Hypothèse du continu.

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Hypothèse du continu

L'hypothèse du continu est un problème fondamental en mathématiques et en particulier en théorie des ensembles, qui concerne la taille ou la cardinalité des ensembles infinis et qui a été formulée par le mathématicien allemand Georg Cantor au XIX^e siècle. L'hypothèse du continu pose la question de savoir s'il existe un ensemble infini, appelé "ensemble du continu," dont la cardinalité est la plus petite possible après celle de l'ensemble des nombres naturels (c'est-à-dire l'ensemble dénombrable). Plus précisément, l'hypothèse du continu se pose comme suit :

Si l'ensemble des nombres réels (les nombres décimaux) a la même cardinalité que l'ensemble des nombres entiers (dénombrable), alors il existe un ensemble infini qui a la même cardinalité que les nombres réels.

En d'autres termes, l'hypothèse du continu suppose qu'il n'y a pas d'ensemble d'ordre intermédiaire entre les ensembles dénombrables (comme l'ensemble des entiers) et l'ensemble des nombres réels. Cette hypothèse s'inscrit dans le cadre de la théorie des ensembles. C'est l'un des 23 problèmes non résolus présentés par David Hilbert au début du XX^e siècle. En 1963, Paul Cohen a montré que l'hypothèse du continu est indépendante des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF) avec l'axiome du choix (AC). Cela signifie qu'elle ne peut pas être prouvée ni réfutée à l'intérieur de ce cadre théorique. Cependant, en 2019,Hugh Woodin a indiqué une autre voie possible pour résoudre cette énigme.

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