Cohomologie

La cohomologie d'une variété X (ou d'un espace topologique) est représentée par une suite de groupes appelés groupes de cohomologie. Par exemple, H^k(X) représente le k-ième groupe de cohomologie de X. Ces groupes détiennent l'information topologique et géométrique de X de manière abstraite et invariante.  En géométrie différentielle, la cohomologie de de Rham correspond à la cohomologie associée aux formes différentielles exactes et fermées sur une variété différentiable. Développée pour des espaces topologiques généraux, la théorie de cohomologie singulière  généralise la cohomologie de de Rham. La cohomologie intervient dans la théorie des champs, notamment dans la théorie de jauge et les modèles topologiques de la matière condensée. 

En géométrie algébrique, la cohomologie algébrique généralise la cohomologie de de Rham pour des variétés définies sur des corps non nécessairement de caractéristique nulle.La cohomologie équivariante traite des actions de groupes sur les variétés et des propriétés géométriques invariants sous ces actions. Exemple : pour une variété M, la cohomologie de de Rham est calculée en considérant les formes différentielles sur M modulo les formes exactes. Par exemple, sur un cercle S¹, le groupe de cohomologie H¹(S¹) est représenté par les classes d'équivalence des formes différentielles fermées qui ne sont pas exactes, souvent associées à des objets topologiques tels que les boucles non contractibles.