Le paradoxe de Russell peut être formulé de la manière suivante : considérons l'ensemble R des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes comme éléments; formalisons cet ensemble R de la manière suivante : R = { x | x  x}; le paradoxe surgit lorsqu'on se demande si l'ensemble R se contient lui-même : si R  R, alors par définition de R, R ne doit pas se contenir lui-même, ce qui est une contradiction; si R  R, alors par définition de R, R doit se contenir lui-même, ce qui est également une contradiction.

Le paradoxe de Russell montre que l'approche naïve de la théorie des ensembles, où n'importe quelle collection définissable d'objets peut être considérée comme un ensemble, conduit à des contradictions. Bertrand Russell lui-même a proposé une solution en introduisant la théorie des types, où les ensembles sont organisés en types hiérarchiques pour éviter les auto-références problématiques. 

Une autre solution, qui est devenue la base de la théorie moderne des ensembles, est la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF), souvent couplée à l'axiome du choix (ZFC). Dans cette théorie, des axiomes spécifiques régissent la formation des ensembles pour éviter les paradoxes comme celui de Russell. Le paradoxe de Russell a mis en évidence la nécessité de rigueur et de précisions dans les fondements des mathématiques et a conduit à des avancées importantes dans ces domaines.