Action

Historiquement, c'est sous l'appellation de quantité d'action introduite par Maupertuis dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris 1744, et dans ceux de l'Académie de Berlin 1746,  que ce terme est apparu en physique. Il était défini par Maupertuis comme égal au produit de la masse d'un corps par l'espace qu'il parcourt et par sa vitesse. Maupertuis désignait sous le nom de Loi d'économie (lex parcimoniae) ou de principe de moindre action la proposition selon laquelle dans les changements qui se font dans l'état d'un corps, la quantité d'action nécessaire pour produire ce changement, est la moindre qu'il est possible. Il a cherché à appliquer ce principe à la recherche des lois de la réfraction, des lois du choc, des lois de l'équilibre, etc. Il s'est même risqué à des conséquences plus périlleuses sur l'existence d'un premier Être...

Maupertuis que nous venons de citer, l'auteur a ainsi cherché à allier la métaphysique des causes finales avec les vérités fondamentales de la mécanique; faire dépendre d'une même loi le choc des corps élastiques et celui des corps durs, qui jusqu'ici avaient eu des lois séparées; et réduire à un même principe les lois du mouvement et celles de l'équilibre. 

Le premier Mémoire où Maupertuis a donné l'idée de son principe, est du 15 Avril 1744; et à la fin de la même année, Euler publia son excellent livre : Methodus inveniendi lineas curvas maximi vel minimi proprietate gaudentes. Dans le supplément qui y avait été ajouté cet illustre géomètre démontre, que dans les trajectoires que des corps décrivent par des forces centrales, la vitesse multipliée par l'élément de la courbe, fait toujours un minimum. Ce théorème est une belle application du principe de  Maupertuis au mouvement des planètes. 

Par le Mémoire du 15 Avril 1744, que nous venons de citer, on voit que les réflexions de Maupertuis, sur les lois de la réfraction, l'ont conduit au théorème dont il s'agit. On fait le principe que Fermat, et après lui  Leibniz, ont employé pour expliquer les lois de la réfraction. Ces géomètres ont prétendu qu'un corpuscule de lumière qui va d'un point à un autre en traversant deux milieux différents, dans chacun desquels il a une vitesse différente, doit y aller dans le temps le plus court qu'il est possible : et d'après ce principe, ils ont démontré géométriquement que ce corpuscule ne doit point aller d'un point à autre en ligne droite, mais qu'étant arrivé sur la surface qui sépare les deux milieux; il doit changer de direction, de manière que le sinus de son incidence soit au sinus de sa réfraction comme sa vitesse dans le premier milieu est à sa vitesse dans le second; d'où ils ont déduit la loi si connue des rapports constants des sinus. 

Dès cette époque, cette explication, quoique fort ingénieuse, fut sujette à une certaine perplexité; c'est qu'il faudrait que le corpuscule s'approchât de la perpendiculaire dans les milieux où sa vitesse est moindre, et qui par conséquent lui résistent davantage : ce qui paraît contraire à toutes les explications mécaniques qu'on a donné jusqu'à à présent de la réfraction des corps, et en particulier de la réfraction de la lumière. 

L'explication entre autres qu'a imaginée Newton, jugée alors la plus satisfaisante de toutes celles qui ont été données jusque là, rendait parfaitement raison du rapport constant des sinus, en attribuant la réfraction des rayons à la force attractive des milieux; d'où il s'en fuit que les milieux plus denses, dont l'attraction est plus forte, doivent approcher le rayon de la perpendiculaire : ce qui  était en effet confirmé, semblait-il, par l'expérience. Or l'attraction du milieu ne saurait approcher le rayon de la perpendiculaire, sans augmenter sa vitesse, comme on peut le démontrer aisément : ainsi suivant Newton, la réfraction doit se faire en s'approchant de la perpendiculaire lorsque la vitesse augmente; ce qui était contraire à la loi de Fermat et Leibniz 

Maupertuis a cherché à concilier l'explication de Newton avec les principes métaphysiques. Au lieu de supposer avec Fermat et Leibniz, qu'un corpuscule de lumière va d'un point à un suppose qu'un corpuscule de lumière va d'un point à un autre, de manière que la quantité d'action soit la moindre qu'il est possible. 
Cette quantité d'action, disait-il, est la vraie dépense que la nature ménage. Par ce principe philosophique, il trouvait que non seulement les sinus sont en raison constante mais qu'ils sont en raison inverse des vitesses (ce qui s'accordait avec l'explication de Newton) et non pas en raison directe, comme le prétendaient Fermat et Leibniz. (Brisson). 

Le principe de moindre action tel qu'il était présenté par Maupertuis, et rendu célèbre par plaisanteries si sensées de Voltaire n'avait pas la portée que lui attribuait son auteur. La médiocrité du personnage, académicien à vingt-quatre ans, sans avoir fait, dira J. Bertrand, ses preuves en aucun genre, le rendait incapable d'élever son idée à la hauteur d'un principe. Bien qu'il en ait déduit les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière, ainsi que celles du choc des corps, il était réservé à Lagrange de faire à l'équation générale de la dynamique l'application du calcul des variations, qu'il a créé, et d'en tirer le principe de la moindre action. Mais laissons s'exprimer à ce sujet l'illustre auteur de la Mécanique analytique : 

Les applications de Maupertuis, dit-il, sont trop particulières pour servir à établir la vérité d'un principe général; elles ont d'ailleurs quelque chose de vague et d'arbitraire, qui ne peut que rendre incertaines les conséquences qu'on en pourrait tirer pour l'exactitude même da principe. Aussi l'on aurait tort, ce me semble, de mettre ce principe présenté ainsi (à la façon de Maupertuis) sur la même ligne que ceux que nous venons d'exposer (ceux des forces vives, des aires et du mouvement du centré de gravité). Mais il y a une autre manière de l'envisager, plus générale et plus rigoureuse, et qui mérite seule l'attention des géomètres. Euler en a donné la première idée à la fin de son Traité des Isopérimètres (Lausanne, 1744), en y faisant voir que, dans les trajectoires décrites par des forces centrales, l'intégrale de la vitesse multipliée par l'élément de la courbe fait toujours un maximum ou un minimum. - Cette propriété qu'Euler avait trouvée dans le mouvement des corps isolés, et qui paraissait bornée à ces corps, je l'ai étendue, par le moyen de la conservation des forces vives, au mouvement de tout système de corps qui agissent les uns sur les autres d'une manière quelconque; et il en est résulté ce nouveau principe général, que la somme des produits des masses par les intégrales des vitesses multipliées par les éléments des espaces parcourus est constamment maximum ou minimum.