Travail

Le travail de la résultante de plusieurs forces est égal à la somme des travaux des composantes, et, de même, quand un déplacement est la résultante géométrique de plusieurs déplacements, le travail d'une force est la somme des travaux dus aux déplacements composants. Si X, Y, Z désignent les projections de la force sur trois axes rectangulaires et dx, dy, dz les projections sur les mêmes axes du déplacement du point d'application, le travail élémentaire est Xdx +Yd y + Zdz. 

Quand un point se meut sans frottement sur une surface fixe ou une courbe fixe, la réaction de la surface ou de la courbe est normale au déplacement et n'effectue par conséquent aucun travail. Quand deux points sont reliés par une tige de longueur invariable, les efforts exercés par cette tige sur les deux points sont égaux et de signes contraires, et leurs travaux se détruisent; il n'en est plus de même si la tige est remplacée par un système extensible, tel qu'un ressort : dans ce cas, il y a un travail égal à chaque instant, au produit de l'allongement par l'effort de tension.

Soit F la résultante de toutes les forces agissant sur un point de masse in animé de la vitesse v. Si l'on appelle F_t la projection de F sur la tangente à la trajectoire, et ds
le chemin élémentaire, le travail est F_tds. Mais F_t = m dv/dt et ds = vdt. Le travail élémentaire a donc pour expression mvdv : il est égal à la différentielle de l'énergie : 1/2 mv². On en conclut que pour un déplacement fini quelconque, la demi-variation de l'énergie est égal au travail total. 

Ce théorème fondamental qui s'étend à un système matériel quelconque et entraîne, entre autres conséquences, l'impossibilité du mouvement perpétuel, est surtout utile dans le cas, très fréquent, où il existe une fonction de forces : car alors il fournit immédiatement une intégrale du mouvement. C'est sur ce théorème que repose toute la théorie des machines, ainsi que celle de l'énergie mécanique.

Travaux virtuels.
Jean Bernoulli et Lagrange ont condensé la statique entière dans un énoncé d'après lequel la condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre d'un système est que la somme des travaux de toutes les forces appliquées soit nulle pour tous les systèmes de déplacements virtuels compatibles avec les liaisons (étant entendu que les liaisons ne développent aucun travail dans les déplacements ainsi définis). 

L'épithète virtuel exprime simplement que les déplacements sont purement fictifs et assujettis à la seule condition de respecter les liaisons du système. La dynamique, à son tour, rentre dans le même énoncé, en vertu du principe de D'Alembert, d'après lequel, dans un système quelconque en mouvement, il y a équilibre entre les forces d'inertie et les forces directement appliquées. 

Unités.
Travail et énergie se mesurent dans la même unité. Dans le Système international (S.I.), il s'agit du joule (J). L'unité industrielle de travail est le kilogrammètre; c'est le travail nécessaire pour élever 1 kilogramme à 4 mètres de hauteur. Dans le système C. G. S., l'unité de travail est l'erg : c'est le travail produit par une dyne quand son point d'application parcourt 1 cm dans la direction de la force. (L. Lecornu).