Dans les systèmes complexes et chaotiques, la prédiction précise d'une trajectoire individuelle est impossible sur le long terme à cause de la sensibilité aux conditions initiales. En revanche, les propriétés statistiques globales (étudiées par la théorie ergodique) peuvent être stables et prédictibles. La théorie permet de faire le lien entre la dynamique microscopique (l'évolution point par point) et les propriétés macroscopiques ou statistiques. On peut ainsi voir la théorie ergodique comme l'application des idées de la théorie de la mesure et des probabilités à l'étude des systèmes dynamiques afin de comprendre leur comportement global et moyen.

La théorie ergodique théorie trouve ses racines dans les travaux de Ludwig Boltzmann au XIX^e siècle, qui cherchait à justifier la mécanique statistique dans le cadre de la thermodynamique classique. Boltzmann a introduit l'idée qu'une grande partie des systèmes physiques complexes (comme les gaz) peuvent être décrits en termes d'ensembles d'états microscopiques, et qu'il existe une correspondance entre les propriétés temporelles observées dans une trajectoire donnée et les propriétés spatiales globales du système.

Concepts fondamentaux.
Système dynamique.
Un système dynamique est une paire (X,T), où X est un ensemble et T une transformation qui décrit l'évolution du système dans le temps. Par exemple, X pourrait représenter l'espace des phases d'un système physique et T la transformation qui applique les lois de la dynamique.

Orbite.
L'orbite d'un point xX sous l'action de T est l'ensemble des points atteints par l'évolution de x. Cela peut être vu comme la trajectoire de ce point dans le temps.

Mesure invariante.
Une mesure invariante est une mesure de probabilité définie sur l'espace des états d'un système dynamique, qui reste inchangée sous l'évolution du système. . Formellement, une mesure μ sur X est dite invariante par rapport à T si pour toute partie AX mesurable , on a μ(T^−1(A)) = μ(A). Cela signifie que l'évolution du système ne modifie pas la "distribution statistique" des états : la mesure des ensembles d'états est conservée dans le temps. C'est une hypothèse de base en physique statistique où les lois de conservation (comme l'énergie) assurent l'invariance de certaines mesures. 

Ergodicité.
L'ergodicité est une propriété plus forte. Un système dynamique est dit ergodique (par rapport à une mesure invariante) si, en moyenne temporelle, tout état typique du système parcourt l'espace des phases de manière représentative. En d'autres termes, les moyennes temporelles sont égales aux moyennes d'ensemble (ou moyennes spatiales) pour presque toutes les trajectoires. Un système dynamique (X,T,μ) est ainsi dit ergodique si toute fonction mesurable f:X→ satisfait la relation suivante pour presque tout xX :

Autrement dit, la moyenne temporelle d'une fonction le long d'une orbite converge vers la moyenne spatiale pondérée par la mesure invariante μ. Cela implique que le comportement à long terme d'un seul système (suivi dans le temps) est statistiquement équivalent à celui d'un grand ensemble de copies du système (considérées à un instant donné).

Théorème ergodique.
Ce théorème, attribué à Birkhoff, affirme que dans un système dynamique ergodique, la moyenne temporelle d'une fonction mesurable converge presque sûrement vers sa moyenne spatiale.

Applications.
La théorie ergodique a des applications dans de nombreux domaines, notamment :

• Mécanique statistique. - Pour justifier les lois macroscopiques (thermodynamique) à partir des lois microscopiques (mécanique quantique ou classique).

• Dynamique chaotique. - Pour comprendre les comportements complexes des systèmes chaotiques (Théorie du chaos).

• Analyse de données. - Pour interpréter les séries temporelles et les processus stochastiques.

• Physique des particules. - Pour étudier les interactions entre particules dans des systèmes à grande échelle.