Porisme

La distinction, purement formelle, entre le problème et le porisme, subsista d'autant moins en géométrie élémentaire que, dans le texte des Eléments, les propositions n'ont aucune désignation. Cependant celle qui a été indiquée ci-dessus
(III,i) a dû être de bonne heure notée sur les manuscrits comme exemple de porisme. Or, si l'on examine de quelle façon Euclide la traite, on remarquera qu'après avoir fait une construction, il démontre que le point obtenu est le centre du cercle, puis il ajoute : « Il est clair, par là,, que si (on fait telle construction), etc., C. Q. F. F. » C'est simplement la conclusion, mais si, d'ordinaire, elle répète l'énoncé pour les théorèmes, elle ne répète pas, comme ici, la construction pour les problèmes; de plus, elle n'est pas précédée du début : Il est clair par là; du moins cette formule est très rare dans les Eléments (on ne la rencontre pas plus de quinze fois de façon authentique). 

Lorsque la tradition primitive s'obscurcit, il arriva dès lors (probablement vers les débuts de l'ère chrétienne) que l'on nota comme porismes, non pas les propositions commençant par trouver, mais les conclusions présentant le début spécial, qu'elles suivissent d'ailleurs des théorèmes ou des problèmes; d'autre part, on les. rejeta après la clausule finale : C. Q. F. D. ou C. Q. F. F.; enfin on interpola des remarques sous la même forme. C'est ainsi que le terme de porisme prit abusivement, en géométrie élémentaire, le sens équivalent au sens actuel de corollaire, comme s'il avait signifié originairement « gain obtenu par surcroit », et non pas « fait de procurer ou fournir quelque chose ». L'étymologie prêtait, de fait, aux deux acceptions. 

Dans l'analyse géométrique des anciens, le sort du terme fut tout à fait différent et se trouva lié à l'étude des Livres des porismes d'Euclide ; mais la question est plus obscure. Contrairement à l'opinion de Chasles, les énoncés devaient y être formulés comme problèmes à trouver, non comme théorèmes; toutefois, le titre doit seulement être entendu comme le serait aujourd'hui celui de Questions ou de Recherches, et l'on n'est pas en droit d'affirmer que la formule générale des énoncés fut exclusive de toute autre. 

Quoi qu'il en soit, Pappus considère les porismes comme intermédiaires entre les théorèmes et les problèmes, comme pouvant être rangés, soit dans l'une, soit dans l'autre de ces deux classes de propositions; enfin, tout en maintenant, sans la justifier, l'antique définition, il en mentionne une autre, donnée par des géomètres récents. d'après laquelle un porisme serait un théorème sur les lieux incomplètement formulé; par exemple : le lieu de tels points est une droite (sans détermination de la droite, ce qui aurait été requis pour l'énoncé régulier d'un théorème). C'est, en fait, dans ce dernier sens que Chasles a restitué les énoncés des porismes, sauf à supprimer la restriction aux lieux géométriques, incompatible avec ce que nous savons d'ailleurs de ces énoncés. II a d'ailleurs fait remarquer avec raison que, dans la mathématique actuelle, où l'usage de découper un traité en propositions tend de plus en plus à s'effacer, les énoncés prennent le plus souvent, du moment ou l'on dépasse les éléments, la forme poristique (au sens qui vient d'être indiqué), tant parce qu'il devient indispensable de débarrasser les énoncés de l'inutile complication de déterminations qui ressortiront d'elles-mêmes de la démonstration, que parce que les problèmes sont désormais traités moins pour eux-mêmes que pour l'obtention de relations générales. 

Mais ce qui échappe ici; c'est la transition entre le sens primitif et le sens postérieur du mot. Car nous avons dit que la forme des énoncés d'Euclide ne doit pas avoir proposé une démonstration; et il n'est guère à supposer qu'il ait dit, par exemple Trouver la droite, lieu de tels points, quand en réalité il s'agissait de démontrer que ce lieu était une droite. Il aura plutôt, supposant un point sur une droite, proposé de trouver telle autre condition de la figure, puis l'analyse ayant établi que cette condition était déterminée, quelle que fat la position du point sur la droite, conclu que, ladite condition remplie, le lieu du point était nécessairement une droite. Il faut donc admettre que les indications de Pappus sur les questions traitées (comme, par ex.: que tel lieu est une droite) résument tout un travail d'élaboration effectué sur les porismes d'Euclide, travail ayant consisté, pour constituer une théorie, à transformer les énoncés en théorèmes à démontrer. En résumé, le concept du porisme, tel que l'admet Chasles, est bien un concept qui, en réalité, a eu tendance à se former dans l'analyse géométrique des Anciens, mais n'a pas été définitivement dégagé, et ne paraît pas mériter de l'être; quant à la restitution des Porismes, elle correspond, comme forme, au travail accompli au temps de Pappus, non pas au caractère originaire de l'oeuvre d'Euclide. (Paul Tannery)..