C'est un cas particulier du problème à N corps, mais il est déjà extrêmement riche : il contient le chaos déterministe, des solutions périodiques remarquables, des points d'équilibre, des singularités et de nombreuses applications en astronomie et en astronautique. Le problème à N corps généralise le problème des trois corps en conservant ses ingrédients essentiels : non-intégrabilité, chaos, singularités et richesses dynamiques. Pour N = 2, il est intégrable; pour N = 3, il est déjà chaotique; pour N grand, il devient un objet d'étude statistique. Il reste un domaine actif, à l'interface des mathématiques, de la mécanique céleste, de l'astrophysique et du calcul scientifique.

Jalons historiques.
Le problème des trois corps a joué un rôle historique majeur dans le développement de la mécanique céleste, de la théorie des systèmes dynamiques et du chaos, et reste aujourd'hui un domaine actif, tant en mathématiques qu'en astrophysique et en astronautique. Sa difficulté a été comprise progressivement au XVIII^e et XIX^e siècles. Euler et Lagrange ont trouvé des solutions particulières remarquables, dites configurations centrales : la solution colinéaire d'Euler, où les trois corps restent alignés, et la solution équilatérale de Lagrange, où ils forment en permanence un triangle équilatéral tout en tournant ou en variant d'échelle. Ces solutions existent pour des masses et des conditions initiales très spécifiques, mais elles ne représentent pas le cas général.

Le tournant théorique vient de Poincaré à la fin du XIX^e siècle. En étudiant le problème restreint des trois corps (où l'un des trois corps a une masse négligeable et n'influence pas les deux autres), il montre que le système n'est pas intégrable au sens de Liouville : il n'existe pas assez d'intégrales premières indépendantes pour réduire le problème à des quadratures. Poincaré met en évidence l'existence d'une sensibilité extrême aux conditions initiales, préfigurant ce qu'on appellera plus tard le chaos déterministe. Deux trajectoires issues de conditions initiales presque identiques peuvent diverger de façon exponentielle, rendant toute prédiction à long terme pratiquement impossible malgré le caractère parfaitement déterministe des équations.

Malgré cette absence de solution générale, des résultats existent. Sundman a démontré en 1912 l'existence d'une solution sous forme de série convergente pour presque toutes les conditions initiales, mais cette série converge si lentement qu'elle est sans utilité pratique. Par ailleurs, on connaît aujourd'hui, grâce au calcul numérique, de nombreuses solutions périodiques remarquables, comme la fameuse orbite en huit découverte à la fin des années 1990, où trois masses égales se poursuivent sur une même courbe en forme de huit.

La généralisation naturelle est le problème à N corps, qui étudie le mouvement de N masses ponctuelles en interaction gravitationnelle mutuelle. Les équations du mouvement s'écrivent simplement à partir de la loi de Newton généralisée, mais leur complexité croît rapidement avec N : le système comporte 6N degrés de liberté (position et vitesse de chaque corps dans l'espace), et seules dix intégrales premières classiques subsistent de façon générale (conservation de l'énergie, du moment cinétique et du mouvement du centre de masse), très insuffisantes pour intégrer le système dès que N dépasse deux.

Le problème à N corps présente lui aussi un comportement chaotique générique, avec en plus la possibilité de phénomènes propres aux grands systèmes : quasi-collisions, éjections de corps, échanges d'énergie entre sous-systèmes, évolution vers des états hiérarchiques (un système large orbité par des paires internes plus serrées), ou encore singularités où des trajectoires deviennent non analytiques après un temps fini (mises en évidence notamment par les travaux de Xia sur les singularités non liées à des collisions).

En pratique, l'étude du problème à N corps s'appuie aujourd'hui essentiellement sur l'intégration numérique, à l'aide de méthodes spécialisées (intégrateurs symplectiques, régularisation des équations près des collisions, méthodes en arbre ou multipolaires pour réduire le coût de calcul en O(N log N) plutôt qu'en O(N²)). Ce problème est central en astronomie et en astrophysique, que ce soit pour l'étude de la stabilité du Système solaire, la dynamique des amas stellaires et des galaxies, ou la formation des structures cosmiques à grande échelle.

Formulation mathématique.
Soient trois corps de masses m1, m2, m3​, de positions r1, r2, r3³. La loi de Newton donne, pour chaque corps i,

où G est la constante gravitationnelle. De manière équivalente, ces équations dérivent du potentiel

puisque

On peut aussi écrire le système sous forme hamiltonienne. Si â€‹, alors

où E est l'énergie totale, constante.

Le système possède donc a priori 9 coordonnées spatiales, soit 18 équations différentielles du premier ordre. Après réduction par les symétries de translation et de rotation, il reste 3 degrés de liberté (6 dimensions de phase), ce qui est déjà suffisant pour produire un comportement chaotique.

Invariants et réduction.
Le problème des trois corps admet plusieurs intégrales premières classiques :

• Quantité de mouvement totale : 

• Centre de masse :  qui se déplace uniformément.
 

• Moment cinétique total : 

• Énergie totale :  avec .

Une identité importante est l'identité de Lagrange-Jacobi. Si l'on définit le moment d'inertie par rapport au centre de masse

alors

Comme T ≥ 0, si E ≥ 0, alors  ≥ 0 : le système ne peut pas rester borné et finit par s'étendre. Si E < 0, un mouvement borné est possible.

Intégrabilité et chaos.
Le problème des trois corps n'est pas intégrable en général. Plus précisément :

• Bruns et Poincaré ont montré qu'il n'existe pas d'intégrale première supplémentaire "utile" au-delà des intégrales classiques, qui permette d'intégrer complètement le système par quadratures.

• Le système présente un chaos déterministe : pour de nombreuses conditions initiales, deux trajectoires initialement très proches divergent exponentiellement.

• Poincaré a mis en évidence, dans le problème restreint, des réseaux homoclines et hétéroclines, source de sensibilité aux conditions initiales.

• Le problème à deux corps;

• Les solutions d'Euler et de Lagrange;

• Le problème restreint dans certaines limites;

• Les mouvements quasi périodiques décrits par la théorie KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) lorsque le système est proche d'un cas intégrable.

Solutions remarquables.
Solutions d'Euler.
Euler a montré qu'il existe des configurations colinéaires où les trois corps restent alignés et tournent autour de leur centre de masse comme un corps rigide. Pour des masses quelconques, il existe trois familles de telles solutions, selon le corps qui se trouve au milieu.

Solutions de Lagrange.
Lagrange a découvert que trois masses quelconques peuvent former un triangle équilatéral tournant autour de son centre de masse. Ces solutions sont des équilibres relatifs dans le repère tournant. Dans le problème restreint, elles correspondent aux points de Lagrange L4​ et L5​.

Orbites périodiques et chorégraphies.
Le problème des trois corps possède une infinité de solutions périodiques. Une découverte célèbre est la chorégraphie en huit pour trois masses égales, mise en évidence par Chenciner et Montgomery en 2000 : les trois corps suivent la même courbe en forme de 8, déphasés d'un tiers de période. Depuis, de nombreuses familles de chorégraphies et d'orbites périodiques ont été trouvées numériquement et analysées mathématiquement.

Le problème restreint des trois corps.
Un cas particulièrement important est le problème restreint des trois corps : deux corps massifs, appelés primaires, décrivent une orbite connue (souvent circulaire), et un troisième corps de masse négligeable se déplace dans leur champ gravitationnel.

Dans le repère tournant synodique, en unités normalisées, les équations du mouvement plan s'écrivent

avec le potentiel effectif

où μμ est le rapport de masse, et

Les points d'équilibre de ce potentiel sont les cinq points de Lagrange L1, …, L5​. Les points L1​, L2​, L3​ sont instables; L4​ et L5​ sont stables si le rapport de masse vérifie 27μ(1−μ) < 1, soit μ<0,03852 environ (ou son symétrique). Cette stabilité explique l'existence des astéroïdes troyens aux points L4​ et L5​ du système Soleil-Jupiter. Les missions spatiales utilisent aussi L1​ et L2​, par exemple SOHO, Gaia ou le télescope James Webb.

Singularités et régularisation.
Les équations deviennent singulières lorsqu'une collision se produit, car la force gravitationnelle diverge. On distingue :

• Les collisions binaires : deux corps se rapprochent indéfiniment;

• Les collisions totales : les trois corps se rencontrent en un même point.

Les collisions binaires peuvent être régularisées par des transformations de variables, comme la transformation de Levi-Civita en dimension 2 ou celle de Kustaanheimo-Stiefel en dimension 3. Cela permet de prolonger analytiquement les trajectoires au-delà du choc.

Méthodes numériques et applications.
En pratique, le problème des trois corps est étudié numériquement. Les défis principaux sont les rencontres rapprochées, qui nécessitent des pas de temps très petits; la conservation à long terme de l'énergie et du moment cinétique;  le chaos, qui limite l'horizon de prédictibilité. On utilise des intégrateurs symplectiques, des méthodes à pas adaptatif, des régularisations et des calculs en haute précision.

Les applications sont nombreuses : stabilité du système solaire et des systèmes planétaires; dynamique des exoplanètes dans les systèmes multiples; systèmes binaires avec un troisième corps; astéroïdes troyens et résonances; conception de missions spatiales; dynamique galactique et problèmes à N corps; tests de la gravitation et relativité générale.

La généralisation à N corps.
Le problème des trois corps est un cas particulier du problème à N corps, qui représente le cadre général de la mécanique céleste, visant à décrire et prédire le mouvement de plusieurs objets célestes en interaction gravitationnelle mutuelle. Cette différence apparente de quantité engendre en réalité une rupture qualitative profonde dans la manière dont les systèmes évoluent et dont les scientifiques les appréhendent, passant d'une étude de configurations spécifiques à une approche nécessairement statistique et globale.

La distinction fondamentale réside dans la rupture de l'intégrabilité et l'émergence du chaos. Alors que le problème à deux corps possède des solutions analytiques exactes et parfaitement prévisibles, l'ajout d'un troisième corps brise cette harmonie mathématique. Henri Poincaré a démontré à la fin du XIX^e siècle qu'il n'existe pas de solution générale sous forme d'équations fermées pour le problème des trois corps. Ce système devient chaotique, ce qui signifie qu'une infime variation dans la position ou la vitesse initiale des corps entraîne des divergences exponentielles dans leurs trajectoires futures, rendant toute prédiction déterministe à long terme impossible. Le problème à N corps, avec N supérieur à trois, pousse cette complexité à un niveau encore plus vertigineux, multipliant les interactions mutuelles et rendant le chaos encore plus omniprésent et intraitable par le calcul symbolique.

Face à l'impossibilité d'une solution générale, les approches de résolution divergent radicalement. Pour le problème des trois corps, les scientifiques étudient des configurations spécifiques et simplifiées. Par exemple, le problème restreint des trois corps suppose qu'un corps a une masse négligeable par rapport aux deux autres, ce qui permet d'identifier des positions d'équilibre relatives, comme les célèbres points de Lagrange, ou des orbites périodiques très particulières. À l'inverse, le problème à N corps, tel qu'il se pose pour un amas d'étoiles, un système planétaire complet ou une galaxie, ne permet pratiquement pas de suivre individuellement chaque trajectoire de manière déterministe. On doit alors abandonner la poursuite des orbites individuelles au profit de simulations numériques massives ou d'approches statistiques. Ces méthodes traitent le système comme un ensemble dont on étudie les propriétés globales, comme la densité ou la dispersion des vitesses, plutôt que le destin précis de chaque objet.

La notion de stabilité et d'évolution à long terme marque également une frontière nette entre les deux problèmes. Pour trois corps, on peut parfois identifier des configurations stables sur de longues périodes, à condition que les échelles de distance ou de masse soient très hiérarchisées, comme dans le cas d'une étoile, d'une planète et d'une lune. Dès que l'on passe à un grand nombre de corps, la stabilité absolue disparaît au profit d'une évolution dynamique continue et irréversible. Les systèmes à N corps subissent des phénomènes collectifs tels que la relaxation, où les interactions gravitationnelles multiples redistribuent l'énergie entre les objets. Ce processus conduit souvent à l'éjection de certains corps hors du système et à l'effondrement progressif de son cœur. Ainsi, tandis que le problème des trois corps interroge sur les limites de la prédictibilité déterministe et les géométries orbitales, le problème à N corps ouvre la porte à une compréhension statistique et presque thermodynamique de la gravitation, transformant une question de trajectoires individuelles en une question d'évolution d'ensembles.