inférieurs; mille, de multitudo. Il signale ensuite les nombres sacrés de la Bible, traite succinctement des pairs et des impairs, des nombres linéaires, polygones et polyèdres, etc. Puis il consacre trois courts chapitres à quelques définitions de la géométrie, qu'il distingue de l'arithmétique, «-parce que la géométrie a pour caractère la multiplication, tandis que l'arithmétique est fondée sur l'addition. » 

Bède le vénérable.
Bède le Vénérable a composé un petit traité d'arithmétique (de Numeris), et un autre, de Numerorum divisione, où l'on voit combien cette opération embarrassait alors les calculateurs. Enfin il a écrit divers traités géométriques et astronomiques (de Circulis, Sphaera et Polo; de Astrolabio; de Mensura horologii, etc.).

Alcuin.
Alcuin naquit en 735 à York, l'année même où mourut Bède. Précepteur de Charlemagne, il convertit en une école célèbre l'abbaye de Saint-Martin-de-Tours, où il s'éteignit en 804. Parmi ses ouvrages, nous signalerons, d'après Cantor, des problèmes et exercices arithmétiques (Propositiones arithmeticae ad acuendos juvenes), qui rappellent ceux de Diophante, mais il n'alla pas plus loin.. 

On sait que l'arithmétique faisait partie de l'enseignement du trivium et du quadrivium. Dans ces « Exercices arithmétiques de la jeunesse », on trouve plusieurs manières de deviner un nombre pensé, au moyen de quelques questions et opérations arithmétiques préalables; tel est, entre autres, le problème des 21 tonneaux, dont 7 pleins, 7 à demi pleins et 7 vides, à partager entre trois cohéritiers, de manière que chacun ait autant de vin que de futailles. Parmi les problèmes indéterminés, tout à fait dans le genre de ceux de Diophante, nous citerons le suivant (problème XXXIV) : 

« Si l'on distribue 100 boisseaux de blé à 100 personnes, de manière qu'un homme en reçoive 3, une femme 2 et un enfant un demi-boisseau, combien y avait-il d'hommes, de femmes et d'enfants 2 » 
Des sept solutions possibles, Alcuin n'en donne qu'une seule, à savoir : 11 hommes, 15 femmes, 74 enfants.
La solution générale est : 20-3x hommes, 5x femmes, 80-2x enfants; d'où l'on tire 7 solutions particulières possibles, en donnant à x successivement la valeur de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dans le premier cas (en faisant x =0), il y avait 20 hommes, 80 enfants, et pas de femmes; dans le second cas (x = 1), il y avait 17 hommes, 5 femmes et 78 enfants, et ainsi de suite. Dans le cas particulier, choisi par Alcuin, x est = 3.
Au problème XLII, l'auteur indique le moyen de donner les termes d'une progression arithmétique, en insistant sur cette remarque, que l'addition de deux termes extrêmes, placés symétriquement, donne toujours la même somme, comme par exemple :
1+5 = 2+4 = 3+3
Odon de Cluny.
Odon, abbé de Cluny (mort à Tours en 943), a écrit sur la musique et sur l'arithmétique. Ses Traités sur la musique, ses Règles sur la rhythmimachie ou l'arithmomachie (Regulae de rhythmimachia), et sur l'Abaque (Regulae super abacum), se trouvent imprimés dans un recueil (Scriptores ecclesiastici de musica, Saint-Blaise, 1784) de Martin Gerbert, abbé de Saint- Blaise (en Autriche). L'arithmomachia (combat des nombres) était un petit jeu d'arithmétique, que mentionne Boèce, et dont on a fait remonter l'origine aux pythagoriciens. Quant aux Règles sur l'Abaque (abacus à neuf chiffres, introduit en Occident par l'écrivain latin Archytas), elles étaient jugées nécessaires pour comprendre le comput ecclésiastique. 

Comme Boèce, Odon appelle nombres digitaux les unités simples, et nombres articulaires les dizaines. Comme Boèce, il donne au quotient le nom de denominatio, nom qui, dans les écrits latins d'origine arabe, est réservé à celui du dénominateur des fractions. L'as, nom donné par les anciens à toute unité entière, y est divisé en 12 onces, et l'once en 24 scrupules. Pour les subdivisions de l'once jusqu'au scrupule, inclusivement, Odon ne suit ni le système romain de Volusius Maecianus, ni le système pythagorique de l'écrivain latin Archytas et de Boèce; il a suivi le système gréco-romain de l'Empire d'Orient, tel qu'on le voit dans Priscien. En recherchant l'origine de l'art de l'Abacus, on arrive à se convaincre que cet art, avec les neuf chiffres, nous est venu des Grecs par l'intermédiaire de Boèce.

Gerbert.
Une figure plus intéressante de cette période fut le moine Gerbert, qui naquit dans la capitale de l'Auvergne en 940. Sa famille était si pauvre qu'il ne dut qu'à la charité publique de pouvoir faire son éducation au monastère de Saint-Gérauld, à Aurillac. Il entra dans les ordres de fort bonne heure, et fut emmené en Espagne par le comte de Barcelone. Puis après il se rendit à Rome où le pape Jean XIII, fasciné par son érudition, si rare au milieu de l'ignorance grossière du temps, le nomma abbé de Bobbio. C'est là qu'il établit une école dont la réputation se répandit bientôt dlans toute la chrétienté. Mais les moines et les seigneurs voisins, jaloux de sa renommée, portèrent contre les moeurs de Gerbert d'odieuses accusations. Celui-ci dut fuir devant l'orage et se retirer en Allemagne qu'il ne tarda pas à quitter de nouveau pour la France, rappelé par l'archevêque de Reims.

Gerbert éleva l'école de Reims à son apogée en faisant venir de tous côtés des livres de mathématiques et des instruments d'astronomie. Par son intelligence Gerbert sut redonner quelque lustre à l'université de cette ville où ses cours de mathématiques et d'astronomie attirèrent de nombreux disciples. aussi Grégoire V voulant récompenser son mérite lui donna le siège épiscopal de Ravenne. Enfin, à la mort de ce dernier pontife, et grâce à l'appui de, l'empereur Othon III, il devint a son tour chef de l'Église catholique, sous le nom de Sylvestre II (999). Quatre ans plus tard il décédait. Malgré les hautes fonctions qu'il occupa, Gerbert trouva le temps de composer de multiples ouvrages scientifiques. Il s'y montre plutôt disciple de Boèce, que continuateur des Arabes. 

Ses Lettres, d'une latinité quelque peu barbare, sont d'un grand intérêt pour l'histoire de la fin du Xe siècle. Éditées à plusieurs reprises, elles ont été plus correctement et plus complétement réimprimées par Olleris, dans les OEuvres complètes de Gerbert (Clermont et Paris, 1867). Dans ce même recueil se trouvent : 

•  Libellus de ratione et rationali, etc. Gerbert s'y montré philosophe platonicien, se déclarant pour la réalité des idées ou types éternels, appelés plus tard universaux. Il cite Porphyre et Boèce comme ses initiateurs à la philosophie d'Aristote.

•  Regula de abaco computi. Ce traité, imprimé pour la première fois dans le volume cité, est un exposé du système de numération décimale (sans le zéro). C'est, suivant . Olleris, le livre dont parle Gerbert dans sa lettre à son ami Constantin de Fleury, et qui paraît lui avoir servi de manuel pendant qu'il enseignait les mathématiques à Reims (de 972 à 982). Michel Chasles en avait pressenti l'existence quand il disait, dans sa Notice sur Gerbert

« qu'il serait naturel de penser, qu'outre le traité adressé à Constantin, Gerbert avait dû composer quelque autre ouvrage sur l'Abacus, dans le temps où il tenait l'école de Reims. » 
Victor Cousin (Oeuvres inédites d'Abélard) a fait connaître  un extrait de la Regula, mêlé à un extrait du livre de Bernelinus. - Les nombres fractionnaires, désignés par des noms et des symboles particuliers, sont des fractions de 12 et des multiples de 12. Ainsi, deunx signifie 11/12; decunx 10/12; dodrans 9/12; bisse 8/12; septunx 7/12; semis 6/12; quincunx 5/12; triens 4/12; quadrans 3/12; sextans 2/12; sescunx 1/12 + 1/24 = 1/8; uncia 1/12, semuncia 1/24; duella 1/36; silicicus 1/48; sextula 1/72; dragma 1/96; emisescla 1/144; tremissis 1/216; scripulus 1/288; obolus 1/676; cerates 1/1152; siliqua 1/1725; calculus 1/2304.

Libellus de numerorum divisions. Ce petit traité, imprimé d'abord parmi les Oeuvres de Bède, a été restitué à Gerbert, son véritable auteur, par Chasles, qui en a donné, en même temps, une traduction et un commentaire, qui méritent d'être proposés comme des modèles. Il a été dédié à Constantin (de Fleury), et écrit probablement en 997. Il est identique, comme l'a montréHauréau, avec le petit traité qui, dans un manuscrit (n° 6620, ancien fonds) de la Bibliothèque nationale, porte le titre de Rationes numerorum abaci. (Quant au Liber subtilissimus de arithmetica, opuscule trouvé par Pez dans la bibliothèque de l'abbaye de Saint-Emmeran à Ratisbonne, il n'a, contrairement à ce que l'on croyait, aucun rapport avec le Libellus de numerorum divisione; il est de Gerland, moine de Besançon, vivant au XIIe siècle).

• Geometria. Ce traité, publié par Pez dans le tome III des Anecdota, et plus correctement imprimé par Olleris, d'après deux manuscrits de la Bibliothèque nationale, aurait été, suivant Hock, écrit en Allemagne vers l'an 996. Olleris admet, comme plus vraisemblable, que Gerbert l'a rédigé ou dicté pendant son enseignement à l'école de Reims. Il élève en même temps quelque doute sur le véritable auteur de la Géométrie, qui, dans un manuscrit, ne porte le nom de Gerbert qu'en marge, d'une écriture plus récente. Au reste, parmi les recueils, la plupart anonymes, d'arithmétique et de géométrie, si nombreux au Moyen âge, il est souvent bien difficile de démêler les véritables noms d'auteurs.

La Géométrie de Gerbert.
La Géométrie, qui porte le nom de Gerbert, commence par la définition d'un corps solide (corpus solidum); de là il passe à celle de la ligne, du point et de la surface. Au chapitre II, l'auteur explique les mesures dont on faisait alors usage; tels sont digitus, uncia (trois doigts), palmus (quatre doigts ou quatrième partie du pied), sexta ou dodrans (douze doigts), pes (seize doigts), passus (un pas), pertica (d'où le nom de perche, comprenant deux pas ou dix pieds, decempeda), stadium (cent vingt-cinq pas ou six cent vingt-cinq pieds); leuca (d'où le nom de lieue) composée de douze stades), etc. 

Les expressions employées dans les chapitres suivants sont en partie grecques et en partie latines. 

Le triangle rectangle occupe le premier rang (principalitatem) parmi les figures géométriques, « parce qu'il est, dit l'auteur, le principe ou l'élément auquel peuvent être ramenées toutes ces figures. »  Il applique dans son étude du triangle les méthodes grecques qui fournissent des nombres rationnels pour les côtés; mais il utilise concurremment d'autres règles conduisant à des nombres fractionnaires. Parmi les questions intéressantes qu'il y traite se trouve la suivante : la surface et l'hypoténuse étant donnés, trouver les deux côtés. Ce problème est assez remarquable pour l'époque, puisqu'il répond à une équation du second degré.

Dans un quadrilatère, la ligne droite inférieure porte spécialement le nom de base, basis, tandis que la ligne ou base supérieure s'appelle coraustus, nom de basse latinité.

Les chapitres XI, XII et XIII sont consacrés aux triangles octogones ou rectangulaires, appelés pythagoriques. Pour construire ces triangles en nombres rationnels, un côté étant donné, l'auteur se sert des règles connues (attribuées à Pythagore et à Platon), qui donnent des nombres entiers pour les côtés du triangle rectangle; il se sert encore d'autres règles qui donnent des nombres fractionnaires. 

La fin de son livre est moins heureuse, car, dans ses formules relatives aux aires des polygones réguliers, il répète les erreurs des agrimenseurs romains.

Chasles fait remarquer ici que Gerbert résolut un problème, remarquable pour l'époque, parce qu'il dépendait d'une équation du second degré; ce problème était celui où, étant données l'aire et l'hypoténuse, on demande les deux côtés. Soit A l'aire, et C l'hypoténuse, la solution de Gerbert, traduite en formule, donne pour les deux côtés la double expression :

Gerbert montre comment on calcule la perpendiculaire dans un triangle dont les côtés sont connus. Enfin Chasles signale diverses inexactitudes dans le traité de Géométrie.
« Gerbert donne, dit-il, pour la surface des polygones réguliers les formules fausses des arpenteurs romains, et résout aussi comme eux le problème inverse, étant donnée l'aire d'un polygone régulier, trouver son côté. Pout le cercle, il donne le rapport 22/7. On trouve, sous les titres In campo quadrangulo agripennos cognoscere (chap. LXIX) et In campo triangulo agripennos invenire (LXX), les formules fausses que nous avons déjà signalées dans les Oeuvres de Bède, pour la mesure de l'aire du quadrilatère et du triangle; et Gerbert, dans ces exemples, se sert des mêmes nombres que Bède. On trouve, dans le chapitre LXXXV, la formule qui donne là somme des termes d'une progression arithmétique. La formule, pour l'aire du triangle en fonction des trois côtés n'y est pas, et on en trouve une autre pour le triangle rectangle qui n'est pas exacte. » (Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie).
L'auteur aborde ensuite la géométrie pratique. Il passe en revue les moyens propres à déterminer la profondeur d'un puits, la hauteur d'un monument, d'une montagne ou d'un arbre, la distance d'un objet inaccessible, etc. (ch. XII à XL).

Une chose digne de remarque, c'est que dans ce traité de géométrie, comme dans tous les autres écrits de Gerbert, on ne rencontre pas un seul mot qui soit d'origine arabe, tandis que les mots tirés du grec y abondent. Outre Boèce, on y voit cités, Pythagore, Platon, Ératosthène, Chalcidius (commentaire sur le Timée), etc.

On considère comme ses élèves quelques mathématiciens du même siècle, entre autres Adalbolde, Berlinus et Heriger. Mais leurs ouvrages, reflets des doctrines du maître, ne méritent guère d'être tirés de la poussière des bibliothèques.

Bernelinus.
Bernelinus était aussi un des élèves de Gerbert. Son Abacus, Liber abaci, imprimé par Olleris (Oeuvres de Gerbert), n'est probablement qu'un résumé des leçons du maître. Cet ouvrage est d'une grande importance en ce qu'il montre que Gerbert n'a rien emprunté aux Arabes et encore moins aux Indiens.

Après une courte préface, Bernelinus explique comment se faisait la table d'Abacus : c'était une table, bien polie, couverte d'une poudre bleue, sur laquelle on traçait des figures géométriques ou des lignes pour recevoir des nombres. L'auteur expose ensuite le système de numération, qui a depuis prévalu dans toute l'Europe, et qui est fondé sur la progression géométrique (valeur de position) de 1, 10, 100, etc. Et pour cela, il n'emploie, comme Boèce, que ces quatre chiffres romains : I, X, C, M.

I = 10° = 1
X =101 = 10
C = 10² = 100 
M ou Î = 103 = 1000
Pour exprimer les puissances suivantes, les mêmes chiffres romains servent encore ; mais ils sont alors surmontés d'un trait (titulus), et M est répété autant de fois qu'il y a de multiples de mille. Ainsi,
Rien de cela n'est nouveau : Archimède et Apollonius s'étaient déjà servis de la même progression pour exprimer des nombres très élevés.

Boèce, dans sa Géométrie (chapitre de Ratione abaci), avait traité de la même combinaison de chiffres romains; et il l'avait fait suivre du tracé des neuf caractères ou apices (apices), désignant les neuf nombres simples, inférieurs au nombre dix.

Ces caractères ou apices, dont voici les figures,

correspondent à

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Ils ont été reproduits avec de légères modifications dans l'Abacus de Bernelinus. Ici l'auteur a tracé au-dessous des neuf premiers chiffres, dits indiens, les lettres majuscules de l'alphabet grec, qui toutes se suivent, à l'exception du , comme le montre ce fac-simile

A quoi devaient servir ces chiffres? S'ils n'avaient dû servir qu'à exprimer les unités ±1, ±2, ±3, ...., ±9, qui précèdent ou qui suivent dix, cent, mille, cent mille, etc., ce n'était pas la peine d'inventer des signes nouveaux, les signes numéraux des Romains, des Grecs, des Hébreux même auraient suffi pour cela. Mais quand il s'agissait de représenter, par un système simple et commode, tous les nombres entiers compris entre les termes de la progression géométrique de 1, 10, 100, etc., comment s'y prendre? Là était la question.

Francon.
Vers la même époque, il faut placer Francon, écolatre de Liège, qui composa un opuscule De Quadratura circculi (1050) où il expose une solution nécessairement fausse de ce problème dont la difficulté ne l'effraye pas. On y rencontre toutefois certaines considérations assez nettes. Il montre, par exemple, que l'expression en termes rationnels, même à l'aide d'une série de substitutions, de la racine d'un nombre entier non carré parfait, comme 154, est impossible.

Dans l'Université de Paris, la plus ancienne et la plus en renom, on commentait Boèce, on exécutait des calculs soit au moyen de l'abacus, soit avec le vieux système des jetons représentant chacun une unité, soit selon la nouvelle méthode introduite par Gerbert, à l'aide de jetons numérotés. En géométrie on était peu avancé. On enseignait des règles et des énoncés de théorèmes sans démonstration.

Les algorithmistes.
Jean de Séville.
Jean de Séville ou de Luna, plus connu sous le nom latinisé de Joannes Hispalensis, est un rabbin du XIIe siècle, qui prit ce nom (il s'appelait auparavant Aben-Dreath) après s'être converti au christianisme. Sur les instances de Raimond, archevêque de Tolède, et de concert avec l'archidiacre Gondisalvi, il traduisit des livres arabes en castillan, puis du castillan en latin. Plusieurs de ces livres, comme divers traités d'Aristote, avaient été originairement traduits du grec en arabe, ce qui faisait trois versions, pour ainsi dire superposées; l'exactitude devait évidemment en souffrir. Nous n'avons à signaler de Jean de Séville que son Liber algorismi . On y trouve un procédé d'extraction des racines carrées à l'aide des fractions décimales, procédé qui fut plus tard présenté par Cardan et considéré comme nouveau. Mais ce procédé remonte lui-même à Théon le jeune, du IVe siècle. Ce commentateur de Ptolémée exécutait avec les fractions sexagésimales ce que Jean de Séville faisait avec les fractions décimales. 

Adélard de Bath.
Adélard ou Adelhard de Bath, ancien bénédictin de Bath, voyagea, dit-on, en Espagne et peut-être en Orient, pour y acquérir des connaissances mathématiques. Il traduisit, vers 1130, Euclide, de l'arabe en latin. Le traité qu'on lui attribue et qui a pour titre : Algoritmi de numero Indorum n'est qu'une traduction de l'arithmétique de l'Al-khwârismi. Adelhard de Bath a écrit aussi un traité deAbaco, qui se trouve dans les manuscrits de la Bibliothèque nationale. Il y dit que le mot abacus est moderne et signifie décuple, et que le nom ancien de l'Abacus était Table de Pythagore.

Sacrobosco.
John of Holywood, plus connu sous le nom latinisé de  Joannes de Sacrobosco, natif du comté d'York, mort en 1256, à Paris, où il enseignait les mathématiques, propagea la doctrine algorithmique dans son ouvrage imprimé en 1496, à Paris, sous le titre de Arithmetica decem libris demonstrata, qui  renferme tout ce qu'on savait sur le nouveau système de notation arabe. Les quatre règles s'y trouvent formulées, et il applique à diverses questions pratiques les principes de proportion. Le livre se termine par différentes formules algébriques propres à résoudre les problèmes les plus communs de la vie courante.

Mais son principal litre de gloire est son Traité de la sphère, qui renferma pendant longtemps tous le savoir de la science astronomique. Il est divisé en quatre chapitres. Le premier roule sur le globe terrestre, le second sur les cercles, le troisième sur le lever et le coucher des astres, et le dernier sur les orbites et les mouvements des planètes. L'auteur n'a guère ajouté aux ouvrages analogues grecs ou arabes. On peut louer seulement la disposition méthodique des matières. Bien que sa valeur scientifique ne soit pas très grande, c'est un des livres qui eurent le plus de succès pendant le Moyen âge, et même après. 

Une multitude d'auteurs le commentèrent. Ce sont, par ordre chronologique : Michel Scot, le fameux philosophe, Hugues de Castro (1337), puis Pierre d'Ailly, Purbach, Regiomontanus et tant d'autres. Après l'invention de l'imprimerie, les éditions se succédèrent. On l'imprima partout, en premier lieu à Ferrare (1572), puis à Bologne, à Venise, à Leipzig et à Paris. Le British Museum de Londres possède 65 éditions du Traité de la sphère dont la vogue avait duré plus de quatre cents ans!

Sacrobosco exerça donc une grande influence sur les études mathématiques pendant plusieurs siècles et fut par ce fait un des plus actifs propagateurs de la science des Arabes. 

Autres algorithmistes.
A la même école que celle de Sacrobosco se rattachent Campanus de Novare (mort en 1300, chanoine de l'église de Paris), traducteur et commentateur d'Euclide; Robert, évêque de Lincoln, surnommé Grosshead (Grosseteste), Théodoric Tzwivel, dont l'Arithmétique fut imprimée en 1507.

Les Abacistes.
Les Abacistes, beaucoup plus anciens que les Algorithmistes avec lesquels ils finirent par se confondre, s'occupèrent particulièrement de l'arithmétique pratique, des règles d'opération et des méthodes de calcul. 

Les Abacistes se servaient de l'ancienne arithmétique de Boèce. Celle-ci comprenait deux parties l'arithmétique théorique ou étude des propriétés des nombres et des démonstrations, toutes rudimentaires d'ailleurs, des méthodes, et l'arithmétique pratique qui avait pour but d'initier à l'art du calcul au moyen de l'abaque. La première continua à être enseignée par les mathématiciens de profession jusque vers le milieu du XVe siècle, tandis que la seconde se conserva beaucoup plus longtemps : certains commerçants français, anglais ou allemands, en faisaient encore usage au commencement du XVIIe.

C'est au abacistes sans doute que revient l'honneur d'avoir inventé, bien tardivement, les signes de l'addition, de la soustraction, de la multiplication, de l'extraction des racines, de l'égalité, etc..

Les signes + et - ne devinrent d'un usage fréquent que vers la fin du Moyen age, par suite de la pratique arithmétique des marchands. Les abacistes du seizième siècle, les arithméticiens, Scheubel, Stifel, Peletier, Butéon, se servaient des signes +, - et  (racine carrée) .
En réservant une place plus large à Léonard de Pise, nous nous bornerons à citer parmi les abacistes, Gerland, Raoul de Laon qui ne connaît pas la valeur du zéro, Jean Nemorarius qui dans son De numeris datis traite de questions d'algèbre en raisonnant sur des lettres, Gérard de Crémone,  etc. Les deux derniers sont parfois rangés dans la catégorie des algébristes.

Gerland.
Gerland, disciple des bénédictins de Besançon, écrivit, à la fin du XIe siècle, un livre d'arithmétique, où il emploie, pour désigner les unités, les neuf noms cabalistiques : igin, andras, ormis, arbas, quimas, caltis, zenis, temenias, celentis, en tête des colonnes de l'Abacus, ainsi que dans le texte qui indique les opérations à exécuter.

Raoul de Laon.
Raoul de Laon employa, vers 1100, ces mêmes mots dans un traité sur l'Abacus. Il y ajouta encore le mot sipos, nom d'un signe qui ressemble, dit-il, à une petite roue. Ce signe, écrit successivement au-dessus de chacun des chiffres du multiplicateur, lui sert à marquer à quel point de la multiplication on est arrivé. Il n'a pas encore pour lui la valeur du zéro. Raoul ne donne à l'Abacus que 27 colonnes, parce que ce nombre est le cube de 3. Il ne se rend pas compte de ce que le nombre, variable, des colonnes verticales de l'Abacus, réunies trois à trois, doit correspondre aux tranches de la numération parlée des Romains. Il ne comprend pas non plus, comme Chasles l'a montré, l'usage des trois lignes horizontales qui, sur l'Abacus des manuscrits de Boèce, présentent chacune douze nombres.

Jordan Nemorarius.
Jordan Nemorarius (traduction latine de Forestier) vivait, suivant Chasles, vers la fin du XIIe siècle. On a de lui Arithmeticorum libri X, imprimé par Lefèvre d'Etaples (Paris, 1496); de Ponderibus, traité publié par P. Apian (Nuremberg, 1533) ; de Numeris datis. Ce dernier ouvrage, inédit (il existe en manuscrit à la Bibliothèque nationale), est un traité d'algèbre, divisé en quatre livres, comprenant ensemble 113 questions; l'auteur y fait tous ses raisonnements sur des lettres. Cet ouvrage, peu connu, avait attiré l'attention de Regiomontanus et de Maurolycus, qui s'étaient proposé de le mettre au jour.

Gérard de Crémone.
Gérard de Crémone (mort en 1187)  rendit de grands services à la science par ses traductions latines, d'ouvrages arabes. Nous devons ici mentionner de lui la traduction d'un Traité (anonyme) d'algèbre; la traduction d'un traité d'Abou-Bekr sur la Mesure des surfaces et volumes des corps. On y rencontre de nombreuses applications des règles de l'algèbre.

Brawardine.
Thomas de Bradwwardine, archevêque de Canterbury, a fondé la véritable doctrine des polygones étoilés dans sa Geometria speculativa, écrite en 1344 et imprimée pour la première fois en 1496. L'auteur y fait connaître la théorie des polygones égrédients, et celle des figures isopérimètres. 

Autres Abacistes.
Au nombre des savants qui continuèrent à cultiver la science du calcul nous rangerons Rudolphe de Liége, Guillaume de Strasbourg, Guilbert de Chartres, Hermann Contractus, Regimbold de Cologne, Engelbert de Liège, Abbon de Fleury, Guy d'Arezzo, ou encore Albert de Saxe qui a écrit, entre autres, un traité sur les proportions (Tractatus proportionum),  imprimé à Venise en 1496.

Léonard de Pise.

Léonard de Pise, également connu sous le nom de Fibonacci (contraction de filius Bonacci), né en 1180, mort vers le milieu du XIIIe siècle, nous apprend lui-même, au commencement de son Abaque (Liber Abaci), qu'il était fils du syndic des marchands de Pise à la douane de Bougie (Béjaia), et que son père l'avait fait venir auprès de lui pour l'initier à l'art du calcul.

« Ayant été ainsi initié, nous apprend-il lui-même, par un admirable enseignement, à l'art de calculer avec les neuf signes des Indiens (ex mirabili magisterio in arte per novem figuras Indorum introductas), je pris tant de plaisir à cet art, que je voulus savoir tout ce qu'on enseignait là-dessus en Égypte, en Syrie, en Grèce, en Sicile et en Provence, avec ses diverses variétés. Je parcourus donc ces contrées pour m'y instruire, mais je considérais tout cela, et même l'algorisme de Pythagore, comme défectueux en comparaison du système indien. C'est pourquoi, étudiant de plus près ce système, y ajoutant quelque chose de mon propre fonds et y appliquant quelques artifices géométriques d'Euclide, j'ai travaillé à la composition de cet ouvrage [en 1202], que j'ai divisé en quinze chapitres. J'ai tout accompagné de raisonnements démonstratifs, afin que ceux qui aspirent à connaître cette science puissent s'instruire, et que désormais la race latine ne s'en trouve pas dépourvue comme elle l'a été jusqu'à présent. Je demande de l'indulgence pour les défauts qui pourraient s'y trouver, etc.-»
Ce passage est explicite. C'est donc à Léonard de Pise et non à Gerbert que nous devons l'introduction de l'arithmétique et de l'algèbre des Arabes dans l'Europe occidentale. Pour concilier ces deux opinions, Colebrooke suppose que les règles de Gerbert étaient tellement abstruses, qu'elles sont restées comme non avenues, et qu'il fallut que Léonard les réimportât de nouveau en 1202. Mais le traité de l'Abaque de Gerbert n'est pas d'origine arabe; il se rapporte au système de numération de Boèce. Quoi qu'il en soit, nous savons aujourd'hui qu'un géomètre du XIIIe siècle a pu dépasser de beaucoup Diophante et les mathématiciens arabes, et qu'il n'a été dépassé que par Fermat, au XIIIe siècle.

D'autres ouvrages de Léonard, tels qu'un traité de géométrie (Practica geometriae) et un livre sur les carrés (Liber Quadratorum) sont également attribuables à Léonard de Pise.

L'empereur Frédéric II encouragea beaucoup les sciences et les lettres dans ce temps des tournois. Il s'arrêta, en 1225, à Pise, pour faire poser, en sa présence, diverses questions à Léonard par deux géomètres de sa suite, Jean de Palerme et Théodore. Léonard adressa ses réponses à l'empereur. Le cardinal Raniero Capocci, de Viterbe, en demanda une copie, que Léonard lui dédia sous le titre de Flos super solutionibus quarumdam quaestionum ad numerum et ad geometriam pertinentium

« Je l'ai intitulé, dit-il, Flos, parce que plusieurs de ces questions, quoique épineuses, sont exposées d'une manière fleurie, et de même que les plantes, ayant des racines en terre, surgissent et montrent des fleurs, ainsi de ces questions on en déduit une foule d'autres. »
Jean de Palerme avait posé en première question : Trouver un nombre carré qui, augmenté ou diminué de 5, reste toujours un nombre carré. Léonard donna pour solution 41/12. En effet, (41/12)² + 5 = (49/12)², et (41/12)²-5 = (31/12)². En méditant sur cette solution, il trouva certaines propriétés générales des carrés, ce qui lui fit sans doute composer son Liber Quadratorum. Ce livre est un monument arithmologique le plus précieux que nous ait transmis le Moyen âge. Par des procédés graphiques, Léonard de Pise trouva l'expression de la somme des carrés de leur suite naturelle, et aussi de la suite des nombres impairs, et il résolut ce problème :
« Trouver trois carrés et un nombre tel, qu'en ajoutant ce nombre au plus petit de ces carrés, on trouve le carré moyen, et qu'en ajoutant ce nombre au carré moyen, on trouve le plus grand carré.  »
C'était la généralisation de la question posée par Jean de Palerme.

La seconde question posée dans ce fameux tournoi scientifique fut celle-ci : Trouver, au moyen d'une des quinze espèces de longueurs du dixième livre d'Euclide, une longueur x qui satisfasse à la condition x3 + 2.x² + 10.x = 20. Léonard démontre qu'aucune des quinze longueurs euclidiennes ne peut satisfaire à la question; puis il donne une valeur approchée de la racine positive de l'équation. On ignore par quelle méthode il obtint cette valeur, d'une exactitude surprenante.

La troisième question peut, en langage algébrique, s'énoncer ainsi : 

« Trois hommes ont en commun une somme inconnue t; la part du premier est 1/2 t; celle du second 2/3 t, et par conséquent celle du troisième 1/6 t. Voulant déposer cette somme en lieu plus sûr, ils prennent au hasard, le premier x, et n'en dépose que 1/2 x; le second y, et n'en dépose que 1/3 y; le troisième z, et n'en dépose que 1/6 z; de sorte que la somme déposée se monte à 1/2 x + 1/3y, + 1/6 z, et lorsqu'ils retirent ce dépôt, chacun en prend un tiers; il s'agit de trouver les valeurs x, y, z. »
Léonard montra que le problème était indéterminé. En prenant 7 pour ce que chacun retire du dépôt, il trouve 47 pour la somme t; de là x = 33, y = 13, z = 1. Il ajoute qu'il y a trois modes de solutions qu'il a données dans son Liber Abaci

Ces sortes de défi devinrent plus tard fort à la mode parmi les mathématiciens.

Léonard de Pise dédia à Théodore « philosophe de l'Empereur » un petit traité intitulé : de Modo solvendi quastiones avium et similium. Ce titre devait rappeler le désir exprimé par un ami qui voulait connaître le moyen de résoudre les questions sur les oiseaux et autres objets semblables. Ces questions étaient dans le genre de celles-ci :

« Quelqu'un achète des moineaux, des tourterelles et des colombes, en tout 30 oiseaux pour 30 deniers; 3 moineaux coûtent 1 denier, de même 2 tourterelles, et 1 colombe coûte 2 deniers. On demande combien il y avait d'oiseaux de chacune de ces trois espèces. » 
Ces questions étaient traitées par un procédé analogue à celui qu'on nomme la règle de fausse position, regula falsi.

Les Byzantins et les Slaves

Les mathématiques byzantines.
A Constantinople, pendant la durée du Moyen âge on s'occupa plus de controverses théologiques ou grammaticales que de spéculations scientifiques. L'époque qui s'étend depuis le VIIe siècle jusqu'au milieu du XVe est une des époques les plus stériles en découvertes scientifiques. Aussi n'avons-nous à signaler que quelques noms de peu d'importance.

Léon VI, surnommé le Sage, mort en 911, écrivit, entre autres, Sur l'art militaire, et fonda à Constantinople une école de mathématiques. Mais cet empereur, ainsi que l'empereur Constantin Porphyrogénète (mort en 959), également ami des sciences, échouèrent dans leurs tentatives pour ranimer les études de l'astronomie et des mathématiques. Les esprits étaient alors trop absorbés par les disputes religieuses et les troubles politiques.

Du Xe au XIIe siècle on ne rencontre que Psellus, le seul homme qui ait, dans cet intervalle, cultivé les sciences mathématiques. On a sous son nom ou sous celui de Pachymère un opuscule assez insignifiant, Des quatre parties des mathématiques (arithmétique, géométrie, musique et astronomie). Nicolas de Smyrne, dont il est difficile de fixer l'époque, écrivit de son côté : Sur la manière de compter avec les doigts.

Barlaam.
Barlaam, originaire de la Calabre, mourut vers le 1348. C'était un moine appartenant à l'ordre de Saint-Basile. Très intelligent, il fut envoyé comme ambassadeur près du pape, qui résidait alors a Avignon, afin d'examiner la possibilité de réunion des Eglises grecque et latine. Pendant celte mission il enseigna, dit-on, le grec au poète Pétrarque. Puis, à son retour à Constantinople, il s'acquit une juste réputation en couvrant de ridicule les prétentions saugrenues, les idées baroques et les sots préjugés des religieux quiétistes du Mont-Athos, qui avaient à leur tête Palmos. Il avait la réputation d'un habile mathématicien, en partie justifiée par un ouvrage intitulé : Logistikès cive arithmetica algebraica libri IV, publié en grec et latin, à Strasbourg (1578) et à Paris (1606, avec les scolies de Chamber). Cet ouvrage est intéressant en ce qu'il fait connaître la méthode laborieuse qu'employaient encore les Grecs pour faire leurs calculs de fractions et de divisions sexagésimales. On lui doit aussi un Traité sur la manière de calculer les éclipses de Soleil.

Argyrus.
Le moine Argyrus composa de nombreux ouvrages. Citons, parmi ceux qui concernent les mathématiques et que l'on trouve en manucrits dans diverses bibliothèques d'Europe : un petit Traité sur le Canon pascal, écrit en 1373; Apparatus astrolobii; De reducendis triangulis non rectis ad rectos; De reducendo calculo astronomicorum Canonum Ptolemaei ab annis aegyptiacis et ab Alexandrino meridiano, ad annos romanos et ad meridianum Constantinopoleos; Methodus geodesiae; Methodus solarium et lunarium cyclorum; Geometrica aliquot problemata.

Maxime Planude.
Le moine grec Maxime Planude, envoyé en 1327 comme ambassadeur à Venise par Andronic II, commenta les deux premiers livres de Diophante. On lui doit aussi un opuscule sur l'Arithmétique selon les Indiens et un petit traité Sur les proportions.

Georges Pachymère.
Le chroniqueur Georges Pachymère a laissé un traité Sur les lignes insécables (Peri atomôn grammôn)  un traité de mécanique De quatuor machinis, et un autre Sur l'arithmétique.

Moschopoulos.
Emmanuel Moschopulos, grammairien, clôt cette aride liste des écrivains du Bas-Empire, qui ne s'étaient livrés qu'occasionnellement aux études astronomiques et mathématiques.  Il est l'auteur d'un ouvrage sur les carrés magiques, est le seul mathématicien quelque peu original de cette période. Les carrés magiques étaient un amusement digne de figurer sur la même ligne que les futiles controverses des théologiens byzantins. Moschopoulos indiqua les propriétés générales des carrés magiques et les règles de leur formation. Il s'agissait d'inscrire des nombres dans de petits compartiments carrés, dont l'ensemble formait un grand carré; ces nombres devaient être choisis et arrangés de telle façon, qu'en les additionnant horizon - talement, verticalement ou diagonalement, ils donnassent toujours la même somme. Ces carrés magiques, où le nombre des sept planètes jouait un grand rôle, servaient d'amulettes ou de talismans. 

Les mathématiques dans le monde slave.
En Russie, les études mathématiques commencèrent à se développer à partir du XIIe siècl, mais elles se bornaient à l'arithmétique et à l'arpentage. Le moine Kiroque, de Nijni-Novgorod, nous a laissé un Traité des calculs chronologiques et du comput (1134), où il cite d'autres amateurs de la théorie des nombres.

La particularité la plus curieuse, constatée dans ces auteurs slaves du Moyen âge, est le penchant qui les pousse vers les spéculations arithmético-algébriques,  trait de ressemblance avec les mathématiciens indiens, et cependant ceux-ci n'eurent aucune relation directe avec l'empire des tsars. Leurs premiers maîtres furent même les Grecs.

Le système de numération utilisé était assez rudimentaire. Au XIe siècle la numération allait jusqu'à 10 000, puis au siècle suivant on la prolongea jusqu'à 100 000; enfin du XIIIe au XVIe siècle elle se développa de 10 000 000 jusqu'aux unités du 50e ordre. Le domaine embrassé par leur calcul s'élargissait donc lentement. Puis ils arrivèrent à exprimer d'une manière méthodique les multiples des différentes unités par des lettres.

Dans le livre de Kirique on trouve en particulier sous la dénomination « d'heures fractionnaires » les subdivisions de l'heure écrites d'après le système quinaire.
Durant les cinq cents années qui suivirent, les premières écoles fondées par le clergé gréco-bulgare furent peu florissantes au point de vue des études scientifiques. On n'y apprenait même pas à calculer. Les Russes qui désiraient acquérir des connaissances mathématiques étaient obligés de le faire dans des institutions privées. Ces établissements, dirigés par des laïques, vivaient ignorés de l'État comme des popes, et d'après les rares documents qui nous restent sur leur fonctionnement, on voit qu'on y enseignait à peu près ce qu'on nommait dans le monde latin du Moyen âge les « sept arts libéraux », c'est-à-dire la grammaire, la dialectique, la rhétorique, la musique, l'arithmétique, la géométrie et la cosmographie.

Pour ce qui nous intéresse ici, le programme des études comportait peu de chose : les opérations sur les nombres, le calcul des fractions, certaines notions de métrologie, arpentage. Quant à l'astronomie et au comprut, ils formaient l'objet d'études complémentaires. Mais en 1492, à la fin de la période pour laquelle les calculs relatifs au calendrier avaient été effectués, on sentit la nécessité de les prolonger plus loin, et plusieurs savants  s'en tirèrent à leur honneur.

Le métropolite Zossima se chargea des vingt premières années, et Philopé, évêque de Perm, vérifia son travail, puis l'archevêque de Nijni-Novgorod, Hennady, le continua pour soixante-dix ans.

Mais, somme toute, la science slave jusqu'à Pierre le Grand (XVIIIe s.) ne compte guère. Au Moyen âge d'ailleurs celle de l'Europe ne la dépassait pas de beaucoup. 

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