Les mathématiques pendant le haut Moyen-âge

Boèce. 
Boèce (ca. 475-526) consacrait tous ses moments à l'étude de la philosophie et des mathématiques, et passait pour habile à fabriquer des clepsydres et des gnomons. Ses connaissances, de beaucoup supérieures à celles de ses contemporains, le rendirent bientôt suspect auprès de son souverain. Ce fut dans la prison, où il mourut étranglé, qu'il écrivit son beau livre de Consolatione philosophiae, dialogue animé entre l'auteur et la philosophie, qui lui apparaît sous les traits d'une femme. 

Boèce révéla à ses contemporains les oeuvres d'Aristote. C'est lui encore qui fit connaître à ses contemporains  les principaux astronomes et mathématiciens de l'Antiquité. Sa Géométrie consiste dans les énoncés seuls du premier livre d'Euclide et dans quelques propositions choisies des Ill^e et IV^e livres, mais avec de nombreuses applications numériques portant sur la détermination des aires, etc. Il a ajouté un appendice, avec preuves des trois premières propositions, pour montrer que l'on peut se fier aux énoncés. Son Arithmétique (de Institutione arithmetica libri Il) peut être considérée comme une traduction libre de Nicomaque.

Boèce est important parce que pendant des siècles, on continua d'enseigner la philosophie péripatéticienne d'après les commentaires de Boèce sur les Catégories, les Analytiques, les Topiques, etc., d'Aristote. De plus, l'enseignement des mathématiques, dans les premiers temps du Moyen-âge, était principalement basé  sur les écrits de Boèce.

Cassiodore.
Quelques années plus tard, un autre Romain, Magnus Aurelius Cassiodore (ca. 490-566), publia deux ouvrages, De Institutione Divinarum Litterarum et De Artibus ac Disciplinis, dans lesquels il traitait non seulement le trivium préliminaire : grammaire, logique et rhétorique; mais aussi le quadrivium mathématique : arithmétique, géométrie, musique et astronomie. Pendant le Moyen-âge, on les considérait comme des ouvrages modèles.

Isidore de Séville.
Isidore de Séville (570-636), évêque wisigoth de Séville, qui vécut, lui, un siècle après Boèce, a laissé, sous le titre Origines ou Etymologies, une sorte d'encyclopédie en vingt livres, résumant les connaissances de son temps. Les treize premiers chapitres du III^e livre sont consacrés à l'arithmétique et à la géométrie. L'auteur fait venir le nom de numerus, nombre, de nummus, pièce de monnaie; decem, dix, du grec desmos, lien, parce qu'il lie entre eux les nombres qui lui sont inférieurs; mille, de multitudo. Il signale ensuite les nombres sacrés de la Bible, traite succinctement des pairs et des impairs, des nombres linéaires, polygones et polyèdres, etc. Puis il consacre trois courts chapitres à quelques définitions de la géométrie, qu'il distingue de l'arithmétique, «-parce que la géométrie a pour caractère la multiplication, tandis que l'arithmétique est fondée sur l'addition. » 

Bède le vénérable.
Bède le Vénérable (672 - 735) a composé un petit traité d'arithmétique (de Numeris), et un autre, de Numerorum divisione, où l'on voit combien cette opération embarrassait alors les calculateurs. Enfin il a écrit divers traités géométriques et astronomiques (de Circulis, Sphaera et Polo; de Astrolabio; de Mensura horologii, etc.).

Les mathématiques dans les écoles cathédrales et les couvents.
Charlemagne, en créant son Empire dans la dernière moitié du VIIIe siècle s'était proposé de développer l'enseignement autant qu'il était en son pouvoir. Il commença par décréter la création d'écoles à côté de chaque cathédrale ou de chaque monastère de son royaume, mesure qui fut approuvée et matériellement facilitée par les papes. Il est intéressant pour nous de constater que cette décision fut prise à l'instigation et sous la direction principalement d'Alcuin, qui était attaché à la cour de Charlemagne. 

Les mathématiques, alors enseignées dans les écoles, se réduisaient, semble-t-il, à la géométrie de Boèce, à l'emploi de l'abaque et de la table de multiplication, peut-être aussi à l'arithmétique de Boèce; et que, sauf dans une de ces écoles cathédrales ou encore dans les cloîtres des Bénédictins, il était à peu près impossible d'avoir le moyen de s'instruire davantage.

Après la mort de Charlemagne plusieurs de ces Ecoles se bornèrent à enseigner le latin, la musique et la théologie, connaissances indispensables au haut clergé. Quant aux autres sciences et aux mathématiques, il n'en fut pour ainsi dire plus question ; cependant la permanence de ces écoles fut favorable aux maîtres, dont l'instruction où le zèle dépassait les étroites limites fixées par la tradition.

Quelques écoles, dont les maîtres étaient réputés, prirent de l'extension et eurent des cours organisés d'une façon permanente; mais même dans ces centres, l'enseignement fut généralement limité au trivium et au quadrivium. Le trivium devait comprendre la grammaire, la logique et la rhétorique, pratiquement il se bornait à enseigner à lire et à écrire le latin. Le quadrivium devait comprendre l'arithmétique et la géométrie avec leur application à la musique et à l'arpentage. En fait, l'arithmétique était bornée à des notions permettant de tenir les livres, la musique se bornait aux notions utiles pour le service de l'église, la géométrie se réduisait à des notions d'arpentage, l'astronomie aux notions suffisantes pour fixer les fêtes et les jeûnes de l'église. Un étudiant qui allait au-delà du trivium était considéré comme un homme d'une grande érudition. 

Nous pouvons résumer cette partie de notre sujet en disant que, durant le IX^e et le X^e siècles, les mathématiques enseignées étaient limitées aux matières contenues dans les deux ouvrages de Boëce, avec la pratique de l'abaque et de la table de multiplication, mais que, durant la dernière partie de cette période, un plus vaste champ d'étude s'ouvrait à ceux qui désiraient s'instruire.

Alcuin.
Alcuin (735-804), naquit à York, l'année même où mourut Bède. Précepteur de Charlemagne, il convertit en une école célèbre l'abbaye de Saint-Martin-de-Tours, où il s'éteignit en 804.

Beaucoup des écrits existants d'Alcuin ont trait à la théologie et à l'histoire, certains aux mathématiques. Parmi ceux-là, nous signalerons, d'après Cantor, des problèmes et exercices arithmétiques (Propositiones arithmeticae ad acuendos juvenes), qui rappellent ceux de Diophante, mais il n'alla pas plus loin. Il s'agit d'une collection de propositions arithmétiques arrangées pour l'instruction de la jeunesse. Ces propositions sont en grande partie des problèmes faciles, déterminés ou indéterminés, et nous présumons qu'ils ont été composés d'après des ouvrages qu'il a pu connaître pendant son séjour à Rome. 

Dans ces « Exercices arithmétiques de la jeunesse », on trouve plusieurs manières de deviner un nombre pensé, au moyen de quelques questions et opérations arithmétiques préalables; tel est, entre autres, le problème des 21 tonneaux, dont 7 pleins, 7 à demi pleins et 7 vides, à partager entre trois cohéritiers, de manière que chacun ait autant de vin que de futailles. Parmi les problèmes indéterminés, tout à fait dans le genre de ceux de Diophante, nous citerons le suivant (problème XXXIV) : 

« Si l'on distribue 100 boisseaux de blé à 100 personnes, de manière qu'un homme en reçoive 3, une femme 2 et un enfant un demi-boisseau, combien y avait-il d'hommes, de femmes et d'enfants 2 » 

La solution générale est : (20-3x) hommes, 5x femmes, 80-2x enfants; d'où l'on tire 7 solutions particulières possibles, en donnant à x successivement la valeur de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dans le premier cas (en faisant x =0), il y avait 20 hommes, 80 enfants, et pas de femmes; dans le second cas (x = 1), il y avait 17 hommes, 5 femmes et 78 enfants, et ainsi de suite.  Alcuin ne donne que la solution qui correspond à x = 3, c'est-à-dire que sa réponse est 11 hommes, 15 femmes et 74 enfants.

1+5 = 2+4 = 3+3.

Comme Boèce, Odon appelle nombres digitaux les unités simples, et nombres articulaires les dizaines. Comme Boèce, il donne au quotient le nom de denominatio, nom qui, dans les écrits latins d'origine arabe, est réservé à celui du dénominateur des fractions. L'as, nom donné par les anciens à toute unité entière, y est divisé en 12 onces, et l'once en 24 scrupules. Pour les subdivisions de l'once jusqu'au scrupule, inclusivement, Odon ne suit ni le système romain de Volusius Maecianus, ni le système pythagorique de l'écrivain latin Archytas et de Boèce; il a suivi le système gréco-romain de l'Empire d'Orient, tel qu'on le voit dans Priscien. En recherchant l'origine de l'art de l'Abacus, on arrive à se convaincre que cet art, avec les neuf chiffres, nous est venu des Grecs par l'intermédiaire de Boèce.

Gerbert.
Une figure plus intéressante de cette période fut le moine Gerbert (940-1003), appelé à devenir pape sous le nom de Sylvestre II (999). Avant d'être d'occuper cette fonction, il éleva l'école de Reims, fondée par l'archevêque Adalbéron et déjà la plus réputée de l'Europe, à son apogée en faisant venir de tous côtés des livres de mathématiques et des instruments d'astronomie. Ses cours de mathématiques et d'astronomie attirèrent de nombreux disciples. Gerbert trouva le temps de composer de multiples ouvrages scientifiques. Il s'y montre plutôt disciple de Boèce. 

Ses Lettres, d'une latinité quelque peu barbare, sont d'un grand intérêt pour l'histoire de la fin du X^e siècle. Éditées à plusieurs reprises, elles ont été plus correctement et plus complétement réimprimées par Olleris, dans les OEuvres complètes de Gerbert (Clermont et Paris, 1867). Dans ce même recueil se trouvent : 

•  Libellus de ratione et rationali, etc. Gerbert s'y montré philosophe platonicien, se déclarant pour la réalité des idées ou types éternels, appelés plus tard universaux. Il cite Porphyre et Boèce comme ses initiateurs à la philosophie d'Aristote.

•  Regula de abaco computi. Ce traité, imprimé pour la première fois dans le volume cité, est un exposé du système de numération décimale (sans le zéro). C'est, suivant . Olleris, le livre dont parle Gerbert dans sa lettre à son ami Constantin de Fleury, et qui paraît lui avoir servi de manuel pendant qu'il enseignait les mathématiques à Reims (de 972 à 982). Michel Chasles en avait pressenti l'existence quand il disait, dans sa Notice sur Gerbert, 

« qu'il serait naturel de penser, qu'outre le traité adressé à Constantin, Gerbert avait dû composer quelque autre ouvrage sur l'Abacus, dans le temps où il tenait l'école de Reims. » 

• Libellus de numerorum divisions. Ce petit traité, imprimé d'abord parmi les Oeuvres de Bède, a été restitué à Gerbert, son véritable auteur, par Chasles, qui en a donné, en même temps, une traduction et un commentaire, qui méritent d'être proposés comme des modèles. Il a été dédié à Constantin (de Fleury), et écrit probablement en 997. Il est identique, comme l'a montré Hauréau, avec le petit traité qui, dans un manuscrit (n° 6620, ancien fonds) de la Bibliothèque nationale, porte le titre de Rationes numerorum abaci. (Quant au Liber subtilissimus de arithmetica, opuscule trouvé par Pez dans la bibliothèque de l'abbaye de Saint-Emmeran à Ratisbonne, il n'a, contrairement à ce que l'on croyait, aucun rapport avec le Libellus de numerorum divisione; il est de Gerland, moine de Besançon, vivant au XII^e siècle).

• Geometria. Ce traité, publié par Pez dans le tome III des Anecdota, et plus correctement imprimé par Olleris, d'après deux manuscrits de la Bibliothèque nationale, aurait été, suivant Hock, écrit en Allemagne vers l'an 996. Olleris admet, comme plus vraisemblable, que Gerbert l'a rédigé ou dicté pendant son enseignement à l'école de Reims. Il élève en même temps quelque doute sur le véritable auteur de la Géométrie, qui, dans un manuscrit, ne porte le nom de Gerbert qu'en marge, d'une écriture plus récente. Au reste, parmi les recueils, la plupart anonymes, d'arithmétique et de géométrie, si nombreux au Moyen âge, il est souvent bien difficile de démêler les véritables noms d'auteurs.

La Géométrie, qui porte le nom de Gerbert, commence par la définition d'un corps solide (corpus solidum); de là il passe à celle de la ligne, du point et de la surface. Au chapitre II, l'auteur explique les mesures dont on faisait alors usage; tels sont digitus, uncia (trois doigts), palmus (quatre doigts ou quatrième partie du pied), sexta ou dodrans (douze doigts), pes (seize doigts), passus (un pas), pertica (d'où le nom de perche, comprenant deux pas ou dix pieds, decempeda), stadium (cent vingt-cinq pas ou six cent vingt-cinq pieds); leuca (d'où le nom de lieue) composée de douze stades), etc. 

Les expressions employées dans les chapitres suivants sont en partie grecques et en partie latines. 

Le triangle rectangle occupe le premier rang (principalitatem) parmi les figures géométriques, « parce qu'il est, dit l'auteur, le principe ou l'élément auquel peuvent être ramenées toutes ces figures. »  Il applique dans son étude du triangle les méthodes grecques qui fournissent des nombres rationnels pour les côtés; mais il utilise concurremment d'autres règles conduisant à des nombres fractionnaires. Parmi les questions intéressantes qu'il y traite se trouve la suivante : la surface et l'hypoténuse étant donnés, trouver les deux côtés. Ce problème est assez remarquable pour l'époque, puisqu'il répond à une équation du second degré.

Dans un quadrilatère, la ligne droite inférieure porte spécialement le nom de base, basis, tandis que la ligne ou base supérieure s'appelle coraustus, nom de basse latinité.

Les chapitres XI, XII et XIII sont consacrés aux triangles octogones ou rectangulaires, appelés pythagoriques. Pour construire ces triangles en nombres rationnels, un côté étant donné, l'auteur se sert des règles connues (attribuées à Pythagore et à Platon), qui donnent des nombres entiers pour les côtés du triangle rectangle; il se sert encore d'autres règles qui donnent des nombres fractionnaires. 

La fin de son livre est moins heureuse, car, dans ses formules relatives aux aires des polygones réguliers, il répète les erreurs des agrimenseurs romains.

Chasles fait remarquer ici que Gerbert résolut un problème, remarquable pour l'époque, parce qu'il dépendait d'une équation du second degré; ce problème était celui où, étant données l'aire et l'hypoténuse, on demande les deux côtés. Soit A l'aire, et C l'hypoténuse, la solution de Gerbert, traduite en formule, donne pour les deux côtés la double expression :

« Gerbert donne, dit-il, pour la surface des polygones réguliers les formules fausses des arpenteurs romains, et résout aussi comme eux le problème inverse, étant donnée l'aire d'un polygone régulier, trouver son côté. Pout le cercle, il donne le rapport 22/7. On trouve, sous les titres In campo quadrangulo agripennos cognoscere (chap. LXIX) et In campo triangulo agripennos invenire (LXX), les formules fausses que nous avons déjà signalées dans les Oeuvres de Bède, pour la mesure de l'aire du quadrilatère et du triangle; et Gerbert, dans ces exemples, se sert des mêmes nombres que Bède. On trouve, dans le chapitre LXXXV, la formule qui donne là somme des termes d'une progression arithmétique. La formule, pour l'aire du triangle en fonction des trois côtés n'y est pas, et on en trouve une autre pour le triangle rectangle qui n'est pas exacte. » (Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie).

Une chose digne de remarque, c'est que dans ce traité de géométrie, comme dans tous les autres écrits de Gerbert, on ne rencontre pas un seul mot qui soit d'origine arabe, tandis que les mots tirés du grec y abondent. Outre Boèce, on y voit cités, Pythagore, Platon, Ératosthène, Chalcidius (commentaire sur le Timée), etc.

Les continuateurs de Gerbert.
On considère comme les élèves de Gerbert  quelques mathématiciens du même siècle, entre autres Adalbolde, Bernelin (Bernelinus) et Heriger. Mais leurs ouvrages, reflets des doctrines du maître, ne méritent guère d'être tirés de la poussière des bibliothèques.

Francon.
Vers la même époque, il faut placer Francon, écolatre de Liège, qui composa un opuscule De Quadratura circuli (1050) où il expose une solution nécessairement fausse de ce problème dont la difficulté ne l'effraye pas. On y rencontre toutefois certaines considérations assez nettes. Il montre, par exemple, que l'expression en termes rationnels, même à l'aide d'une série de substitutions, de la racine d'un nombre entier non carré parfait, comme 154, est impossible.

Gerland.
Gerland, disciple des bénédictins de Besançon, écrivit, à la fin du XI^e siècle, un livre d'arithmétique, où il emploie, pour désigner les unités, les neuf noms cabalistiques : igin, andras, ormis, arbas, quimas, caltis, zenis, temenias, celentis, en tête des colonnes de l'Abacus, ainsi que dans le texte qui indique les opérations à exécuter.

Raoul de Laon.
Raoul de Laon employa, vers 1100, les mêmes mots que Gerland pour désigner les nombres dans un traité sur l'Abacus. Il y ajouta encore le mot sipos, nom d'un signe qui ressemble, dit-il, à une petite roue. Ce signe, écrit successivement au-dessus de chacun des chiffres du multiplicateur, lui sert à marquer à quel point de la multiplication on est arrivé. Il n'a pas encore pour lui la valeur du zéro. Raoul ne donne à l'Abacus que 27 colonnes, parce que ce nombre est le cube de 3. Il ne se rend pas compte de ce que le nombre, variable, des colonnes verticales de l'Abacus, réunies trois à trois, doit correspondre aux tranches de la numération parlée des Romains. Il ne comprend pas non plus, comme Chasles l'a montré, l'usage des trois lignes horizontales qui, sur l'Abacus des manuscrits de Boèce, présentent chacune douze nombres.

Les mathématiques à partir du XII^e siècle

En mathématiques, on continuera sans doute à s'inscrire dans l'héritage de Boèce, désormais nourri des connaissances arabes, avec ces mathématiciens que l'on classera parmi les Abacistes. Mais il sera aussi possible désormais possible de dépasser cet héritage complètement, en se plaçant, plutôt, dans la seule lignée d'Al-Khârizmi, avec ceux que l'on classera parmi les Algorithmistes. Ces deux traditions finiront d'ailleurs par se confondre. Ainsi apparaîtrons ceux que l'on a appelés les Algébristes, tels les deux plus grands noms de cette période, Léonard de Pise (Fibonacci) et Jordanus Némorarius.

Création des premières universités.
A la fin du XI^e siècle ou au commencement du XII^e, un retour vers l'enseignement se fit sentir dans plusieurs des Ecoles annexées aux cathédrales ou aux monastères; dans plusieurs endroits, des maîtres étrangers à ces Ecoles, s'établirent dans leur voisinage et, avec l'assentiment des autorités ecclésiastiques firent des cours qui portaient toujours, en fait, sur la théologie, la logique ou les lois civiles. Le nombre des étudiants dans ces centres augmentant, il leur parut possible et désirable de s'entendre chaque fois que leurs intérêts communs étaient en jeu. L'association ainsi formée était une sorte de corporation ou d'union d'intérêts, ou, pour employer le langage du temps une universitas magistrorum et scholarium. Ce fut la première étape vers le développement des plus anciennes universités du Moyen-âge. Celles d'Oxford, Cambridge, Bologne, Paris, Salerne, etc., se mettent en place à la charnière des XII^e et XIII^e siècle. Suivront de celles de Naples, d'Orléans, de Padoue et de Prague, etc., puis, au XIV^e siècle, celles de Pavie ou de  Vienne. Le programme de l'enseignement des mathématiques était complètement fixé par les Universités, et la plupart des mathématiciens qui se firent ultérieurement connaître eurent des attaches étroites avec une ou plusieurs d'entre elles.

Introduction en Europe des ouvrages arabes.
C'est par l'Espagne que les écrits des Arabes pénétrèrent pour la première fois dans l'Europe occidentale. Les Maures s'étaient établis en Espagne en 747 et aux X^e et XI^e siècles leur civilisation était très avancée. Bien que leurs relations politiques avec les califes de Bagdad fussent peu amicales, ils accueillirent avec empressement les travaux des grands mathématiciens Arabes. De cette façon, les traductions des écrits d'Euclide, d'Archimède, d'Appollonius, de Ptolémée et d'autres auteurs grecs peut-être, furent lues et commentées dans les trois grandes écoles mauresques de Grenade, Cordoue et Séville, en même temps que les oeuvres des algébristes arabes. Il semble que la science des Maures fut limitée à ce qu'ils trouvèrent dans ces ouvrages, mais comme ils dissimulaient avec un soin jaloux, toutes leurs connaissances aux chrétiens, il est impossible de préciser ce point et aussi de dire avec exactitude à quel moment les ouvrages Arabes furent introduits en Espagne. Dans le courant du XII^e siècle des copies des ouvrages dont on faisait usage en Espagne pénétrèrent dans la partie occidentale de la chrétienté.

Algorithmistes et abacistes.
Le mot algorithme, vient du nom Al-Khwârizmi, et algorithmus désigne, dans le latin du Moyen âge, l'arithmétique de position, parce que c'est ce mathématicien arabe qui passe pour avoir, le premier, eu l'idée, à la fois si simple et si lumineuse, - une véritable révolution scientifique, - d'assigner à chacun des signes numéraux, depuis zéro jusqu'à neuf inclusivement, une valeur déterminée suivant la progression géométrique citée, c'est-à-dire de faire occuper, de droite à gauche, le premier rang par les unités depuis 1 jusqu'à 9 inclusivement, le deuxième rang par les dizaines jusqu'à 99, le troisième rang par les centaines jusqu'à 999, le quatrième rang parles mille jusqu'à 9999, etc., et de placer, dans l'addition et la soustraction, les nombres les uns au-dessous des autres, suivant l'ordre décimal.

Al-Khwârizmi faisait incontestablement usage du zéro, et il désignait par le nom de différence ce qu'on appelle aujourd'hui position ou ordre décimal; car il dit que « les neuf signes peuvent se trouver dans différentes places, et que si une différence reste vide, on y met un petit cercle, pour montrer qu'aucun nombre ne s'y trouve. » On ne saurait mieux désigner le zéro.

La forme des chiffres actuels, dits arabes, n'est ici qu'une question accessoire. Il est certain que cette forme se rapproche de celle des caractères arabes équivalents. Mais elle ne s'éloigne pas non plus des caractères ou apices de Boèce ; et, ne l'oublions pas, à l'époque de Boèce, d'un siècle et demi antérieure à l'Hégire, les Arabes n'avaient encore aucune influence sur l'Europe. Voilà un premier point embarrassant. Mais il y en a un autre, qui ne l'est pas moins. Dans la position des nombres, ceux-ci augmentent de valeur, en allant depuis l'unité, de droite à gauche. C'est ainsi qu'en arabe les lettres se lisent de droite à gauche. A cela il n'y a rien d'étonnant, puisque c'est à un Arabe qu'on attribue l'invention du procédé qui consiste à placer les nombres les plus forts à gauche et les plus faibles (les unités) à droite. Mais on a attribué la même invention à des rabbins cabbalistes d'Espagne, au moins aussi anciens que les Arabes. Et l'on sait que l'hébreu se lit et s'écrit, ainsi que l'arabe, comme du reste toute langue sémitique, de droite à gauche, exactement au rebours de nos idiomes indo-européens.

Quoi qu'il en soit, les partisans de l'algorithme, les Algorithmistes, ne commençaient guère à se répandre qu'à partir du XII^e siècle. Parmi les plus zélés propagateurs de cette importante doctrine nous citerons : Jean de Séville, Adélhard ou Athelard de Bath, Jean de Salisbury, Jean de Holywood (Sacrobosco), Campanus de Novare (mort en 1300, chanoine de l'église de Paris), traducteur et commentateur d'Euclide; Robert, évêque de Lincoln, surnommé Grosshead (Grosseteste), Théodoric Tzwivel, dont l'Arithmétique fut imprimée en 1507.

Les Abacistes.
Les Abacistes, beaucoup plus anciens que les Algorithmistes, s'occupèrent particulièrement de l'arithmétique pratique, des règles d'opération et des méthodes de calcul. 

Les Abacistes se servaient de l'ancienne arithmétique de Boèce. Celle-ci comprenait deux parties l'arithmétique théorique ou étude des propriétés des nombres et des démonstrations, toutes rudimentaires d'ailleurs, des méthodes, et l'arithmétique pratique qui avait pour but d'initier à l'art du calcul au moyen de l'abaque. La première continua à être enseignée par les mathématiciens de profession jusque vers le milieu du XV^e siècle, tandis que la seconde se conserva beaucoup plus longtemps : certains commerçants français, anglais ou allemands, en faisaient encore usage au commencement du XVII^e.

C'est au abacistes sans doute que revient l'honneur d'avoir inventé, bien tardivement, les signes de l'addition, de la soustraction, de la multiplication, de l'extraction des racines, de l'égalité, etc.

Les signes + et - ne devinrent d'un usage fréquent que vers la fin du Moyen age, par suite de la pratique arithmétique des marchands. Les abacistes du XVI^e siècle, les arithméticiens, Scheubel, Stifel, Peletier, Borrel, se servaient des signes +, - et  (racine carrée) . (L'origine des symboles utilisés en algèbre)

Les mathématiques au XII^e siècle
Adélard de Bath.
Adélard ou Adelhard de Bath, ancien bénédictin de Bath, voyagea, dit-on, en Espagne et peut-être en Orient, pour y acquérir des connaissances mathématiques. Sous le déguisement d'un étudiant musulman, il aurait suivi quelques cours à Cordoue, vers 1120, et où ilse serait procuré une copie des Eléments d'Euclide. Quoi qu'il en soit, iIl traduisit bien Euclide, de l'arabe en latin. Cette traduction fut la base de toutes les éditions connues en Europe jusqu'en 1533, époque où on découvrit le texte grec. Les énoncés d'Euclide semblent avoir été connus avant l'époque d'Adélhard, et peut-être déjà vers l'an 1000, bien que les copies en fussent rares. On peut juger de la rapidité avec laquelle la connaissance de cet ouvrage se répandit en se rappelant que Roger Bacon le connaissait avant la fin du XIII^e siècle et qu'avant l'expiration du XIV^e, les cinq premiers livres étaient régulièrement enseignés dans quelques universités, si non dans toutes. Le traité qu'on lui attribue et qui a pour titre : Algoritmi de numero Indorum n'est qu'une traduction de l'arithmétique de l'Al-Khwârizmi. Adelhard de Bath a écrit aussi un traité de Abaco, devenu un classique, et qui se trouve dans les manuscrits de la Bibliothèque nationale. Il y dit que le mot abacus est moderne et signifie décuple, et que le nom ancien de l'Abacus était Table de Pythagore.

Jean de Séville.
Jean de Séville ou de Luna, plus connu sous le nom latinisé de Joannes Hispalensis, est un rabbin du XII^e siècle, qui prit ce nom (il s'appelait auparavant Aben-Dreath) après s'être converti au christianisme. Sur les instances de Raimond, archevêque de Tolède, et de concert avec l'archidiacre Gondisalvi, il traduisit des livres arabes en castillan, puis du castillan en latin. Plusieurs de ces livres, comme divers traités d'Aristote, avaient été originairement traduits du grec en arabe, ce qui faisait trois versions, pour ainsi dire superposées; l'exactitude devait évidemment en souffrir. Nous n'avons à signaler de Jean de Séville que son Liber algorismi . Ce livre reproduit en grande partie ce qui est contenu dans l'ouvrage d'Al-Khwârizmi. On y trouve un procédé d'extraction des racines carrées à l'aide des fractions décimales, procédé qui fut plus tard présenté par Cardan et considéré comme nouveau. Mais ce procédé remonte lui-même à Théon le jeune, du IV^e siècle. Ce commentateur de Ptolémée exécutait avec les fractions sexagésimales ce que Jean de Séville faisait avec les fractions décimales. Ce mode d'extraction repose donc encore, comme l'a observé judicieusement Cantor (Mathematische Beiträge), sur une idée grecque. 

Ben Ezra.
Dans ce même siècle parurent d'autres traductions des livres classiques arabes, ou des commentaires sur ces ouvrages. Parmi ceux qui contribuèrent le plus à initier l'Europe au savoir des Maures nous pouvons mentionner Abraham Ben Ezra (Aben Ezra) (1119 - 1174), érudit juif né à Tudéla (en Espagne), grammairien de la langue hébraïque, mathématicien et astronome. On lui connaît  un Traité du calendrier et un traité d'arithmétique dans lequel il expose le système de numération des arabes avec neuf symboles et un zéro, donne les opérations fondamentales, et explique le règle de trois. 

Gérard de Crémone.
Gérard de Crémone (1114-1187) se signale dans l'histoire des sciences par ses traductions latines d'ouvrages arabes. Il  fit une traduction de l'édition arabe de l'Almageste, des ouvrages d'Alhazen et aussi de ceux d'Alfarabius, dont le nom nous aurait été sans cela complètement inconnu : on pense que les symboles numériques des arabes étaient employés dans cette traduction des oeuvres de Ptolémée, qui fut faite en 1136. On lui doit une  traduction d'un traité d'Abou-Bekr sur la Mesure des surfaces et volumes des corps. On y rencontre de nombreuses applications des règles de l'algèbre. Il  écrivit aussi un court traité d'algorithme dont le manuscrit existe à la bibliothèque Bodléienne à Oxford. Il connaissait une des éditions arabes des Eléments d'Euclide et en donna une traduction latine.

Le XIII^e siècle. 
Durant le XIII^e siècle, il y eut en Europe une sorte de renaissance de l'enseignement, mais son action ne se fit sentir, croyons-nous, que sur une certaine classe. Les premières années de ce siècle sont mémorables à cause du développement que prirent plusieurs universités et de l'apparition de deux mathématiciens remarquables : Leonard de Pise et Jordanus Nemorarius. Pendant une période d'environ 200 ans, il n'y eut en Europe aucun mathématicien comparable à eux. Nous pouvons donc dire qu'à partir de cette époque le développement de la science en Europe se fit indépendamment des Ecoles arabes.

Léonard de Pise (Fibonacci).
Léonard de Pise, également connu sous le nom de Fibonacci (contraction de filius Bonacci), né en 1180, mort vers le milieu du XIII^e siècle, était fils du syndic des marchands de Pise à la douane de Bougie (Béjaia), et son père l'avait fait venir auprès de lui pour l'initier à l'art du calcul.  Il put ainsi se familiariser avec le système de numération des Arabes et prendre connaissance de l'algèbre d'Al-Khwârizmi. Il retourna en Italie, vers 1200, et en 1202, publia un livre intitulé Algebra et almuchabala (titre imité de celui de l'ouvrage de Khwârirzmi) mais généralement connu sous le titre de Liber Abaci (= Traité de l'Abaque).

« Ayant été ainsi initié, nous y apprend-il lui-même, par un admirable enseignement, à l'art de calculer avec les neuf signes des Indiens (ex mirabili magisterio in arte per novem figuras Indorum introductas), je pris tant de plaisir à cet art, que je voulus savoir tout ce qu'on enseignait là-dessus en Égypte, en Syrie, en Grèce, en Sicile et en Provence, avec ses diverses variétés. Je parcourus donc ces contrées pour m'y instruire, mais je considérais tout cela, et même l'algorisme de Pythagore, comme défectueux en comparaison du système indien. C'est pourquoi, étudiant de plus près ce système, y ajoutant quelque chose de mon propre fonds et y appliquant quelques artifices géométriques d'Euclide, j'ai travaillé à la composition de cet ouvrage [en 1202], que j'ai divisé en quinze chapitres. J'ai tout accompagné de raisonnements démonstratifs, afin que ceux qui aspirent à connaître cette science puissent s'instruire, et que désormais la race latine ne s'en trouve pas dépourvue comme elle l'a été jusqu'à présent. Je demande de l'indulgence pour les défauts qui pourraient s'y trouver, etc.-»

Il convient aussi de souligner le rôle de Fibonacci dans l'introduction de l'usage des symboles numériques arabes. Il est probable que les voyageurs et les marchands en Orient ne les ignoraient pas complètement, car le règlement des affaires entre les chrétiens et les musulmans se faisait assez directement pour que chacun put apprendre quelque chose du langage ou des pratiques ordinaires de l'autre. Nous pouvons difficilement supposer que les marchands italiens ne savaient pas comment quelques-uns de leurs meilleurs clients tenaient leurs comptes. Cependant, personne avant Léonard de Pise n'avait encore compris dans l'Europe latine tout l'intérêt du système arabe, et c'est bien lui qui le fit voir et initia sa propagation. 

L'usage du système de numération arabe devint très rapidement général. Au milieu du treizième siècle il était employé par un grand nombre de marchands Italiens concuremment avec l'ancien. La plupart des mathématiciens, eux aussi, devaient déjà le connaître par les ouvrages de Ben Ezra, Gérard de Crémone et Jean de Séville. Mais il en mesurèrent désormais tout l'intéret. Peu de temps après l'apparition du livre de Léonard de Pise, Alphonse de Castille (en 1252) fit paraître quelques tables astronomiques basées sur des observations faites en Arabie, calculées par les Arabes, et pour lesquelles, comme on le croit généralement, ils avaient employé leur système de notation. Les tables d'Alphonse circulèrent beaucoup parmi tous ceux qui s'intéressaient à la science, et probablement contribuèrent à généraliser l'usage de ce système dans le monde scientifique. Vers la fin XIII^e siècle il était admis d'une façon générale que tout homme de science devait le connaître : ainsi Roger Bacon écrivant à cette époque recommande l'algorithme (c'est-à-dire l'arithmétique basée sur la notation arabe) comme une étude nécessaire aux théologiens qui doivent, dit-il, « être
experts dans l'art des nombres. »

Nous pouvons donc admettre que vers l'an 1300, ou 1350 au plus, le système arabe était familier et aux mathématiciens et aux marchands italiens.

Ajoutons qu'après avoir exposé le système de numération arabe, le Liber Abaci propose une exposition de l'algèbre et signale la commodité qu'offre la géométrie pour obtenir des démonstrations sures des formules algébriques. Léonard de Pise  montre comment se résolvent les équations simples; donne la solution de quelques équations du second degré. On trouve notamment dans ce livre une démonstration de la formule bien connue :

(a² + b²) (c² + d²) = (ac + bd)² + (bc - ad)² = (ad + bc)² + (bd - ac)².

Toute l'algèbre est sans symbolisme et dans un seul cas Léonard emploie-t-il des lettres comme symboles algébriques. La propagation de cet ouvrage fut immense et pendant au moins deux siècles, il demeura la source où de nombreux auteurs puisèrent leurs inspirations.

La réputation de Léonard de Pise était si grande que l'Empereur Frédéric Il s'arrêta à Pise en 1225, pour présider une sorte de tournoi mathématique où on devait mettre à l'épreuve le talent de Léonard dont on lui avait dit merveille. De telles compétitions étaient très en vogue à cette époque en Allemagne, mais n'avaient revêtu jusqu'alors qu'un tour littéraire, comme lors du célèbre tournoi poétique de la Wartburg, en opposant les analogues allemands des troubadours (Minnesinger). Cette fois, les  compétiteurs allaientt donc être des mathématiciens. Il avaient été informés à l'avance des questions posées; quelques unes étaient dues à Jean de Palerme ou à Théodore, qui figuraientt dans la suite de Fréderic. C'est le premier exemple que nous offre l'histoire de ces défis mathématiques si communs aux XVI^e et XVII^e siècles et dans lesquels on proposait certains problèmes particuliers.

Léonard adressa ses réponses à l'empereur. Le cardinal Raniero Capocci, de Viterbe, en demanda une copie, que Léonard lui dédia sous le titre de Flos super solutionibus quarumdam quaestionum ad numerum et ad geometriam pertinentium. 

« Je l'ai intitulé, dit-il, Flos, parce que plusieurs de ces questions, quoique épineuses, sont exposées d'une manière fleurie, et de même que les plantes, ayant des racines en terre, surgissent et montrent des fleurs, ainsi de ces questions on en déduit une foule d'autres. »

La seconde question était de trouver, au moyen des méthodes employées par Euclide dans son dizième livre, une ligne dont la longueur x devait satisfaire à la condition : 
x³ + 2x² + 10x = 20. Léonard démontre qu'aucune des quinze longueurs euclidiennes ne peut satisfaire à la question; puis il donne une valeur approchée de la racine positive de l'équation, soit x = 1,3688081075...  valeur exacte jusqu'à la neuvième décimale. On ignore par quelle méthode il obtint cette valeur, d'une précision surprenante.

Une autre question s'énonçait ainsi :

Trois hommes A, B, C possèdent en commun une certaine somme u, leurs parts respectives étant entre elles comme les trois nombres entiers 3, 2, 1. A prend dans la masse une somme x, en garde la moitié et dépose le reste entre les mains d'une certaine personne D; B prend à son tour dans la masse y, dont il garde les 2/3 et donne le surplus à D; enfin C prend ce qui reste, soit z, en garde par devers lui les 3/6, et donne le reste à D. Il se trouve que les dépôts faits entre les mains de D et appartenant à A, B et C sont égaux. Trouver d'après cela u, x, y et z.

Les autres compétiteurs échouèrent dans la résolution de toutes ces questions.

Léonard de Pise dédia à Théodore « philosophe de l'Empereur » un petit traité intitulé : de Modo solvendi quastiones avium et similium. Ce titre devait rappeler le désir exprimé par un ami qui voulait connaître le moyen de résoudre les questions sur les oiseaux et autres objets semblables. Ces questions étaient dans le genre de celles-ci :

« Quelqu'un achète des moineaux, des tourterelles et des colombes, en tout 30 oiseaux pour 30 deniers; 3 moineaux coûtent 1 denier, de même 2 tourterelles, et 1 colombe coûte 2 deniers. On demande combien il y avait d'oiseaux de chacune de ces trois espèces. » 

Léonard de Pise composa également une géométrie qu'il intitulait Practica Geometriae et qui fut publiée en 1220. C'est une bonne compilation dans laquelle il introduisit un peu de trigonométrie; entre autres propositions et exemples il donne l'aire du triangle en fonction des côtés. 

Par la suite, il publia un Liber Quadratorum dans lequel il était question de problèmes analogues à la première des question, proposées lors du tournoi scientifique. Ce livre est un monument arithmologique le plus précieux que nous ait transmis le Moyen âge. Par des procédés graphiques, Léonard de Pise trouva l'expression de la somme des carrés de leur suite naturelle, et aussi de la suite des nombres impairs, et il résolut ce problème :

« Trouver trois carrés et un nombre tel, qu'en ajoutant ce nombre au plus petit de ces carrés, on trouve le carré moyen, et qu'en ajoutant ce nombre au carré moyen, on trouve le plus grand carré.  »

Il composa encore un traité sur des problèmes déterminés d'algèbre qui sont tous résolus, par la règle de fausse position comme nous en avons donné un exemple plus haut.

Jordanus Nemorarius.
Parmi les contemporains de Léonard de Pise se trouvait un mathématicien allemand dont les oeuvres restèrent presque inconnues jusqu'au XIX^e siècle. C'était Jordanus Nemorarius appelé quelquefois Jordanus de Saxonia ou Teutonicus. 

On lui attribue les ouvrages suivants : Geometria vel de Triangulis; De isoperimetris; Arithmetica Demonstrata (1496, 1514); Algorithmus Demonstratus (1534); De Numeris Datis; De Ponderibus (1533, 1565). Si nous admettons qu'ils n'ont été ni augmentés ni modifiés par des annotateurs qui vinrent après lui, nous devons en conclure qu'il fut un des plus éminents mathématiciens du Moyen-âge.

Son savoir en géométrie ressort de ses deux ouvrages De Triangulis et De Isoperintetris. Le plus important est le premier qui comprend quatre livres. Le premier, outre quelques définitions, contient treize propositions sur les triangles d'après les Eléments d'Euclide. Le second renferme dix-neuf propositions concernant principalement des rapports de lignes droites et la comparaison des aires des triangles; par exemple, un des problèmes résolus consiste à déterminer à l'intérieur d'un triangle un point tel qu'en le joignant aux trois sommets, le triangle soit divisé en trois triangles équivalents. Le troisième compte douze propositions, relatives particulièrement aux arcs et aux cordes des cercles. Enfin dans le quatrième on trouve vingt-huit questions, concernant en partie les polygones réguliers et en partie des sujets divers, tels que les problèmes de la duplication du cube et de la trisection de l'angle.

L'Algorithmus Demonstratus, longtemps attribué à Regiomontanus, occupe une place importante dans l'histoire de l'algèbre. Il contient les règles pratiques des quatre opérations fondamentales, et les symboles arabes y sont généralement employés (mais ils ne sont pas les seuls). Il est divisé en dix livres traitant des propriétés des nombres, des nombres premiers, des nombres parfaits, des nombres polygonaux, etc., des rapports, des puissances, et des progressions. Il semblerait, d'après cet ouvrage, que Jordanus connaissait l'expression du développement du carré d'un polynôme algébrique quelconque.

Le De Numeris Datis, dont il existe un manuscrit à la Bibliothèque nationale, est divisé en quatre livres renfermant les solutions de cent-quinze problèmes. Quelques uns d'entre eux conduisent à des équations simples ou du second degré comprenant plus d'une quantité inconnue. Il montre qu'il a connaissance de la théorie des proportions, mais beaucoup de démonstrations de ses théorèmes généraux sont simplement des exemples numériques. Cet ouvrage, peu connu, avait attiré l'attention de Regiomontanus et de Maurolycus (Les mathématiques à la Renaissance), qui s'étaient proposé de le mettre au jour. 

Dans plusieurs des propositions de l'Algorithmus et du De Numeris Datis, on voit les lettres substituées aux nombres, et ces signes abstraits, généraux, sont même employés tout à la fois pour exposer le système de numération et démontrer les règles de l'arithmétique pratique. L'usage des lettres, non plus seulement pour exprimer les quantités inconnues, mais les quantités connues, usage qui est le fondement de l'algèbre moderne, fut étendu et développé, un siècle plus tard, par Viète.

Comme exemple nous citerons la question suivante (tirée du De Numeris datis, livre I), dans laquelle il se propose de déterminer deux quantités, connaissant leur somme et leur produit.

Dato numero per duo diviso si, quod ex ductu unius in alterum producitur, datum fuerit, et utrumque eorum datum esse necesse est.

Sit numerus datus abc divisus in ab et c, atque ex ab in c fiat d datus, itemque ex abc in se fiat e. Sumatur itaque quadruplum d, qui fit f, quo dempto de e remancat g, et ipse erit quadratum differentiae ab ad c. Extrahatur ergo radix ex g, et sit h, critque h différentia ab ad c, cumque sic h datum, erit et c et ab datum.

Huius operatio facile constabit hoc modo. Verbi gratia sit x divisus in numeros duos, atque ex ductu unius eorum in alium fiat XXl; cujus quadruplum, et ipsum est LXXXIIII, tollatur de quadrato x, hoc est c, et remanent XVI, cuius radix extrahatur, quae erit quator, et ipse est differentia. Ipsa tollatur de x, et reliquum,quod est VI, dimidietur, eritque medietas III, et ipse est minor portio et maior VII.

Traduite en notation moderne son argumentation est la suivante. 

Soient a + b (que nous représentons par ) et c les deux nombres. Alors  + c est donné, par suite ( + c)² est connu, représentons ce carré par e.

Le produit c est également donné, représentons-le par d. Représentons encore par f le produit connu 4c = 4d. Or ( - c)² est égal à e - f et, par suite est connu; désignons-le par g.

On a  - c = , quantité connue que nous représentons par h.

Enfin  + c et  - c sont connus, et, par suite  et c peuvent se calculer de suite.

Dans l'application numérique qu'il donne il prend pour somme 10 et pour produit 21.
Sauf un exemple que l'on trouve dans les écrits de Léonard de Pise, les ouvrages cités ci-dessus sont les plus anciens modèles connus parmi les mathématiciens européens d'une algèbre syncopée dans laquelle les lettres sont employées comme symboles algébriques. Il est probable que l'Algorithmus resta généralement ignoré jusqu'à son impression en 1534, et il est douteux qu'à une pareille date les oeuvres de Jordanus Nemorarius aient exercé une influence considérable sur le développement de l'algèbre. En fait, il arrive constamment dans l'histoire des mathématiques que des améliorations dans la notation ou dans les méthodes se produisent longtemps avant d'être adoptées d'une façon générale ou avant que les avantages qu'elles présentent soient reconnus. C'est pourquoi une même découverte peut être faite plusieurs fois à des époques et dans des circonstances différentes : une telle amélioration n'est adoptée et ne devient partie intégrante de la science, que si elle est réclamée par l'état général des connaissances, ou si elle est présentée par ceux qui savent fixer l'attention par leur insistance ou leurs connaissances. Jordanus Nemorarius en employant des lettres ou des symboles pour représenter les quantités que l'on rencontre en analyse était de beaucoup en avance sur ses contemporains. Il y eut des tentatives faites par d'autres mathématiciens postérieurs pour introduire une semblable notation, mais ce n'est qu'après avoir été découverte plusieurs fois et indépendamment qu'elle devint d'un usage général.

Roger Bacon.
Un autre contemporain de Léonard de Pise et de Jordanus Nemorarius fut Roger Bacon  (1211-1294) mérite d'être mentionné ici, non pour ce qu'il fit pour la science physique,(c'est--àdire un travail à peu près semblable à celui que ces derniers avaient fait pour l'arithmétique, et l'algèbre), mais pour la place centrale qu'il chercha à donner aux mathématiques, en un temps où elles étaient passablement déchues. Bacon lutta avec énergie pour substituer les mathématiques et la linguistique à la logique dans l'enseignement universitaire, mais les influences du temps étaient trop fortes. Son éloge enthousiaste des « divines mathématiques » qui devraient former le fondement d'une instruction libérale et qui « seules peuvent purifier l'intelligence et conviennent l'étudiant pour le préparer à acquérir toute connaissance » tombait dans des oreilles qui ne voulaient rien entendre. Nous pouvons apprécier la faiblesse des notions de géométrie insérées à l'époque dans le quadriviurn, quand il nous raconte que peu d'étudiants à Oxford étudiaient la géométrie an delà de la proposition 5 du livre I d'Euclide; nous aurions peut-être pu formuler une conclusion identique d'après le caractère de l'ouvrage de Boëce.

Il composa en 1267 son Opus Majus avec deux suppléments qui résumaient tout ce qui était alors connu en physique et posaient les principes sur lesquels devait être basée l'étude de cette science, celle de la philosophie et de la littérature. Comme principe fondamental il affirmait que l'étude des sciences naturelles devait reposer uniquement sur l'expérience; et dans la quatrième partie, il expliquait en détail comment l'astronomie et la physique dépendaient en définitive des mathématiques et progressaient seulement quand leurs principes fondamentaux étaient exprimés sous une forme mathématique. Les mathématiques, disait-il, devraient être regardées comme l'alphabet de toute philosophie.

Frédéric II.
L'empereur Frédéric II (1194-1250), déjà mentionné pour le tournoi qu'il organisa à Pise en 1225, non seulement s'intéressait à la science mais il fit tous ses efforts pour répondre dans l'Europe occidentale les oeuvres des mathématiciens arabes. L'Université de Naples reste comme un exemple de sa munificence. On sait que la présence des Juifs en Espagne avait été tolérée en raison de leurs connaissances médicales et scientifiques; et en fait les noms de médecin et d'algébriste furent à peu près synonymes pendant longtemps. Aussi les médecins juifs étaient-ils admirablement placés pour obtenir des copies des ouvrages arabes et pour les traduire. Frédéric profita de cette circonstance pour s'entourer de Juifs instruits chargés de traduire les livres arabes, qu'il s'était procurés; il n'est toutefois pas douteux que, s'il leur accorda ainsi sa protection, ce fut surtout pour être désagréable au pape avec lequel il était alors en lutte. Dans tous les cas, à la fin du XIII^esiècle, des copies des oeuvres d'Euclide, d'Archimède, d'Apollonius, de Ptolémée et de plusieurs auteurs arabes virent le jour de cette manière et à la fin du siècle suivant elles n'étaient plus rares.

Sacrobosco.
John of Holywood, plus connu sous le nom latinisé de  Joannes de Sacrobosco, natif du comté d'York, mort en 1256, à Paris, où il enseignait les mathématiques. Ses leçons sur l'algorithme et l'algèbre sont les plus anciennes que nous puissions mentionner. 

Son ouvrage sur l'arithmétique fit autorité pendant plusieurs années; il contient des règles sans démonstrations et fut imprimé à Paris en 1496, sous le titre de Arithmetica decem libris demonstrata. Il renferme tout ce qu'on savait sur le nouveau système de notation arabe. Les quatre règles s'y trouvent formulées, et il applique à diverses questions pratiques les principes de proportion. Le livre se termine par différentes formules algébriques propres à résoudre les problèmes les plus communs de la vie courante.

Mais son principal litre de gloire est son Traité de la sphère (Tractatus de sphaera mundi), qui fut publié en 1256 et renferma pendant longtemps tous le savoir de la science astronomique. Il est divisé en quatre chapitres. Le premier roule sur le globe terrestre, le second sur les cercles, le troisième sur le lever et le coucher des astres, et le dernier sur les orbites et les mouvements des planètes. L'auteur n'a guère ajouté aux ouvrages analogues grecs ou arabes. On peut louer seulement la disposition méthodique des matières. Bien que sa valeur scientifique ne soit pas très grande, c'est un des livres qui eurent le plus de succès pendant le Moyen âge, et même après. 

Une multitude d'auteurs le commentèrent. Ce sont, par ordre chronologique : Michel Scot, le fameux philosophe, Hugues de Castro (1337), puis Pierre d'Ailly, Purbach, Regiomontanus et tant d'autres. Après l'invention de l'imprimerie, les éditions se succédèrent. On l'imprima partout, en premier lieu à Ferrare (1572), puis à Bologne, à Venise, à Leipzig et à Paris. Le British Museum de Londres possède 65 éditions du Traité de la sphère dont la vogue avait duré plus de quatre cents ans! 

En dehors de ces ouvrages, deux opuscules de lui intitulés De Computo Ecclesiastico et De Astrolabio existent encore.

Sacrobosco exerça donc une grande influence sur les études mathématiques pendant plusieurs siècles et fut par ce fait un des plus actifs propagateurs de la science des Arabes. 

Campanus.
Le seul autre mathématicien de ce siècle qui mérite d'être mentionné est Giovanni Campano, ou Campanus pour employer la forme latine, chanoine de Paris. Une copie de la traduction d'Adelhard des Eléments d'Euclide tomba entre les mains de Campanus qui la publia comme étant de lui; il y ajouta un commentaire dans lequel il discutait les propriétés du pentagone régulier étoilé. Outre quelques autres ouvrages d'importance moindre il composa la Théorie des planètes, qui était une traduction libre de l'Almageste.

Le XIV siècle.
Le fait dominant dans l'histoire du XIV^e siècle de même que dans celle du siècle précédent est encore l'introduction et l'étude des livres classiques mathématiques arabes et des ouvrages grecs connus par l'entremise des Arabes.

Bradwardine.
Un mathématicien de cette époque qui eut peut-être assez de réputation pour que nous puissions le mentionner ici est l'archevêque de Canterbury Thomas Bradwardine (ca. 1290-1348). Ses oeuvres mathématiques, écrites probablement lors de son séjour à Oxford, sont le Tractatus de Proportionibus, imprimé à Paris en 1495; l'Arithmetica Speculativa, imprimée à Paris en 1502 ; la Geometria Speculativa, imprimée à Paris en 1511 et où, en faisant connaître la théorie des polygones égrédients, et celle des figures isopérimètres, il a fondé  la véritable doctrine des polygones étoilés; et un traité De quadrature Circuli, imprimé à Paris en 1495. Tous ces ouvrages donnent probablement une juste idée de l'enseignement des mathématiques dans les universités anglaises.

Oresme. 
Nicolas Oresme (1323-1382) est aussi remarquable comme économiste et comme théologien que comme mathématicien. L'ouvrage sur lequel est principalement fondée sa réputation traite de questions sur les monnaies et sur le change commercial. Au point de vue mathématique, il est à citer pour son Algorismus Proportionum dans lequel il introduisit l'idée des indices fractionnaires.

Beldomandi.
Un dernier nom pourrait encore être mentionné ici, à cheval entre le XIV^e et le XV^e siècle :  celui de Prodocimo Beldomandi de Padoue, né vers 1380; il écrivit une arithmétique algorithmique publiée en 1410 qui contient la formule de sommation des séries géométriques, et quelques ouvrages de géométrie.

L'enseignement des mathématiques à la fin du Moyen âge.
Vers le milieu du XIV^e siècle tous les mathématiciens connaissaient la géométrie euclidienne (telle que l'exposait Campanus), l'algorithme, et aussi l'astronomie de Ptolémée. A cette époque on commença à ajouter à l'explication des symboles arabes, qui figurait sur les calendriers, les règles de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division « de algorismo ». Les calendriers les plus importants et d'autres traités insérèrent également un exposé des règles de proportion avec des applications pourtant sur diverses questions pratiques.

Dans la dernière moitié du siècle, il y eut un soulèvement général des universités contre la tyrannie intellectuelle des scolastiques. Il fut en grande partie dû à Pétrarque qui pour sa génération, était célèbre plutôt comme humaniste que comme poète, et qui fit tout ce qui était en son pouvoir pour détruire la scolastique et encourager l'érudition. Le résultat de ces influences sur l'étude des mathématiques peut être constaté par les changements qui furent alors introduits dans l'étude du quadrivium. Le mouvement partit de l'Université de Paris, où un règlement à cet effet fut adopté en 1366, et un an ou deux après, un  réglementation similaire fut mise en vigueur à Oxford et Cambridge ; il n'y est malheureusement fait mention d'aucun livre classique. Nous pouvons cependant nous former une opinion sur la nature des études qu'on exigeait en mathématiques, par l'examen des statuts des Universités de Prague, de Vienne et de Leipzig.

Les règlements de Prague datés de 1384 imposaient aux candidats au grade de bachelier la lecture du Traité de la sphère de Sacrobosco, et les candidats au grade de maître-es-arts devaient connaître les six premiers livres d'Euclide, l'optique, l'hydrostatique, la théorie du levier et l'astronomie. Les cours portaient surl'arithmétique, l'art de compter avec les doigts, et l'algorithme des nombres entiers; sur les almanachs qui probablement désignaient une sorte d'astrologie élémentaire ; et sur l'Almageste, c'est-à-dire l'astronomie de Ptolémée. On a cependant des raisons de croire que dans cette université les études mathématiques étaient plus sérieuses que dans les autres.

A Vienne, en 1389, un candidat pour le grade de maître-ès-arts devait connaître les cinq premiers livres d'Euclide, la perspective ordinaire, les partages proportionnels, la mesure des superficies et la Théorie des Planètes. Cette théorie des planètes était celle de Campanus qui a écrit son traité d'après celui de Ptolémée.

Cet ensemble constituait un programme mathématique fort raisonnable mais le lecteur ne doit pas oublier que dans les universités au Moyen âge le « retoquage » n'était pas connu. On imposait à l'étudiant la rédaction d'une composition ou une conférence sur un certain sujet, mais bien ou mal faite il obtenait son grade, et il est probable que, seuls, les quelques étudiants qui s'intéressaient aux mathématiques travaillaient réellement les sujets mentionnés ci-dessus.

Quelques faits puisés un peu partout dans l'histoire du XV^e siècle tendent à montrer que les règlements qui régissaient l'étude du quadrivium n'étaient plus sérieusement appliqués. Les listes des conférences faites dans les années 1437 et 1438 à l'université de Leipzig (fondée en 1409 et dont les règlements sont à peu près identiques à ceux de Prague mentionnés ci-dessus) existent encore et montrent que les seules leçons qui y furent données sur les mathématiques pendant ces années roulaient sur l'astrologie. Les archives de Bologne, Padoue et Pise semblent établir que là aussi l'astrologie était le seul sujet scientifique enseigné au XV^e siècle, et même jusqu'en 1598 on exigeait du professeur de mathématiques à Pise, qu'il fit des conférences sur le Quadripartitum, ouvrage d'astrologie qui est attribué (probablement à tort) à Ptolémée. 

Les seules conférences de mathématiques qui d'après les registres d'Oxford ont été faites entre les années 1449 et 1463 se rapportaient à l'astronomie de Ptolémée, ou à des commentaires de cette ouvrage, et aux deux premiers livres d'Euclide. Et même beaucoup d'étudiants allaient-ils aussi loin? La chose est douteuse. Il résulterait d'une édition des éléments d'Euclide publiée à Paris en 1536, qu'après 1452 les candidats au grade de maître-ès-arts à l'Université de Paris devaient faire le serment qu'ils avaient suivi des leçons se rapportant aux six premiers livres de cet ouvrage.

Vers le milieu du XV^e siècle l'imprimerie s'était répandue partout et les facilités qu'on eut ainsi de propager les connaissances furent assez brandes pour révolutionner la science. Nous voici arrivés à une époque où les résultats obtenus par les géomètres arabes et grecs sont connus en Europe et il paraîtra convenablede clore ici cette période et de commencer celle de la Renaissance. L'histoire mathématique de la Renaissance s'ouvre avec Regiomontanus. 

Les Byzantins et les Slaves

Léon VI, surnommé le Sage, mort en 911, écrivit, entre autres, Sur l'art militaire, et fonda à Constantinople une école de mathématiques. Mais cet empereur, ainsi que l'empereur Constantin Porphyrogénète (mort en 959), également ami des sciences, échouèrent dans leurs tentatives pour ranimer les études de l'astronomie et des mathématiques. Les esprits étaient alors trop absorbés par les disputes religieuses et les troubles politiques.

Du X^e au XII^e siècle on ne rencontre que Psellus, le seul homme qui ait, dans cet intervalle, cultivé les sciences mathématiques. On a sous son nom ou sous celui de Pachymère un opuscule assez insignifiant, Des quatre parties des mathématiques (arithmétique, géométrie, musique et astronomie). Nicolas de Smyrne, dont il est difficile de fixer l'époque, écrivit de son côté : Sur la manière de compter avec les doigts.

Barlaam.
Barlaam, originaire de la Calabre, mourut vers le 1348. C'était un moine appartenant à l'ordre de Saint-Basile. Très intelligent, il fut envoyé comme ambassadeur près du pape, qui résidait alors a Avignon, afin d'examiner la possibilité de réunion des Eglises grecque et latine. Pendant celte mission il enseigna, dit-on, le grec au poète Pétrarque. Puis, à son retour à Constantinople, il s'acquit une juste réputation en couvrant de ridicule les prétentions saugrenues, les idées baroques et les sots préjugés des religieux quiétistes du Mont-Athos, qui avaient à leur tête Palmos. Il avait la réputation d'un habile mathématicien, en partie justifiée par un ouvrage intitulé : Logistikès cive arithmetica algebraica libri IV, publié en grec et latin, à Strasbourg (1578) et à Paris (1606, avec les scolies de Chamber). Cet ouvrage est intéressant en ce qu'il fait connaître la méthode laborieuse qu'employaient encore les Grecs pour faire leurs calculs de fractions et de divisions sexagésimales. On lui doit aussi un Traité sur la manière de calculer les éclipses de Soleil.

Argyrus.
Le moine Argyrus composa de nombreux ouvrages. Citons, parmi ceux qui concernent les mathématiques et que l'on trouve en manucrits dans diverses bibliothèques d'Europe : un petit Traité sur le Canon pascal, écrit en 1373; Apparatus astrolobii; De reducendis triangulis non rectis ad rectos; De reducendo calculo astronomicorum Canonum Ptolemaei ab annis aegyptiacis et ab Alexandrino meridiano, ad annos romanos et ad meridianum Constantinopoleos; Methodus geodesiae; Methodus solarium et lunarium cyclorum; Geometrica aliquot problemata.

Maxime Planude.
Le moine grec Maxime Planude, envoyé en 1327 comme ambassadeur à Venise par Andronic II, commenta les deux premiers livres de Diophante. On lui doit aussi un opuscule sur l'Arithmétique selon les Indiens et un petit traité Sur les proportions.

Georges Pachymère.
Le chroniqueur Georges Pachymère a laissé un traité Sur les lignes insécables (Peri atomôn grammôn)  un traité de mécanique De quatuor machinis, et un autre Sur l'arithmétique.

Moschopoulos.
Emmanuel Moschopulos, grammairien, clôt cette aride liste des écrivains du Bas-Empire, qui ne s'étaient livrés qu'occasionnellement aux études astronomiques et mathématiques.  Il est l'auteur d'un ouvrage sur les carrés magiques, est le seul mathématicien quelque peu original de cette période. Les carrés magiques étaient un amusement digne de figurer sur la même ligne que les futiles controverses des théologiens byzantins. Moschopoulos indiqua les propriétés générales des carrés magiques et les règles de leur formation. Il s'agissait d'inscrire des nombres dans de petits compartiments carrés, dont l'ensemble formait un grand carré; ces nombres devaient être choisis et arrangés de telle façon, qu'en les additionnant horizon - talement, verticalement ou diagonalement, ils donnassent toujours la même somme. Ces carrés magiques, où le nombre des sept planètes jouait un grand rôle, servaient d'amulettes ou de talismans. 

Les mathématiques dans le monde slave.
En Russie, les études mathématiques commencèrent à se développer à partir du XII^e siècl, mais elles se bornaient à l'arithmétique et à l'arpentage. Le moine Kiroque, de Nijni-Novgorod, nous a laissé un Traité des calculs chronologiques et du comput (1134), où il cite d'autres amateurs de la théorie des nombres.

La particularité la plus curieuse, constatée dans ces auteurs slaves du Moyen âge, est le penchant qui les pousse vers les spéculations arithmético-algébriques, trait de ressemblance avec les mathématiciens indiens, et cependant ceux-ci n'eurent aucune relation directe avec l'empire des tsars. Leurs premiers maîtres furent même les Grecs.

Le système de numération utilisé était assez rudimentaire. Au XI^e siècle la numération allait jusqu'à 10 000, puis au siècle suivant on la prolongea jusqu'à 100 000; enfin du XIII^e au XVI^e siècle elle se développa de 10 000 000 jusqu'aux unités du 50^e ordre. Le domaine embrassé par leur calcul s'élargissait donc lentement. Puis ils arrivèrent à exprimer d'une manière méthodique les multiples des différentes unités par des lettres.

Dans le livre de Kirique on trouve en particulier sous la dénomination « d'heures fractionnaires » les subdivisions de l'heure écrites d'après le système quinaire.
Durant les cinq cents années qui suivirent, les premières écoles fondées par le clergé gréco-bulgare furent peu florissantes au point de vue des études scientifiques. On n'y apprenait même pas à calculer. Les Russes qui désiraient acquérir des connaissances mathématiques étaient obligés de le faire dans des institutions privées. Ces établissements, dirigés par des laïques, vivaient ignorés de l'État comme des popes, et d'après les rares documents qui nous restent sur leur fonctionnement, on voit qu'on y enseignait à peu près ce qu'on nommait dans le monde latin du Moyen âge les « sept arts libéraux », c'est-à-dire la grammaire, la dialectique, la rhétorique, la musique, l'arithmétique, la géométrie et la cosmographie.

Pour ce qui nous intéresse ici, le programme des études comportait peu de chose : les opérations sur les nombres, le calcul des fractions, certaines notions de métrologie, arpentage. Quant à l'astronomie et au comprut, ils formaient l'objet d'études complémentaires. Mais en 1492, à la fin de la période pour laquelle les calculs relatifs au calendrier avaient été effectués, on sentit la nécessité de les prolonger plus loin, et plusieurs savants  s'en tirèrent à leur honneur.

Le métropolite Zossima se chargea des vingt premières années, et Philopé, évêque de Perm, vérifia son travail, puis l'archevêque de Nijni-Novgorod, Hennady, le continua pour soixante-dix ans.

Mais, somme toute, la science slave jusqu'à Pierre le Grand (XVIII^e s.) ne compte guère. Au Moyen âge d'ailleurs celle de l'Europe ne la dépassait pas de beaucoup. (F.H / WW. Rouse Ball).