-

Puissance (mathématiques)

Le mot puissance a plusieurs significations en mathématiques.

Algèbre.
En algèbre, on nomme puissance d'un nombre le produit obtenu en multipliant ce nombre une ou plusieurs fois par lui-même; la puissance m de a est le produit de m facteurs égaux à a et s'indique par a^m; m est l'exposant de cette puissance.

Le produit et le quotient de deux puissances différentes d'un même nombre sont encore des puissances de ce nombre, et l'exposant en est égal à la somme ou à la différence des exposants des puissances multipliées ou divisées.

Une nouvelle puissance d'une puissance déterminée d'un nombre s'obtient en multipliant les exposants des deux puissances superposées.

Les besoins du calcul ont fait admettre successivement des puissances entières et négatives, fractionnaires positives ou négatives et même imaginaires.

a^-m signifie 1 / a^m,
m / aⁿ représente la racine n-ième de a à la puissance m

Le calcul des puissances négatives et fractionnaires est soumis identiquement aux mêmes règles que le calcul des puissances entières.

Les premières puissances d'un binôme (a + b), formées directement, sont :

(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a+b)³ = a³ +3a²b + 3ab² + b³.

Les puissances successives d'un nombre plus grand que 1 vont en croissant avec l'exposant et peuvent dépasser toute limite. Les puissances négatives d'un nombre plus grand que 1 vont en décroissant indéfiniment avec l'exposant.

Géométrie.
Puissance d'un point par rapport à un cercle.
En géométrie, on nomme puissance d'un point par rapport à un cercle le produit des distances de ce point aux intersections de la circonférence et d'une sécante passant par le point. La puissance d'un point est positive quand le point est extérieur au cercle, elle est négative dans le cas contraire.

Si l'on désigne par R le rayon d'un cercle, par d la distance d'un point au centre, on démontre que la puissance du point par rapport au cercle est d² - R², cette expression étant prise avec son signe; cette puissance est encore égale au carré de la distance du point au point de contact d'une tangente issue du point au cercle.

Si l'on considère deux cercles, le lieu géométrique des points ayant même puissance par rapport à ces deux cercles est une droite perpendiculaire à la ligne des centres et que l'on appelle axe radical. Cet axe radical est le lien des centres des cercles qui coupent orthogonalement les deux cercles donnés. Si l'on considère trois cercles pris deux à deux, leurs axes radicaux passent par un même point que l'on appelle centre radical des trois cercles.

Puissance d'un point par rapport à une sphère.
Les considérations que nous venons d'énumérer sont étendues à la sphère et on appelle puissance d'un point par rapport à une sphère l'expression d² - R² prise avec son signe.

Le lieu des points de même puissance par rapport à deux sphères est un plan perpendiculaire sur la ligne des centres appelé plan radical; les plans radicaux de trois
sphères prises deux à deux passent par une même droite et les six plans radicaux de quatre sphères considérées deux à deux passent par un même point.

Théorie des ensembles.
Le mot puissance sert aussi, dans la théorie des ensembles, à caractériser un ensemble selon le nombre de ses éléments. (NLI).

Dictionnaire Idées et méthodes